§ 2.3.3. Реализация аналитических математических моделей на эвм
При построении ММ сложного технического объекта, состоящего из нескольких физических подсистем, нужно:
Провести анализ объекта моделирования;
Выделить в объекте однородные физические подсистемы;
Получить эквивалентную структурную схему для каждой из них;
Установить связи между подсистемами;
Получить математическое описание в виде системы компонентных и топологических, уравнений в следующей форме.
1).
(2.11)
где: U — вектор переменных: состояния, моделируемого объекта размерностью n ;
F — вектор- функция;
t — время
(начальные условия:
)
. Это явная форма ОДУ.
2).
Ф (
)
= 0(2.12)
где: V — вектор фазовых переменных, достаточных для определения объекта, размерностью n ;
—вектор производных
фазовых переменных по времени, причём
вектор
имеет только
ненулевых
элементов (
n);
Ф —
вектор-функция (начальные условия
).
При составлении эквивалентной схемы следует соблюдать следующие правила. Избегать последовательного соединения источника типа I и компонента типа L, поэтому между ними нужно вставлять диссипативный элемент R. Не допустимо параллельное соединение источника типа E и компонента типа C. В этом случае последовательно с C соединяется компонент R.
Построение формальной модели на макро уровне.
Используя описанную выше методику, составим формальную математическую модель для однородной электрической технической системы (рис. 2.14).
Рис. 2.3 Математическая макромодель
Система состоит из 5-ти элементов. Один активный – источник потенциала, три пассивных и один вспомогательный – ключ.
При замыкании ключа в цепи появится ток i. Первые два уравнения системы (2.13) топологические, а остальные компонентные.
(2.13)
Продифференцируем уравнение для тока через ёмкость:
Тогда с учётом того, что:
или
(2.14)
Таким образом, математическое описание этой простой системы на макро уровне представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка, которое легко решается с помощью пакета MatLab.
На метауровне моделируют сложные технические объекты - системы управления (СУ), системы массового обслуживания (СМО). Подходы к ним различные, поэтому моделирование СМО рассмотрено в разделе 3.
Модели СУ, как правило, описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для решения задачи можно использовать программный комплекс MatLab, ПК МВТУ или SciLab.
Методика моделирования основана на установленные соответствия между компонентами исходных уравнений и блоками, реализуемыми на персональном компьютере (например, пакет Simulink, который содержится в составе пакета MatLab).
Рассмотрим простой пример. Система управления состоит из бака со свободным сливом воды и Пи-регулятора, который должен поддерживать уровень в заданных границах.
Объект
описывается дифференциальным уравнением:
ПИ-регулятор описывается уравнением:
выполнив следующие преобразования, получим систему уравнений
Это система из двух дифференциальных уравнений первого порядка, которые были решены относительно производных. Производная первого уравнения представляет собой сумму двух слагаемых. Производная второго уравнения содержит тоже два слагаемых. Одно из них - производная из первого уравнения. Структурная схема составляется следующим образом. Предполагают, что y' существует. Если её продифференцировать, то можно получить y.
Эти
уравнения логически представить в виде
структурной схемы (рис. 2.13)
Рис.2.13. Структурная схема метамодели СУ
Эта схема реализуется в среде Simulink набором соответствующих блоков из библиотеки.
