3.151. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая у=kх:

1)пересекает окружность х2+у2–10х+16=0;

2)касается этой окружности;

3)проходит вне этой окружности.

3.152. Вывести условие, при котором прямая y=kx+b касается окружности

х2+у2=R2 .

3.153. Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; –1) и точки пересечения двух окружностей:

х2+у2+2х–2у–23=0, х2+у2–6х+12у–35=0.

3.154. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей: х2+у2+3х–у=0, 3х2+3у2+2х+у=0.

3.155. Составить уравнение касательной к окружности х2+у2=5 в точке

А(–1; 2).

3.156. Точка M1(х1, y1) лежит на окружности х2+у2=R2. Составить уравнение касательной к этой окружности в точке M1.

3.157. Определить острый угол, образованный при пересечении прямой 3х–у–1=0 и окружности (х–2)2+у2=5 (углом между прямой и окружностью называется угол между прямой и касательной к окружности, проведенной в точке их пересечения).

3.158. Определить, под каким углом пересекаются две окружности: (х–3)2+(у–1)2=8 и (х–2)2+(у+2)2=2 (углом между двумя окружностями называется угол между их касательными в точке пересечения).

3.159. Из точки А(4; 2) проведены касательные к окружности х2+у2=10. Определить угол, образованный этими касательными.

3.160. Из точки Р(2; –3) проведены касательные к окружности (х–1)2+(у+5)2=4. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

3.161. Из точки С(6; –8) проведены касательные к окружности х2+у2=25. Вычислить расстояние d от точки С до хорды, соединяющей точки касания.

3.162. Вычислить длину касательной, проведенной из точки А(1; –2) к окруж-

ности х2+у2+6х+2y+5=0.

3.163. Составить уравнения касательных к окружности х2+у2+10х+2y+6=0, параллельных прямой 2x + y - 7 = 0.

3.4. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через 2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами F1 и F2,

113

расстояние между ними — через 2с. По определению гиперболы 2а < 2с или

а<с.

Пусть дана гипербола. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид

где b= c2 - a2 . Уравнение вида (3.31) называется каноническим уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии (рис. 3.11). Оси симметрии гиперболы называются осями, центр симметрии — центром гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей; точки пересечения называются вершинами гиперболы. На рис. 3.11 вершины гиперболы находятся в точках А' и А.

Прямоугольник CC'B'B со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы.

Отрезки длиной 2а и 2b, соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы; их уравнения:

определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей с фокусами на оси ординат (рис. 3.12); уравнение (3.33), как и уравнение (3.31), на-

114

зывается каноническим уравнением гиперболы; в этом случае постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2b. Две гиперболы, которые определяются уравнениями (3.31) и (3.33) в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Рис. 3.12

Гипербола с равными полуосями (а=b) называется равносторонней; ее каноническое уравнение имеет вид

Число e = ac , где а — расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называ-

ется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы e >1. Если М(х; у) — произвольная точка гиперболы, то отрезки F1М и F2M (рис. 3.13) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам

r1 = εx+a, r2 = εx–a,

фокальные радиусы точек левой ветви – по формулам

r1 =– εx+ a, r2 = – εx–a.

Если гипербола задана уравнением (3.31), то прямые, определяемые уравне-

115

Рис. 3.13

Каждая директриса обладает следующим свойством: если r — расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d — расстояние от

той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r d

есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы: dr = e .

Если центр симметрии гиперболы находится в точке C(x0 ; y0 ), а прямые x = x0 , y = y0 являются ее осями симметрии и фокусы лежат на прямой y = y0 , то уравнение гиперболы примет вид

уравнения асимптот гиперболы.

116

Пример 3.17. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса, заданного уравнением

x2 + y2 =1. 25 9

Ре ш е н ие . Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы c2=a2+b2=16, e = ac = 2; c=2a; c2=4a2; a2=4; b2=16– 4 = 12.

x2 - y2 =1 – искомое уравнение гиперболы.

4 12

Пример 3.18. На железной дороге расположены две станции A и B (рис. 3.14). Пусть из различных пунктов местности, по которой проходит железная дорога, нужно отправлять грузы в конечный пункт дороги C. Станцию B мы считаем находящейся к пункту C ближе, чем станция A. Перед грузоотправителем, находя-

щемся в некотором пункте местности M , возникает задача: на какую из станций A или B выгоднее подвезти груз автотранспортом для дальнейшей отправки по железной дороге.

