Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник заданий по матем часть1.pdf

Скачиваний:

403

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Какие из данных последовательностей ограничены сверху; ограничены снизу; ограничены; монотонны; строго монотонны:

5.4.а) xn = n ;

г) xn = −n3 + 2n;

5.5.а) xn = (−2)n ;

г) xn = n2 ; n!

б) xn

д) xn

б) xn

д) xn

=− n2 ; n +1

=n2 +1? n2 −1

=2−n ;

=cos π2n ?

в) x			−	1	n
	n	=		2		;

в) xn = n(−1)n ;

5.2. Предел последовательности

Определение предела последовательности. Число a называется преде-

лом последовательности {xn }, если для любого сколь угодно малого положи-

тельного числа ε	существует номер Nε такой,				что для всех членов последо-
вательности с номерами n > Nε , выполнено неравенство						xn −a	<ε .

В этом случае пишут lim xn = a или xn → a .
		n→∞
Неравенство		xn −a	<ε	равносильно	двойному			неравенству

a −ε < xn < a +ε , которое означает, что точки xn , начиная с некоторого номера n > Nε , лежат внутри интервала (a −ε;a +ε), который называется ε- окрестностью точки а.

Если последовательность, имеет предел, то она называется сходящейся (сходится к a ), в противном случае последовательность называется расходя-

щейся.

Пример 5.4. Пользуясь определением предела последовательности, дока-

зать, что число a = 2 является пределом последовательности				xn	=		2n +3	. Для

ε = 0,001 найти соответствующий номер Nε ,			xn	−a			n +1
		такой, что				<ε для всех

xn , для которых n > Nε .
Р е шен и е .	Рассмотрим любое число	ε > 0 и найдем для этого числа
номер Nε такой,	что для всех членов последовательности			xn ,		для которых

n > Nε , будет справедлива цепочка

176

xn −a

2n +3 −2

2n +3 −2n −2

<ε .

n +1

, получим n > 1 −1. Сле-

Решив последнее неравенство относительно n

довательно, можем положить, например, Nε =

−1

+1 (где [α] − целая часть

числа α ). Таким образом,

показано, что для любого числа ε > 0 существует

xn −2

<ε

для всех членов последовательно-

номер Nε =

−1 +1, такой, что

сти с номерами n > Nε . Согласно определению предела последовательности,

мы доказали, что lim 2n +3 = 2.

n→∞ n +1

		1			xn −2

При ε = 0,001	получаем Nε =		−1	+1 =1000 , т.е.		< 0,001
		0,001

при n >1000.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Гово-

рят, что последовательность {xn } стремится к плюс бесконечности, если для любого сколь угодно большого положительного числа M существует номер NM такой, что для всех членов последовательности с номерами n > NM выполнено неравенство xn > M .

В этом случае пишут lim xn = +∞ или xn → +∞.

n→∞

Говорят, что последовательность {xn } стремится к минус бесконечности, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа M существует номер NM такой, что для всех членов последовательности с

номерами n > NM выполнено неравенство xn < M .

В этом случае пишут lim xn = −∞ или xn → −∞.

n→∞

Говорят, что последовательность {xn } стремится к бесконечности, если для любого сколь угодно большого положительного числа M существует

номер NM такой, что для всех членов последовательности с номерами n > NM
выполнено неравенство			xn	> M	(последовательность	{	xn	}	стремится к плюс
выполнено неравенство			xn	> M	(последовательность	{	xn	}	стремится к плюс
бесконечности).
В этом	случае	пишут			lim xn = ∞ или xn	→ ∞.			Очевидно, если
					n→∞
lim xn = +∞ или lim xn = −∞, то можно считать также, что lim xn = ∞.
n→∞	n→∞							n→∞

177

Последовательность {xn }

называется

бесконечно

большой,

если

lim xn = ∞, и бесконечно малой, если lim xn = 0 .

n→∞

Пример 5.5. Доказать, пользуясь определением, что:

1) последовательность {xn }= 1 является бесконечно малой;

2) последовательность {xn }

={2n +1}является бесконечно большой.

