чм

Міністерство освіти та науки України

Одеський національний політехнічний університет

Кафедра автоматизації теплоенергетичних процесів

конспект лекцій з дисципліни "Числові методи і моделювання на ЕОМ"

Частина 2

для студентів інституту енергетики і систем комп'ютерно – інтегрованого управлиння

при підготовке бакалаврів за напрямком 6 050202 – Автоматизація і комп'ютерно - інтегровані технології

Одеса 2008

Раздел 1. Основы моделирования систем Тема 1.1. Модели и моделирование

§- 1.1.1.Моделирование — метод познания и этап всякой целенаправленной деятельности

Учебные элементы:

Объект Методы изучения элементов систем автоматизированного управления. Аналогия.

Моделирование. Модель.

Оригинал.

Задача.

Проблема. Субъект деятельности. Сходство.

Различие. Существенность.

Не существенность.

Внешняя среда, в которой существует человек состоит из объектов. Объект представляет собой конкретный опознаваемый предмет, единицу или сущность (реальную или абстрактную), имеющую четко определенное функциональное назначение в данной предметной области. В общем можно сказать, что объект

– это осязаемый и или видимый предмет; нечто воспринимаемое мышлением; нечто, на что направлена мысль или действие. Объекты обладают состоянием, поведением, индивидуальностью. Объекты существуют во времени, изменяются, имеют внутреннее состояние, преходящи и могут создаваться, разрушаться и разделяться. Объекты существуют не изолированно, а могут подвергаться воздействию или сами воздействовать на другие объекты.

Состояние объекта характеризуется перечнем всех возможных (обычно статических) свойств данного объекта и значениями (обычно динамическими), каждого из этих свойств.

Поведение, характеризует, как объект воздействует или подвергается действию других объектов с точки зрения изменения состояния этих объектов и передачи сообщений. Поведение объекта полностью определяется его действиями. Поведение – это то, как объект действует и реагирует.

Индивидуальность – это такие свойства объекта, которые отличают его от всех других объектов. Структура и поведение схожих объектов определяет общий для них класс, а экземпляр класса – объект.

Предметной областью нашей специальности являются объекты, в которых осуществляются различные технологические процессы (механические, гидравлические, теплотехнические, химические, ядерные).

Специалистам по автоматизации и компьютерно - интегрированным технологиям при решении инженерных задач приходиться оценивать состояние, поведение и индивидуальность (статические и динамические характеристики) технологических объектов управления (ТОУ). Большинство ТОУ представляют собой большие и сложные системы, изучение которых сопряжено со значительными трудностями.

Втоже время нередко бывает так, что те или иные свойства и характеристики, трудно обнаруживаемые

вкакой-либо системе, сравнительно заметно проявляются в другой, сходной с первой по определённым признакам. По сути дела при объяснении сложных явлений ищутся сходства с тем, что уже известно. Т.е. познание неизвестного, непонятного идёт через уже известное, понятное. Такие пути познания называют методами аналогии и моделирования.

Получение того или иного вывода с помощью метода аналогии поясним следующим образом. Пусть

некоторые объекты А и В характеризуются одинаковыми свойствами: a, b, c, d, e. Пусть, далее, у объекта А наблюдается свойство f. Метод аналогии предполагает, что, и объект В обладает этим свойством f, хотя и не наблюдаемым непосредственно. Однако этот вывод не является абсолютно достоверным, а носит вероятностный характер и поэтому нуждается в дополнительной проверке.

Более эффективным является метод познания, который называется моделированием.

В то же время любая человеческая деятельность направлена на достижение определённой цели — образ желаемого будущего, который надо как-то сформулировать.

Для определения ключевого понятия “моделирование ” напомним, что любые два объекта О1 и О2 являющиеся предметами человеческой деятельности всегда в чем-то сходны и в чем-то различны.

Если О1 и О2 имеют существенное сходство и несущественное различие, то возможно изучение важнейших свойств О1 с помощью О2. Назовем О1 — натурой или оригиналом, а О2 — моделью.

Замещение объекта О1 объектом О2 для изучения или фиксации важнейших свойств О1 с помощью O2 называется моделированием объекта O1 объектом O2. Модель и оригинал реализуются в определенной

окружающей среде.

Модель можно считать специальной системой, т.е. цель деятельности можно считать моделью состояния, на реализацию которого и направлена деятельность. Целесообразная деятельность невозможна без моделирования. Алгоритм деятельности, также модель этой деятельности, которую ещё предстоит реализовать.

Таким образом, моделирование является обязательным неизбежным действием во всякой целесообразной деятельности, пронизывает и организует её, представляет собой не часть, а аспект этой деятельности. Представить ситуацию моделирования можно следующим образом ( рис.1.1).

Рис. 1.1.Схема ситуации моделирования

В этой схеме появляется ещё один компонент — задача.