Ре ш е н ие . Пусть стоимость провоза груза равна p руб. за 1 км при перевозке автотранспортом и q руб. за 1 км при перевозке по железной дороге.

Стоимость перевозки при доставке груза в B равна ( p × MB + q × BC) руб.

Отсюда следует, что в B выгоднее возить грузы, находящиеся в точках M , для которых p × MA + q × AB > p × MB или, что то же самое,

шению (**), расположены на той ветви гиперболы, которая прилежит к фокусу

117

A. Стало быть точки M , для которых справедливо (*) лежат в той части плоскости, которая отделена этой ветвью от точки A.

В ы вод . На станцию B выгоднее подвезти груз автотранспортом для дальнейшей отправки по железной дороге из различных пунктов местности, которые расположены в той части плоскости, которая отделена ветвью гиперболы от точки A . На станцию A выгоднее подвезти груз автотранспортом для дальнейшей отправки по железной дороге из тех пунктов местности, которые расположены в той же части плоскости относительно ветви гиперболы, в которой расположена и точка A .

Задачи для самостоятельного решения

3.164. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что:

1)ее оси 2а = 10 и 2b = 8;

2)расстояние между фокусами 2с =10 и ось 2b = 8;

3)расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = 32 ;

4)ось 2a = 16 и эксцентриситет ε = 54 ;

5)уравнения асимптот y = ± 43 x и расстояние между фокусами 2с = 20;

6)расстояние между директрисами равно 22132 и расстояние между фо-

9) уравнения асимптот у = ± 34 x и расстояние между директрисами равно

12 54.

3.165. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1)ее полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);

2)расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет ε = 53 ;

118

3)уравнения асимптот у = ±125 x , расстояние между вершинами равно 48;

4)расстояние между директрисами равно 7 17 и эксцентриситет ε = 75 ;

5)уравнения асимптот у = ± 43 x и расстояние между директрисами равно

6 52 .

3.166. Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:

3.167. Дана гипербола 16х2–9у2=144. Найти:

3.168. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гипербо-

лы x2 - y2 =1 и прямой 9х+2у–24=0.

4 9

3.169. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

Изобразить эти линии на чертеже.

3.170. Эксцентриситет гиперболы ε=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

3.171. Эксцентриситет гиперболы ε=2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.

3.172. Определить точки гиперболы x2 - y2 =1, расстояние которых до левого

9 16

фокуса равно 7.

3.173. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

1)точки M1(6; –1) и М2(–8; 2 2 ) гиперболы;

2)точка M1(–5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε= 2 ;

3)точка M1( 92 ; –1) гиперболы и уравнения асимптот y=± 23 x ;

119

4)точка M1(–3; 52 ) гиперболы и уравнения директрис y = ± 43 ;

5)уравнения асимптот у = ± 34 x и уравнения директрис x = ±165 .

3.174. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.

3.175. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эл-

липса x2 + y2 =1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

100 64

3.176. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:

3.177. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

Изобразить эти линии на чертеже.

3.178. Составить уравнение гиперболы, зная, что:

1)расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы F1(–10; 2),

F2(16; 2);

2)фокусы F1(3; 4), F2(–3; –4) и расстояние между директрисами равно 3,6;

3)угол между асимптотами равен 90° и фокусы F1(4; –4), F2(–2; 2).

3.179. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε= 54 ,

фокус F(5; 0) и уравнение соответствующей директрисы 5х–16 = 0.

3.180. Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже:

x2 - y2 =1. 25 16

3.182. В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы — пересекает ли, касается или проходит вне ее:

120

3.183. Определить, при каких значениях m прямая у= 52 х+m:

3.184. Вывести условие, при котором прямая у=kх+m касается гиперболы

x2 - y2 =1. a2 b2

3.185. Составить уравнения касательных к гиперболе x2 - y2 =1, перпендику-

20 5

лярных к прямой 4х+3у–7=0.

3.186. Составить уравнения касательных к гиперболе х2–у2=16, проведенных из точки А(–1; –7).

числить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.

3.189. Гипербола проходит через точку А( 6 ; 3) и касается прямой 9х+2у–15=0. Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

3.190. Составить уравнение гиперболы, касающейся двух прямых: 5х–6у–16=0, 13х–10у–48=0, при условии, что еe оси совпадают с осями координат.

121