
- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература

5.115. lim cosαx −2cos βx , α ≠ β ;
x→0 x
|
|
|
−2cos x |
|
5.117. lim |
|
2 |
; |
|
|
π −4x |
|||
x→π |
|
|||
4 |
|
|
|
|
5.116. limtg |
πx |
sin |
x −α |
; |
2α |
|
|||
x→α |
2 |
|
1
5.118. lim 1+ tg x sin x . x→0 1+sin x
5.5. Сравнение бесконечно малых
Пусть α =α(x) и β = β(x) есть бесконечно малые функции при x → x0 ,
т.е. |
limα(x) = lim β(x) = 0. Для сравнения при x → x0 |
двух данных бесконеч- |
||||
|
x→x0 |
x→x0 |
|
α(x) . |
||
но малых функций находят предел их отношения lim |
||||||
|
|
|
α(x) |
x→x0 |
β(x) |
|
|
1. Если lim |
= 0 , то функция α(x) называется бесконечно малой бо- |
||||
|
|
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
лее |
высокого |
порядка, чем β(x) при x → x0 . |
В |
этом случае пишут |
||
α(x) = o(β(x)), x → x0 |
(читается: α(x) есть «о малое» от β(x) при x → x0 ). |
|||||
|
2. Если lim |
α(x) |
= C , где C – число, отличное от нуля, то функции α(x) |
|||
|
|
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка при x → x0 , в частно-
сти, если lim α(x) =1, то функции α(x) и β(x) называются эквивалентными
x→x0 β(x)
бесконечно малыми при x → x0 , что обозначается так: α(x) β(x), x → x0 .
Если lim |
α(x) |
= ∞, то это означает, |
что lim |
β(x) |
= 0 . |
Таким образом, |
x→x0 |
β(x) |
|
x→x0 |
α(x) |
|
|
β(x) является |
бесконечно малой более |
высокого |
порядка, |
чем α(x) при |
x → x0 , т.е. β(x) = o(α(x)).
При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при x → 0:
sin x x , tg x x , arcsin x x, arctg x x ;
loga (1+ x) lnxa = x loga e , где a > 0 , a ≠1, в частности ln(1+ x) x ;
195
ax −1 x ln a , где a > 0 , в частности ex −1 x ;
(1+ x)m −1 mx .
Кроме того, |
имеет |
место следующий факт: если |
α(x) α1 (x) , |
||||||||
β(x) β1 |
(x) при x → x0 , |
и существуют пределы limα(x)β(x) и lim |
α(x) |
, то |
|||||||
справедливы равенства |
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
β(x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
α(x)β(x) = limα1 |
(x)β(x) = limα(x)β1 (x) = limα1 (x)β1 (x) , |
|
|
|||||||
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
lim |
α(x) |
= lim |
α1 (x) |
= lim |
α(x) |
= lim |
α1 (x) . |
|
|
|
|
β(x) |
β1 (x) |
|
|
|
|||||||
x→x0 |
x→x0 |
β(x) |
|
x→x0 |
x→x0 |
β1 (x) |
|
|
|
Таким образом, предел произведения или частного двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую, или одну из них, заменить эквивалентной бесконечно малой.
Пример 5.14. Сравнить бесконечно малые при x → x0 величины α(x) и
β(x), если:
1)α(x) = x3 −6x4 +9x2 , β(x) = 5x4 − x2 , x0 = 0 ,
2)α(x) = xsin3 x, β(x) = 5x2 sin x, x0 = 0 ;
3)α(x) = (x −1)ln x , β(x) = (x −1)2 , x0 =1.
Ре шен и е : 1) найдем предел отношения
lim |
α(x) |
= lim |
x3 |
−6x4 +9x2 |
= lim |
x −6x2 +9 |
= 9. Предел отношения двух |
β(x) |
|
5x4 − x2 |
5x2 −1 |
||||
x→x0 |
x→0 |
|
x→0 |
|
данных бесконечно малых функций является числом, отличным от нуля, следовательно, α(x) и β(x) есть бесконечно малые одного порядка при x → 0;
2) поступая так, как в пункте 1), находим |
|
|
|
|
|||||||||
lim |
α(x) |
= lim |
xsin3 x |
= lim sin2 x |
= |
1 lim sin x sin x = |
1 |
1 0 |
= 0, |
||||
β(x) |
5x2 sin x |
5 |
|||||||||||
x→x0 |
x→0 |
x→0 |
5x |
|
5 x→0 |
x |
|
|
|||||
следовательно α(x) = o(β(x)) при x → 0; |
|
|
|
|
|
||||||||
3) имеет место цепочка равенств |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
α(x) |
= lim |
(x −1)ln x = lim |
ln x |
|
= lim ln(1+(x −1)) |
=1, |
|
|||||
β(x) |
|
|
|||||||||||
x→x0 |
x→1 |
(x −1)2 |
x→1 x −1 |
|
x→1 |
x −1 |
|
|
|
откуда следует вывод о том, что α(x) β(x) при x →1.
Пример 5.15. Заменяя бесконечно малые эквивалентными, вычислить пределы:
196

