§ 4.2.2. Основы теории систем массового обслуживания (смо).

В практических задачах часто встречаются ситуации, когда с течением времени случайным образом осуществляются те или другие однородные события, например: поступление вызовов на телефонную станцию, выход из строя элемента в технической системе, и т.д.

Структура такой системы может быть представлена следующей схемой:

Рис 4.1. Структура СМО

Источник требований;
Входной поток требований (заявок);
Очередь требований (ожидание обслуживания);
Обслуживающее устройство (m каналов);
Выходящий поток обработанных требований (заявок);
Выходящий поток не обработанных требований (заявок).

Системой массового обслуживания (СМО) называют любую систему, предназначенную для обслуживания большого потока заявок. Классификацию СМО проводят в соответствии с рис. 4.2.

Различают два основных типа СМО по условиям ожидания канала обслуживания:

СМО с отказами (заявка, которая поступила во время, когда обслуживающее устройство (ОП) занятый, получает отказ и оставляет систему)
СМО с ожиданием (заявка при отказе не оставляет систему, а становится в очередь и ждет пока освободится ОП)

Время ожидания и количество мест в очереди могут быть как ограниченными, так и неограниченными.

Система обслуживания может быть одноканальной и многоканальной.

Поступление заявки (требования) на обслуживание - случайное событие N(t). Число событий N(t) в промежутке времени (0, t) представляет собой непрерывную, неубывающую целочисленную функцию, которая увеличивается скачками.

Под потоком событий понимают последовательность случайных событий, которые происходят одно за другим в какие-то промежутки времени (различаются только моментом времени, когда они проявляются).

Такой поток можно графически представить как последовательность точек t₁, t₂, ...,t_k на числовой оси, соответствующих моментам появления событий (рис 4.3).

Однофазная СМО

Свойства входного потока заявок	Организация ожидания обслуживания	Свойства канала обслуживание
Закон распределения потока заявок Показательный Эрланга Релея Нормальный Равномерный Поток нерегулярный Ординарный	Без ожидания Ожидание ограниченное неограниченное по продолжительности очередь - ограниченная по величине - без ограничения - упорядоченная - неупорядоченная - с приоритетом - без приоритета	Одноканальная Многоканальная Продолжительность обслуживания - ограниченная - неограниченная Надежность канала - абсолютная - вероятная - с восстановлением - без восстановления

Рис. 4.2. Классификация СМО

Рис. 4.3. Графическое представление потока

Потоком однородных случайных событий называется случайный процесс N(t) с целочисленными непрерывными значениями и непрерывным временем.

Поток называется стационарным, если вероятность попадания того или другого числа событий на участок  (рис. 4.3) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на вехе времени расположенный этот участок.

Поток случайных событий (ПСС) называется потоком без последствий, если число событий, которые поступили в интервалы времени которые не пересекаются, являются независимыми случайными величинами.

ПСС называют ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок t двух или больше событий значительно меньше по сравнению с попаданием одного события.

Если  - число событий в определенное время, то =1/ - плотность потока.

ПСС может быть задан распределением числа событий, которые происходят в интервале времени произвольной длины и расположенные произвольно относительно начала отсчета или распределением продолжительности интервала между отбытием событий.

Наиболее часто используемая функция распределения представляют собой вероятность того, что в интервале [0,t] или [t_i, t_j] состоится ровно N событий.

Если поток стационарен, ординарен и не имеет последействий, то он называется простым (стационарным пуассоновским, Пальма) потоком, т.к. распределение подчиняется закона Пуассона.