
- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература

5.182. x = 2n −1π ( n –целое) – точки разрыва II рода; |
|
2 |
x = 0 – |
5.183. x = ±2 – точки разрыва II рода; 5.184. |
|
точка разрыва I рода, f (+0) = 0, f (−0) =1, |
|
lim |
f (x) = lim |
f (x) = 1 (см. рис.); |
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||||
x→+∞ |
x→+∞ |
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2 |
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π |
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||
5.185. x = a – точка разрыва I рода, |
f (a + 0) = |
, |
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2 |
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x2 |
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при x <1, |
|||
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π |
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− |
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||||
f (a |
−0) = − |
, |
lim |
f (x) = lim |
f (x) = 0 ; 5.186. f (x) = |
|
2 |
|
|
, x =1 – |
||||||
2 |
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x→+∞ |
x→+∞ |
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x2 |
при x >1 |
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2 |
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||||
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1 , |
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1 |
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|||
точка разрыва I рода, |
f (1+ 0) = |
f (1−0) = − |
; 5.187. |
x = 0, |
x =1 – точки разрыва |
|||||||||||
II рода; 5.188. x |
|
|
2 |
|
2 |
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|||
=1 – точка разрыва I рода, скачок функции в точке равен 1; |
5.189. x = 2 – точка разрыва I рода, скачок функции в точке равен 2 ; 5.190. x = −2 – точка разрыва I рода, скачок функции в точке равен 2 ; 5.191. x = −1 – точка разрыва I рода, скачок функции в точке равен −4; x = 0 – точка разрыва I рода; 5.192. x = 0 –
точка устранимого разрыва, |
|
f * (0) =1, |
5.193. x = |
π |
– точка разрыва I рода, скачок |
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4 |
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функции в точке равен − |
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2 |
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, в точках |
x = |
π |
и x =π функция непрерывна слева, в |
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2 |
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4 |
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|||
точке x = π функция непрерывна справа; |
5.194. |
x = 0 – точка устранимого разрыва, |
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2 |
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f * (0) = n ; |
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||
5.195. x =1 – точка разрыва II рода; 5.196. x = 5 , |
x = |
π +πk |
(k N)– точки разрыва |
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2 |
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arctg 1 |
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||
II рода; x = 0 – точка устранимого разрыва, |
f * (0) = |
|
3 |
; |
5.197. x = −2, x = −3 – |
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5 |
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|
f * (−1) = 1 . |
||
точки разрыва II рода; |
x = −1 – точка устранимого разрыва, |
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5.198. x = ±1, x = ±25 – точки разрыва II рода; |
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2 |
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Глава 6 |
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6.1. 0,51. 6.2. − |
1 |
. |
6.3. 0,1. |
6.4. 0,014. |
6.5. |
∆y = 3∆x. |
lim |
∆y = 3. |
||||||||||
|
||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
∆y |
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
∆x |
|||
6.6. ∆y = 2x ∆x +(∆x)2 −2∆x. |
lim |
= 2x −2 . |
|
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|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
∆x |
|
|
|
|
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|
|
|
291

6.7. |
∆y = sin(x + ∆x) −sin x = 2sin |
∆x |
|
∆x |
|
∆y |
= cos x . |
|
2 |
cos x + |
2 |
. lim |
∆x |
||||
|
|
|
|
∆x→0 |
|
6.8 |
∆y = log2 |
|
∆x |
|
∆y |
|
1 |
. |
6.9 ∆y = − |
2x∆x +(∆x)2 |
|
|
∆y |
|
2 |
. |
||
1+ |
|
. lim |
|
= |
|
|
. |
lim |
|
= − |
|
|||||||
x |
∆x |
x ln 2 |
(x + ∆x)2 x2 |
∆x |
x3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
6.11. |
|
|
3x2 −8x +5. |
|
|
6.12. 2x5 −16x3 + 4x . |
|
|
|
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|
6.13. 1,5. |
|
6.14. |
|
8х – 12. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
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6 |
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4 |
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2 |
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6 |
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12 . |
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1 |
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1 |
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5 |
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||||||||||||||||
6.15. |
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|
+ |
|
|
|
− |
|
|
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|
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|
. |
|
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|
6.16. |
− |
|
|
+ |
|
− |
|
|
6.17. 4x−3 +6x−4 +3x |
− |
2 . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x3 |
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|
x2 |
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
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|
33 x5 |
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|
x3 |
x4 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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4 |
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1 |
|
|
|
1 |
