7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке

если существует такая окрестность (x0 −δ, x0 +δ) этой точки, что для всех x (x0 −δ, x0 +δ), x ≠ x0 выполняется неравенство

f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )).

237

Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если x0 – точка экстремума функции f (x) , то производная функции в этой точке равна нулю либо не существует.

Точки, в которых производная функции равна нулю либо не существует,

называются критическими точками.

Первое достаточное условие экстремума функции. Пусть x0 – крити-

ческая точка функции y = f (x) и f (x) дифференцируема в некоторой окрест-

x0 не является точкой экстремума.

Второе достаточное условие экстремума функции. Если функция f (x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и f ′(x0 ) = 0 ,

то при условии f ′′(x0 ) > 0 точка x0 является точкой минимума функции, при условии f ′′(x0 ) < 0 точка x0 является точкой максимума функции. В случае f ′′(x0 ) = 0 требуется дополнительное исследование.

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то ее наибольшее

(наименьшее) значение на данном отрезке достигается либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на концах отрезка.

Пример 7.7. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = x2 − 4x − 2ln(x − 2) +8 и исследовать ее на экстремум.

Р е ш е н и е. Для решения задачи необходимо

а) найти область определения функции: x − 2 > 0 , следовательно, функция определена в интервале (2; + ∞);

б) найти ее критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует. С этой целью вычисляем производную и приравнива-

ем ее к нулю: y′ = 2x − 4 − x −2 2 = 0 . Получим, что производная равна нулю при

x = 3 и x =1, но последняя точка не принадлежит области определения функции. Так как производная определена всюду в области определения функции, у функции есть одна критическая точка x = 3;

в) на числовую ось нанести область определения функции и ее критические точки. В полученных интервалах определить знаки производной.

238

Окончательно получаем: функция убывает на интервале (2; 3), возрастает на интервале (3;+ ∞) , в точке x = 3 производная меняет знак с « – » на « + »,

следовательно, эта точка является точкой минимума функции, а минимум функции равен y(3) = 5.

Пример 7.8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 −3x2 + 5 на отрезке [1; 4].

Р е ш е н и е. Найдем критические точки функции, принадлежащие отрезку [1; 4], для чего производную функции приравняем к нулю.

y′ = 3x2 − 6x = 0 . Получим, x1 = 2, x2 = 0 (эта точка не принадлежит данному

интервалу).

Поскольку наибольшее, наименьшее значения функции достигаются либо в критических точках, либо в границах интервала, необходимо найти значение

равно 21 и достигается в точке х = 4, наименьшее значение равно 1 и достигается в точке х = 2.

Пример 7.9. Из куска жести размером 16 х 30 см необходимо изготовить коробку (без крышки) наибольшего объема, вырезая равные квадраты по углам листа и затем загибая их для образования боковых стенок коробки. Найти размеры коробки.

Задачи для самостоятельного решения

Найти интервалы возрастания и убывания функций.

239

7.69.y = arctg x − x.

Исследовать функции на экстремум.

240