x = 2t +5

найдем координаты искомой проекции: х=1, у = 4, z = – 7.

y = −t + 2

z = 3t −1

3.307. Q(–5; 1; 0).

3.308. Р(3; –4; 0). У к а з а н и е. Задача может быть решен а по

Глава 4

4.1. а) (0;+∞); б) [0;+∞)

при p < 0, (−∞;0] при p > 0 , (−∞;+∞) при p = 0 ;

е) (0;3) (3;+∞). 4.2. а) (

−3;3) (3;+∞); б) −

1 ;

1

; в) [−3;1) (1;3];

3

2

г) x ≠

πk

πk

;

π(k +1)

(2;+∞); е) [0;2].

3

, или

3

, k Z ; д) (−∞;−2)

3

г)

(3 − 2π;3 −π ) (3;4]; д) [−4;−π] [0;π]; е) нигде не определена ( D( y) = ).

4.4. а)

−

1

; б) (−∞ + ∞); в) [−1;1]; г)

x ≠

πk

πk

;

π(k +1)

, k Z ;

3

;1

2

, или

2

2

д)

x ≠

π

−

π

+πk;

π

Z ;

π

2

+πk , или

2

2

+πk , k

е) πk;

2

+πk , k Z .

−

π2

;

π2

(3;+∞).

4.5. а) [1;+∞); б) [1;+∞); в) [1;7]; г)

2

2

; д) (−∞;5) (5;+∞); е)

1

1

1

1

4.6. а)

;0 ; б) (−∞;−1); в)

0;

;

г)

(−∞;+∞); д)

−

2

;

2

; е)

{−1;1}.

64

7

4.7. а) нечетная; б) четная; в) общего вида;

г) четная; д) общего вида;

е) нечетная.

4.8. а) нечетная; б) нечетная; в) общего вида; г) нечетная; д) четная;

е) четная.

4.9. а) периодическая, наименьший положительный период T =8π ;

б) не является периодической;

в) периодическая, T = π ;

г) периодическая, T =12π ;

д) периодическая, T = π

2

; е) периодическая,

T =π . 4.10. а) периодическая, T =π ;

3

б) не является периодической; в) периодическая, T = π ; г) не является периодиче-

2

ской; д) периодическая, T =π ; е) не является периодической; ж) периодическая,

T = 6π .

4.11. а) x9 , x3 −1, (x −1)3 ; б) eex

,

x ,

x ; в) 9x + 4 , 15x + 2, 15x −8;

г)

x

, cos

x

,

cos x

; д)

x −3

, 4 − x

, −

x

; е) sign x

,

−2

, −1; ж) [x],

1

,

10 −3x

2x +1

[x]2

+1

0

. 4.12. а) y = x ;

б)

y =

6 − x

; в), г) функция не имеет обратной в

0 при x ≠

1 при x = 0

3

естественной области определения; д)

y = 3

x −5

; е) y =

2

. 4.13. а) y = 5 + log4 x ;

1− x

2

−

при x < 0

−x

x

; д) y = −2 +10

x−1

y = log2

в) y =

x

;

е)

.

при x ≥ 0

1

− x

2

Глава 5

5.2. а)

x

=

; б) x =

1

; в)

x

=

n +1

; г)

x

=

n +1

; д)

x = (−1)n .

2n −1

n3

n + 2

n

n

n

n

n

n

1

5.3. а)

x

= (−1)n +3

; б) x

= (−1)n (n2 +1) ;

в)

x

=

1

; г)

x =

;

n

n

n

3n −1

n

(n +1)!

5.9. 1 ; 5.10. −1

; 5.11.

∞; 5.12.

0; 5.13. −1 ; 5.14.

0; 5.15.

5 ; 5.16.

1 ; 5.17. − 4 ;

6

2

5

8

6

3

5.18.

−7

; 5.19.

2

; 5.20. ∞; 5.21. 0;

5.22. ∞;

5.23. 1;

5.24. −1;

5.25.

;

2

4

3

5.26. 5; 5.27. 1

; 5.28.

4

;

5.29.

1 ;

5.30. 3;

5.31. 1;

5.32. 0;

5.33. e2 ; 5.34. e ;

2

3

2

5.35. e−4 ; 5.36.

0. 5.41. 1 ; 5.42.

1

; 5.43.

2

; 5.44.

2

;

5.45.

5 ;

5.46. −2

; 5.47. −

3

;

2

3

2

6

9

5.48. −

; 5.49. −2; 5.50.