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||||||||||
6.18. −2x−4 + x− |
3 . |
|
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|
6.19. |
−3sin x −2cos x . |
|
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6.20. |
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|
− |
|
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|
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
cos2 |
x |
sin2 |
|
x |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.21. 6 2x ln 2 +3 4x ln 4. |
|
6.22. 2x cos x − x2 sin x . |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6.23. 2sin x +(2x +3) cos x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.24. |
|
|
(x2 + 4x +5)ex . |
|
|
|
|
|
|
|
6.25. 3ln x + |
|
|
3x −2 |
. |
|
|
|
|
|
6.26. |
ex (cos x −sin x). |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
6.27. |
|
|
arcsin x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
. |
|
6.28. |
2x arctg x +1. |
6.29. |
−sin 2x . |
6.30. |
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|
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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(2x −1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||
6.31. |
|
|
|
3 + 2x −2x |
2 |
|
. |
|
|
|
|
6.32. |
|
cos x(x2 +1) −2x sin x |
. |
|
6.33. |
|
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|
−sin x −1 |
|
|
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x2 + x +1)2 |
|
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|
(x2 +1)2 |
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(1 |
+sin x)2 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.34. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.35. |
2x+1 ln 2 |
|
|
|
|
|
6.36. |
|
x2 +1+ln x − x2 ln x |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
. |
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|
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|
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|
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|
|
|
. |
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
(1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.37. |
|
|
2x cos x log2 x + |
x cos x |
− x2 log2 x sin x . 6.38. |
8 . 6.39. 2. 6.40. –3. |
|
|
|
6.41. –2. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 . |
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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ln 2 |
4 . |
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
3 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6.42. |
|
6.43. |
−1. 6.44. − |
6.45. –1. |
6.46. |
3cos3x . |
|
6.47. |
|
bsin(a −bx). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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3 |
|
1 |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|||||||||||||
6.48. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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|
6.49. |
(2x +3)−3 . |
|
|
6.50. |
|
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|
|
|
|
|
|
|
. |
6.51. |
|
|
|
|
|
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|
|
. |
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|
|
6.52. |
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. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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6x +5 |
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sin2 3x |
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5x −1 |
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6x −9x2 |
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3ln2 x . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
6.53. |
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|
(2x −2−x ) ln 2 . |
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|
6.54. |
|
6.55. |
|
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|
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|
|
x |
|
|
. |
6.56. (2 −2x)e2x−x2 . |
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x |
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x |
2 +1 |
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|||
6.57. 10sin x ln10cos x . |
|
|
|
|
6.58. −2x e−x2 . 6.59. e−x2 (1−2x2 ) . |
|
6.60. 12(2x + 4)5 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3arcsin2 ( |
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|
) |
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1 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||
6.61. |
|
|
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|
|
x |
. |
6.62. |
|
|
|
|
. |
|
|
6.63. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
6.64. e |
2x |
(2cos3x −3sin3x) . |
|
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|
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 x 1− x |
|
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|
x2 |
+ 4 |
|
|
1− x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
6.65. |
|
|
−3cos2 x ln 3sin 2x . |
|
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|
6.66. |
|
|
(10−x −10x ) ln10 sin(10x +10−x ) . |
|
|
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|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.67. |
2sin x cos2 x +3sin3 x |
. |
|
|
|
6.68. |
|
2x2 +1 |
|
. |
|
|
|
|
|
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|
6.69. −sin 4x . |
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|
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cos4 x |
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|
2 |
|
|
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|
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x2 +1 |
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|
1−cos 2x |
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|
|||||||||
6.70. −2(1+cos 6x)−3 sin 6x . |
|
6.71. 8(x2 −2x +3) |
3 (x −1) . |
6.72. |
|
|
|
. |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2x −sin 2x |
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|
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|
|
292

6.73. 3e3x cos(e3x ) .