1) lim |
sin 2x |
; |
2) lim |
ln(1+6x arcsin x)sin 5x |
; |
|
|
3) lim |
ln(x2 ) |
. |
|||||||||||||||||
5x −1 |
|
|
|
|
(ex −1) tg x2 |
|
|
x |
4 −1 |
||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
||||||||||||||
Р е шен и е : 1) поскольку sin 2x 2x , 5x |
−1 x ln5 при x → 0, справед- |
||||||||||||||||||||||||||
ливы равенства lim sin 2x |
= lim |
|
2x |
= |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x→0 5x −1 |
x→0 x ln5 |
|
|
ln5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) замечая, что 6x arcsin x → 0 при x → 0, получим цепочку эквивалент- |
|||||||||||||||||||||||||||
ностей: ln(1+6x arcsin x) 6x arcsin x 6x2 , а также sin 5x 5x , (ex −1) x , |
|
||||||||||||||||||||||||||
tg x2 x2 |
при x → 0, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
ln(1+6x arcsin x)sin 5x |
= lim |
6x2 5x |
= 30; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(ex −1) tg x2 |
|
|
|
|
x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) при x →1 имеем x2 −1→ 0, поэтому ln x2 = ln(1+(x2 −1)) x2 −1, |
|
||||||||||||||||||||||||||
отсюда получаем равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
ln(x2 ) |
= lim |
ln(1+(x2 −1)) |
= lim |
|
|
x2 −1 |
|
= lim |
|
1 |
|
|
= |
1 |
. |
|
||||||||||
x4 |
−1 |
(x2 −1)(x2 +1) |
|
−1)(x2 +1) |
|
x2 +1 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
x→1 |
|
x→1 |
|
x→1 (x2 |
x→1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Сравнить бесконечно малые при x → x0 |
величины α(x) и β(x), если |
|
|||||||||||||||||||||||||
5.119. α(x) = x2 sin2 x, β(x) = xsin3 x , |
|
x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.120. α(x) = x3 −4x , β(x) = x + x4 , |
x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.121. α(x) = (x −5)2 , |
β(x) = (x −5)3 , x0 = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.122. α(x) = sin(x −1)2 , β(x) = arcsin(x −1) , x0 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5.123. α(x) =1−cos x |
, β(x) = |
x2 |
, |
x0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.124. α(x) = 4x |
−1, β(x) = 5x −1, |
x0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:
5.125. lim tg 6x . |
5.126. lim |
x arcsin3x |
. |
|||||
|
|
|
|
|||||
x→0 |
2x |
x→0 |
|
5sin2 x |
||||
5.127. lim ln(1+ 2x) . |
|
|
|
|
−2 |
. |
||
5.128. lim |
|
|
x + 4 |
|||||
|
|
|
|
|||||
x→0 |
arcsin3x |
x→0 |
|
sin 2x |
197

|
|
|
|
|
|
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
5.129. lim |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
sin2 2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.131. lim |
tg x −sin x |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
x(1−cos 2x) |
|
|
|
|
|||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
−2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
5.133. lim |
|
|
4 + x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
3arctg x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.135. lim lncosax . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→0 |
lncosbx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.137. lim |
sin(ex−1 −1) |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.139. lim |
(7x −1)(2x −1) |
. |
|
|
|
||||||||||||
(4x −1)(3x −1) |
|
|
|
||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
5.141. lim |
|
|
|
arctg2 3x ln(1− x3 ) |
. |
||||||||||||
tg9x(1−cos 2x)(ex |
2 |
−1) |
|||||||||||||||
x→0 |
|
|
|||||||||||||||
5.143. lim |
ln(1 |
+ x −3x2 + 2x3 ) |
. |
|
|||||||||||||
ln(1 |
+3x −4x2 + x3 ) |
|
|||||||||||||||
x→1 |
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||
5.145. lim |
|
|
8 +3x |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
16 |
+5x −2 |
|
|
|
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.147. lim ln(2 −cos 2x) . |
|
|
|
|
|||||||||||||
x→0 |
ln2 (sin 3x +1) |
|
|
|
|
1
5.149. lim(cos2x)x2 .
x→0
5.151. lim x |
cos |
x |
|
. |
x→0 |
|
|
|
|
5.130. lim1−cos3 x .
x→0 4x2
5.132. lim x(1− tg x) .
x→π4
5.134. lim lncos x . x→0 ln(1+ x2 )
5.136. lim |
|
1+ x2 |
|
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1−cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.138. lim |
|
|
|
|
|
1+sin 3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
ln(1+ tg 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5.140. lim arctg(x −2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→2 |
|
x |
2 |
−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
sin 3 |
|
|
ln(1+3x) |
|
|
|||||||||||||||
5.142. lim |
|
|
|
x |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
x→0 |
(arctg |
|
|
x)2 (e5 |
|
|
|
x |
−1) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.144. lim |
|
|
|
5 |
(1 |
+ x)3 |
−1 |
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
(1+ x)3 (1+ x)2 −1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.146. lim |
|
|
1+ x + x |
2 |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.148. lim ln(1+ 2x −3x2 + 4x3 ) . x→0 ln(1− x + 2x2 −7x3 )
2
5.150. lim(cos x)x .
x→0
5.152. lim( 2 arccos x)1 .
x
x→0 π
198