5 ; 5.51.

1 ; 5.52. −1; 5.53. −4; 5.54. 4 ; 5.55. 2 ;

2

4

6

5.56.

3 ; 5.57. 12; 5.58.

3

; 5.59. 7 ; 5.60.

−

1

; 5.61.

7

; 5.62. −

2

; 5.63.

1 ;

2

4

2

7

a −c

8

2

5.64. 0; 5.65. 1 .5.66. −

1

; 5.67. ∞; 5.68. 2 ; 5.69. 0; 5.70.

; 5.71. 0;

3

2

2

1 при x → +∞

1 при x → +∞

1

5.72.

;

−49 при x → +∞

. 5.74.

. 5.75. −

;

5.73.

1

2

−1 при x → −∞

3

при x → −∞

−1 при x → −∞

2 при x → +∞

3

1

4

2

5.76.

;

5.77.

0;

5.78. −

.

5.79.

; 5.80.

; 5.81.

; 5.82.

2 ;

25

9

9

3

2 при x → −∞

−

8

25

1 ; 5.87.

1

3

ln

5.83.

; 5.84. 3; 5.85.

3; 5.86.

; 5.88.

; 5.89. ln 6 ; 5.90.

7

; 5.91.

2 ;

9

2

ln10

6

2

ln

4

5

6 = ln 2; 5.95. e10 ; 5.96. e−

5.92. 2 ; 5.93. ln a ; 5.94. ln

3 ; 5.97. e15 ;

4

3

3

26

5.98. e5 ; 5.99. e−4 ; 5.100. ea−b ;

5.101.

e

; 5.102. e2 ;

5.103. e ;

5.104. e ;

5.105. e 3

;

5.106. 1

4

a

α2

− β2

α

5.113. 1; 5.114.

e ; 5.115.

; 5.116. −

; 5.117.

−

; 5.118.

1.

2

π

4

5.119. α(x) ~ β(x) , при x → 0 ; 5.120. α(x)

и β(x)

есть бесконечно малые одного

5.134.

−

1

; 5.135.

a2

; 5.136. 1; 5.137. 1; 5.138.

3

;

5.139.

ln 7

; 5.140. −

1

;

2

b2

4

ln9

2

5.141.

−

1

; 5.142.

3

; 5.143.

−1

; 5.144.

9

; 5.145.

1,6; 5.146.

1

; 5.147.

2 ;

2

5

25

8

2

9

5.148.

−2;

5.149.

e−2 ;

5.150. 1;

5.151.

1

5.152.

e−

2

5.153.

f (a −0) = 0 ,

;

π

.

e

f (3 −0) = 1

f (a + 0) = +∞; 5.154.

,

f (3 + 0) = 0 ;

5.155.

а)

f (1−0) = −2 = f (1),

3

f (1+ 0) = 0,1; б)

f (1+ 0) = 2;

5.157. f (−0) = −

,

f (+0) =

; 5.158. f (1−0) = 3,

f (1+ 0) = 4;

2

2

5.159. f (2 −0) = −∞,

f (2 + 0) = +∞; 5.160. f (−0) = 1

,

f (+0) = 0;

f (−0) = −π ,

f (+0) = π

2

5.161.

; 5.162.

f (π

−0) = +∞

, f (π

+ 0) = −∞;

2

2

2

2

f (1−0) =1,

5.163.

f (−0) = −1,

f (+0) =1;

5.164.

f (2 −0) =1, f (2 + 0) = 2 ;

5.165.

5.167.

f (π

−0) = +∞, f (π

+ 0) = 0 ; 5.168.

f (

π

−0) = 0

, f (π

+ 0) = 2 ;

4

sin x

4

2

2

5.169. lim

2

= −

5.170. −1 ;

5.171. −

;

5.172. −

1

;

5.173. 1 .

2

;

2π

x→−0

x

2

2

2

5.178.

а)

y

;б) y =

. При

x =1 функции имеют

= −1 при x < −1,

x −1 при x < −1,

1 при x > −1

x +1 при x > −1

разрыв первого рода (выполнено только первое условие непрерывности);

5.179. x = 0 – точка устранимого разрыва, не выполнено

только третье условие непрерывности;

5.180.

x = 0

–

точ-

ка разрыва I рода,

lim y = +∞,

lim y

= 0 ,

lim y =1

x→+0

x→−0

x→±∞

(см. рис );

5.181. x = 0 – точка разрыва II рода;