6.76. (2x +1)e x2 +x+2
2x2 + x + 2
−2x
6.80.(x2 +1)2 .
6.74. |
|
−2sin 2x |
|
. |
|
6.75. |
−3 5arccos3x ln 5 |
. |
|
|
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|
||||||
|
cos2 (cos 2x) |
|
|
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|
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|||||||
|
|
1−9x |
2 |
|
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|
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|
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|||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
. 6.77. |
x sin x −cos x |
|
. 6.78. |
3xln x (ln x +1) ln 3. |
6.79. |
|
|
|
4 |
. |
||||||||
sin2 (x cos x) |
|
4 +e2x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.81. |
|
2x +sin x |
|
. |
6.82. 4cos 4x sin2 |
x |
|
+ |
1 sin x sin 4x . |
|||||||||
(x2 −cos x) ln10 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
6.83. 32x 2x ln 3 ln 2 . |
|
6.84. − Ae−bx (b cos(kx + p) + k sin(kx + p)). 6.85. |
2x −4 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−ex (3sin3x +cos3x) −e2x (3sin3x + 2cos3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −4x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.86. |
. |
6.87. |
3ctgx . 6.88. |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
(ex +e2x )2 |
|
|
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|
|
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|
|
x ln x ln 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.89. −3arctg |
(1+ x |
2 |
) |
−1 |
. |
|
|
6.90. − |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
6.91. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
x |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
2 cos x cos |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|||||||||
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2 |
|
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|
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|
8x +9x |
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|
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|
|
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|
|
(2 + x |
|
|
)−3 (3x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.92. |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
6.93. |
|
x +1 |
. |
|
|
|
|
|
6.94. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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||||||||||||
4 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x |
+1 |
|
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|
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|
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|
|
2x |
|
1−2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.95. |
(ex +e−x )(cos x −sin x) . |
|
|
|
|
6.96. sin x ex (2cos2 x +sin x cos x −sin2 x) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ex cos x +e−x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
e−2x −e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6.97. |
(1+ 2x2 ) cos x −(x + x3 )sin x |
. |
|
|
|
6.98. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
6 +e2x +e−2x |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1+ x2 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x−1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6.99. |
3(x |
|
+1) |
|
|
|
|
|
ln(x |
|
+1) + |
|
|
|
|
. 6.100. (sin x) |
|
|
|
|
|
(cos |
|
x −sin |
|
|
x ln sin x) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|||||||
|
|
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4 |
|
4x |
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|||||||||
6.101. (x +1) x |
|
|
|
|
|
|
|
− |
4ln(x |
+1) x |
−2 . |
|
|
|
6.102. 2xln x−1 ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.103.
6.105.
6.107.
6.108.
6.109.