Р е шен и е : 1) требуется доказать, что lim 1

= 0. Рассмотрим любое чис-

n→∞ n

ло ε > 0 . Тогда

−0

и неравенство

xn −0

<ε будет выполнено

в точности тогда, когда

<ε , т.е.

когда n >

. Положив Nε

+1, полу-

чим, что для всех n > Nε

справедливо неравенство

xn −0

<ε . В соответствии с

определением предела это и означает, что lim 1

= 0;

что lim(2n +1)

n→∞ n

докажем,

= +∞. Рассмотрим любое

положительное

n→∞

M −1

число

M . Неравенство xn = 2n +1 > M будет выполнено при n >

. По-

M −1

получим,

что для всех n > Nε справедливо неравен-

ложив Nε =

+1,

ство xn

> M . Это и означает, что lim(2n +1) = +∞.

n→∞

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1)сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

2)произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность;

3)последовательность {xn }, все члены которой отличны от нуля,– беско-

нечно малая тогда и только тогда, когда последовательность – бесконеч-

но большая (символически это можно записать следующим образом: 10 = ∞,

∞1 = 0).

178

Операции над пределами последовательностей:

Если lim xn = a, lim yn = b , то:
	n→∞			n→∞
1)	lim xn		± yn = a ±b;
	n→∞
2)	limcxn = ca для любого c R ;
	n→∞
3)	lim xn yn			= ab;
	n→∞
4)	lim	xn	= a , если b ≠ 0;

	n→∞ yn			b
5)	lim(xn )k			= (lim xn )k	= ak , k N ;
	n→∞			n→∞

6) limn k xn = k a , k N .

→∞

Пример 5.6. Найти следующие пределы:

lim

sin n

;

lim

2n3 −3n +1

;

3) lim

;

3n3 +

3n −1

n→∞

32n10

−7

lim

n + 2 −

n −2 ; 5)

lim

n→∞

(3n −4 n)3 8n3

Р е шен и е : 1) последовательность xn = sin n является ограниченной, так

как

sin n

≤1 для любого натурального n,

поэтому ее произведение на беско-

нечно малую последовательность yn = 1n есть также бесконечно малая после-

довательность, т.е. lim sin n = 0;

n→∞ n

2) числитель и знаменатель дроби представляют собой бесконечно большие последовательности. В этом случае говорят, что имеет место неопределен-

ность

∞

стоящего под зна-

. Разделим числитель и знаменатель выражения,

∞

n3 :

ком

предела,

на

старшую

степень

т.е.

на

lim 2n3 −3n +1

2 −

= lim

. Используя далее теоремы об операциях над

n→∞

3n3 +7

n→∞

3 +

пределами, получим

179

lim

2 −

lim 2

−lim

+lim

2 −3lim

+lim

2 −0 +0

n→∞

n→∞ n2

n→∞ n3

n→∞ n2

n→∞ n3

;

3 +0

lim3 +lim

3 +7lim

lim

3 +

n→∞

n→∞ n3

3) разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (вы-

3	1	3
бираем из двух вариантов: n2	и n2 ), т.е. на n2		:

lim

∞

= lim

n→∞

3n −1

∞

n→∞

−

n→∞

−

Последовательность, находящаяся в знаменателе дроби, есть бесконечно

малая, как сумма бесконечно малых последовательностей,

поэтому исходная

последовательность является бесконечно большой, т.е. lim

= ∞;

n→∞

3n −1

4) помножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное к нему, после чего воспользуемся формулой разности квадратов:

= lim (

−

)(

) =

lim

−

n + 2

n −2

n + 2

n −2

n + 2

n −2

n→∞

n + 2 +

n −2

= lim

(n + 2) −(n −2)

= lim

n→∞

n + 2 + n −2

n→∞

n + 2 + n

−2

Последовательность {

}является бесконечно большой, по-

n + 2

n −2

этому последовательность

– бесконечно малая, а значит,

n + 2 +

n −2

lim

−

=0;

n + 2

n −2

n→∞

5) разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (вы-

= n2 , n1+

бираем из n1+6

= n6 , n 5

3 = n2

и n4

= n4 ), т.е. на n2 :

32n10 −7

32 −

n6 n +5 32n10 −7

n10

lim

= lim

n10

= lim

6 n5

n→∞

(3n −4 n)3 8n3 +8

n→∞ 3n −4 n

8n3 +8

n→∞ (3 −

) 3 8

4 n3

0 +5

32 +0

(3 −0)

3 8 +0

180

Связь между сходимостью и ограниченностью последовательностей.

