если | a |= 5

.

2

2.14. Найти диагонали параллелограмма, построенного

на векторах

m(3;4;− 2) и n (−1;2;5) .

2.15. Найти длину стороны

BC треугольника ABC , если

AB(1;−1;2) ,

AC(7;2;4) .

2.16. Даны точки A(2;3;−1),

B(8;12;− 4). Найти координаты: а) середины

x = ПрOx a , y = ПрOy a , z = ПрOz a .

(2.5)

Косинусы углов α = (a ,i ), β = (a , j), γ = (a , j) называются направляю-

щими косинусами вектора a . Формулы (2.5) можно переписать в виде

x =| a | cosα , y =| a | cos β , z =| a | cosγ .

(2.6)

Направляющие косинусы вектора a связаны соотношением

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

(2.7)

Пример 2.4. Вектор a образует углы α =120

и β = 60

с осями Ox и Oy

соответственно. Найти: а) угол γ ,

который образует вектор a с осью Oz , если

известно, что он острый; б) координаты вектора a , если | a |= 6.

Р е ш е н и е . а) Из формулы (2.7) находим:

cos2 γ =1−cos2 α −cos2 β =1

−

1

2

1

2

1

.

−

2

−

2

=

2

1

Так как угол γ – острый, то cosγ =

=

2

, и γ = 45 .

2

2

Б) Координаты вектора a найдем по формулам (2.6):

1

1

2

x = 6 −

= −3, y = 6

=

3,

z =

6

= 3 2 .

2

2

2

Скалярным произведением векторов a и b

называется число, обозначае-

мое (a ,b) и определяемое формулой

(a ,b) =| a || b | cos(a ,b) .

(2.8)

Из определения скалярного произведения следует, что

(a

,b)

cos(a

,b) =

|

.

(2.9)

a || b |

Проекция вектора a на ось,

сонаправленную с вектором b , может быть

найдена по формуле

(a ,b)

Пр a =

.

(2.10)

b

b

| b |

Если векторы a (x ; y ; z ),

(x ; y

; z

2

) заданы координатами в ортонор-

1

1

1

2

2

мированном базисе, то (a ,b) = x x

+ y y

2

+ z z

2

.

(2.11)

1

2

1

1

и b(2;− 2;1) .

Пример 2.5. Найти угол между векторами a (4;−1;−1)

Р е ш е н и е. Согласно формулам (2.9) и (2.11),

(a

,b)

4 2 −1 (−2) −1 1

9

2

cos(a

,b) =

=

=

=

,

|

2

16 +1+1 4

+ 4 +1

9 2

| a

|| b

π

откуда (a

,b) =

4 .

Пример 2.6. Найти длину вектора a = 2 p −3q , если

| p | = 3,

| q | = 2,

| a | =

a 2

=

(2 p −3q )2

.

Применяя далее свойства 1) – 3), находим

(2 p −3q )2 = 4 p 2−12( p,q) +9q 2 = 4 | p |2−12 | p || q | cos( p,q) +9 | q |2 =

= 4 9 −12 3 2 1

+9 4 = 36.

2

Следовательно, | a | = 6.

Пример 2.7. Найти вектор единичной длины,

ортогональный векторам

m (2;−1;− 2) и n (1;1;− 4) .

Р е ш е н и е . По свойству 5) скалярного произведения, для любого векто-

ра

выполняются

равенства

p(x; y; z),

ортогонального векторам m

и n ,

Кроме того, по условию

x

2

+ y

2

+ z

2

=1

. Выражая

( p,m) = 0

и ( p,n) = 0.

| p | =

радиус-вектора.

2.22. Даны точки A(1;2;3) и B(3;− 4;6) . Построить вектор AB , найти его

проекции на оси координат и определить его направление.

2.23. Разложить вектор a

по базису i ,

j, k , если он образует с осями ко-

π

2π

π

ординат Ox, Oy, Oz углы α = 4

, β = 3 , γ =

3

соответственно, и | a |= 4 2 .

а) (a ,a + 2b) ;

б)(a − 2b ,3a +b) ;

в) | 2a −3b | .

2.28. Найти скалярное произведение векторов a и b , если a = 2 p −3q и

b = 4 p + q , где p и q – единичные ортогональные векторы.

и b = 3p − 2q ,

2.29. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + q

если | p |= 2 ,

| q |= 3, и ( p,q) = π .

3

и ( p,q) = π .

2.30. Найти длину вектора a = 4 p − q , если | p |=1, | q |=

3

6

2.31. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векто-

рах a = 2 p + q и b = p − 2q , где | p |=| q |=1, и ( p,q) = π .

3

2.32. Найти угол между векторами a (−1;4;1) и b(1;2;2).

2.33. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на

векторах a(6;−1;1) и b(2;3;1).

2.34. Найти угол между векторами a = 3p + 2q и b = p +5q , где

p

и q –

единичные ортогональные векторы.

p

и q –

2.35. Найти угол между векторами a = p − q и b = 2 p + 4q , где

2.39. Даны точки

A(2;−3;4), B(5;−5;− 2), C(1;2;3), D(7;4;6) .

Найти

Пр

AB .

CD

a(1;−1;4) и

b(1;1;2) . Вычислить Пр a и Пр b .

2.40. Даны векторы

2.41. Найти проекцию вектора a

b

a

(2;−3;4) на ось, образующую равные