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −x |
|
|
6(x2 |
− x) |
|||||
2(tg2x) |
|
|
ln tg2x + |
|
|
|
. |
|
6.104. |
|
|
(ctg3x) |
|
|
(2x −1) ln(ctg3x)− |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 6x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)x4 +3 (4ln x +1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.106. (x) x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (ln x + 2) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
e |
sin 3x |
|
x |
2 |
|
|
+1+3ctg3x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
3 |
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x + 2) |
|
|
|
x |
|
+ x +1(2x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2(x |
2 |
|
|
|
|
− |
2x −1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
+ x +1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
cos x |
|
1+e |
|
|
|
|
|
−tgx + |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1+e |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
293

|
|
|
|
2x3x |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
e y |
|
|
|
|
|
|
|
1+ y2 |
|
|||||
6.110.3x |
|
|
(2x) |
|
ln 2xln x |
+ ln x + |
|
|
|
. |
6.111. |
|
|
|
|
|
.6.112. |
|
|
|
|
. |
6.113. |
− |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y −2 |
2 − xe y |
y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6.114. |
|
|
|
2x −sin y |
|
|
. |
6.115. |
2xy − y2 −3x2 |
. 6.116. |
|
|
x |
|
. 6.117. − |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x cos y −sin y |
2xy +3y2 − x2 |
1+ln y |
1+sin y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6.118. |
1 |
. 6.119. |
2 |
|
xy |
|
− y |
. 6.120. −1; 1. |
|
6.121. −1; 1. 6.122. – 3. 6.123. −0,5 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
xy + x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.124. |
17 . |
|
6.125. |
4 . |
6.126. 5. |
6.127. 3. |
6.128. 4. |
|
6.129. 1,25 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
24 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.130. y = −7x +3; |
y = 1 x + 71 . |
|
|
6.131. |
y = |
1 x +1; |
|
y = −4x +18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.132. y = x −1; |
y = −x +1. |
6.133. y = 2x +3; |
y = − 1 x + |
1 |
. |
|
|
6.134. 450 ; 1350 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.135. arctg |
6.136. arctg4 ;π −arctg4 . 6.137. 2. |
|
|
6.138. 2 ± |
|
|
|
. 6.139. 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6.141. 6c . 6.142. t = 3 и t = 5. 6.143. –0,5. 6.144. –2. 6.145. 1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.140. –1; 11; 3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.146. 3. |
6.147. 6. |
6.148. –0,25. 6.150. 27e2 . 6.151. 0. |
|
6.152. 2. 6.153. |
80 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y′ = 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ = 6x −4; y′′′ = 6; y(n) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
y′ = 4x3; |
|||||||||||||||||||
6.155. |
|
|
|
−4x + 4; |
при |
|
n ≥ 4. |
|
|
6.156. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′′ =12x2 , y′′′ = 24x, y(4) = 24, y(n) |
= 0, при n ≥ 5 . |
|
6.157. y(n) = ex , n ≥1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.158. y(4n+1) |
= cos x, |
|
y(4n+2) |
= −sin x, y(4n+3) |
= −cos x, y(4n) |
= sin x, |
n ≥ 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.159. y(4n+1) |
= −sin x, |
|
y(4n+2) = −cos x, |
y(4n+3) |
= sin x, y(4n) = cos x, |
n ≥ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.160. y(n) = |
(−1)n−1 2n (n −1)!, n ≥1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ 2x)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(n) |
|
(−1)n (−3)(−7)...(5 |
− 4n) |
|
|
|
|
1−4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.161. y |
= |
(1 − x) |
4 |
, n ≥1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.162. при ∆x = 0,5 : ∆y = 3,25, dy = 3, |
| ∆y − dy |= 0,25, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
при ∆x = 0,1: ∆y = 0,61,dy = 0,6, |
|
| ∆y − dy |= 0,01, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
при ∆x = 0,04 : ∆y = 0,2416, dy = 0,24, | ∆y − dy |= 0,0016 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.163. ∆y = 0,2048, dy = 0,2, |
| ∆y − dy |= 0,0048 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.164. при ∆x =1: ∆y =18, dy =11, | ∆y − dy |= 7 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
при ∆x = 0,1: ∆y =1,161,dy =1,1, |
| ∆y − dy |= 0,061, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
при ∆x = 0,01: ∆y = 0,110601,dy = 0,11, | ∆y − dy |= 0,000601. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.166. ∆V = 61,208, |
|
dV = 60 . 6.167. R =8 . 6.168. |
4 |
dx |
. 6.169. |
dx |
. 6.170. |
cos x dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.171. 2x ln 2 dx . |
6.172. 8x3dx . 6.173. − |
4dx |
. 6.174. (4 −2x2 ) |
dx . 6.175. x sin x dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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