Число e. Справедливы следующие утверждения:

1)всякая сходящаяся последовательность является ограниченной;

2)всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

			1	n
Последовательность		+	1		возрастает и ограничена сверху, а пото-
Последовательность	1	+			возрастает и ограничена сверху, а пото-
			n

му сходится. Ее пределом является число Эйлера e = 2,71828182845 , слу-

= e .

жащее основанием натуральных логарифмов. Таким образом, lim 1+

n→∞

2n +1

Пример 5.7. Найти lim

n→∞

2n +1 n

1 n

Р е шен и е . Имеем: lim

= lim

= lim 1

n→∞

Обозначив

последнем выражении

2n = k ,

продолжим

цепочку:

1 k 12

2n +1

k 2

= e2 =

e .

lim

== lim 1+

lim 1

n→∞ 2n

k →∞

Задачи для самостоятельного решения

5.6. Доказать, пользуясь определением, что число a является пределом после-

довательности xn , если:

а) xn =

n +1

a =1;

б) xn =

3n +1

, a = 3;

n −5

в) xn =

2n −2

, a = 2 ;

г) xn =

3n2 −1, a = 3;

5n + 2

д) xn =

3n+1 −1

, a = 3;

е) xn =

5n2

, a = 5.

n2 +6

5.7. Доказать, пользуясь определением,

что последовательность xn является

бесконечно малой:

а) xn =

;

б) xn =

;

в) xn =

;

г) xn =

n −1

ln n

181

5.8. Доказать, пользуясь определением, что последовательность xn является бесконечно большой:

а) xn = ln n;

б) xn = 3n ;

в) xn

n2 −1

;

г) xn = (−1)n n2 .

Найти пределы последовательностей:

n3 −2n +5

5.9. lim

n −3

5.10.

lim

2n2 −

2n3

n→∞ 6n +1

n→∞

5.11. lim

n3 −1000n2 +1

5.12.

lim

1000n3 −4n2

1000n2 +17n

0,0001n4 +10n3 −3

n→∞

5.13. lim

(n +5)

5.14.

lim

−

n→∞

1−5n4

n→∞ n −3

3n −1

2n2

+5 n2 + 4

lim (

+ n −3n).

5.15. lim

−

5.16.

2n +3

n→∞

−n).

(

−2n).

5.17. lim

−4n2

5.18.

lim

4n2

−7n + 4

n→∞

(

−3n).

5.19. lim

5.20.

lim

2n2

+3n

n→∞ 3n +

3n +

n→∞

5.21. lim

(3 −n)3 −(2 −n)3 .

5.22.

lim

(n + 2)3 −(n + 2)2 .

n→∞

(1−n)3 −(1+ n)3

n→∞

(n −2)3 −(n + 2)3

(n + 2)2 −(n

+5)3

−

n2 −5

5.23. lim

5.24.

lim

n +6

(3 −n)3

n→∞

3 n3 +

3 + 4 n3 +1

5.25. lim

3n2

+ 4

4n8 +1

5.26.

lim

10n3 −

n3 + 2

n→∞

(n +

n)(7 −n + n2 )

n→∞

4n6 +3

−n

1+ 2 + + n .

+ +

5.27. lim

5.28.

lim

n→∞

+ +

5.29. lim

. 5.30. lim

1 3

3 5

+ 2

+ + n

n→∞

(2n −1)(2n +1)

n→∞1

7n −1

5.31. lim

5.32.

lim

7n −1

7n +

n→∞

7n +1

182

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018976.38 Кб30Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб39самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб46сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб5Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб144сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб403сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб7Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб203Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc
#
21.08.2019451.45 Кб4свобода и ответственность.rtf