Задача возникает тогда, когда для достижения цели есть несколько неочевидных путей и надо выбрать

наилучший.

Попутно заметим, что совокупность задач образуют проблему (рис.1.2):

Рис. 1.2. Проблемы и задачи

Понятие модели является фундаментальным и его следует рассмотреть с системных позиций.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

Дайте определение понятия объект.

Какими методами можно изучать автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУ ТП)?

В чём сущность и различие методов аналогии и моделирования? Нарисуйте структуру ситуации моделирования?

Как соотносятся между собой задача и проблема?

При каких условиях оригинал можно заменить моделью?

§-1. 1. 2. Модель как многоместное отношение

Учебные элементы:

Историзм понятия модель.

Система

Свойства Отношения между элементами.

Определение понятия модель.

Понятие модели претерпело значительные изменения в процессе развития науки.

Первоначально моделью называли некоторое вспомогательное средство, объект, который в определённой ситуации заменял другой объект. При этом далеко не сразу была понята универсальность законов природы, всеобщность моделирования, т.е. не просто возможность, но и необходимость представлять любые наши знания в виде моделей.

Например, древние философы считали невозможным моделирование естественных процессов, так как по их представлениям, природные и искусственные процессы подчинялись различным закономерностям. Они полагали, что отобразить природу можно только с помощью логики, споров, рассуждением, т.е. по современной терминологии, языковых моделей.

Через несколько столетий девизом английского Королевского научного общества стал лозунг “ничего словами”. Признавались только выводы, подкреплённые экспериментально или математическими выкладками. В результате очень долго понятие “модель” относилось только к материальным объектам.

Только позднее были осознаны модельные свойства чертежей, рисунков, карт — реальных объектов искусственного происхождения, воплощающих абстракции довольно высокого уровня. Следующий шаг заключался в признании того, что моделями могут служить не только реальные объекты, но и идеальные, абстрактные построения, например, математические модели.

Следует напомнить, что любой объект (оригинал) представляет собой СИСТЕМУ. Формально систему можно представить таким соотношением:

S= { E , P, R }

Систему образуют МНОЖЕСТВО элементов Е, с определенными СВОЙСТВАМИ Р и связанными определенными ОТНОШЕНИЯМИ R. В определенном смысле модель тоже представляет собой систему:

s={e , p , r }

Под отношением , R будем понимать взаимозависимость или взаимодействие двух или более материальных или абстрактных объектов, явлений. Отношения взаимодействия могут быть материальными, энергетическими или информационными. Различают следующие отношения взаимозависимости: : подобие, идентичность, аналогия, гомоморфизм, изоморфизм, причина - следствие, цельсредство, связь (последовательная, параллельная, обратная, комбинированная). Взаимозависимость может быть также функциональной, логической, пространственной и временной. Кроме того между объектами А, В, С могут быть отношения:

1.рефлексивность – А=А

2.симметрия – А=В, а В=А

3.транзитивность – А=В, В=С, А=С

4.эквивалентность – если соблюдаются первые три отношения.

Свойство Р – это свернутое (одноместное) отношение.

Как и для понятия “система”, есть много определений понятия “модель”. Мы будем придерживаться следующего:

Модель в общем смысле есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами (формулы, графики и т.п.), либо материального предмета, отражающий свойства, характеристики и связи объекта—оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой человеком.

Из этого определения следует, что понятие модели оказывается невозможным ограничить только тем самым, что непосредственно называется моделью.

Схема на рисунке 1.1 отображает модель как многоместное отношение между “субъектом” — инициатором моделирования и (или) пользователем его результатов; “объект—оригинал” — предмет моделирования; “модель” — отображение объекта; “среда”, в которой находятся и взаимодействуют все элементы этого множества. Можно коротко сказать, что модель есть системное отображение оригинала.

Каждому материальному объекту соответствует бесчисленное множество различных моделей, связанных с различными задачами. Поэтому существует несколько признаков для классификации моделей.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

Как изменялось понятие модели при развитии науки?

Рис.1.3 Классификация моделей Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством

соединений новых знаний с уже имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встаёт задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели. Познавательная деятельность основана на приближении модели и реальности (рис. 1.4а).

Прагматические модели являются средством организации практических действий, средством управления, способом представления образцовых действий или их результата.

Рис. 1.4. Различия между познавательной (а) и прагматической моделью (б)

Использование прагматических моделей состоит в том, чтобы при обнаружении расхождений между моделью и реальностью направить усилия на изменения реальности так, чтобы приблизить реальность к модели

Примерами прагматических моделей могут служить планы, программы, экзаменационные требования и т.д. (рис. 1.4б).

Чувственные модели служат для удовлетворения эстетических потребностей человека (произведение искусства).

Другим принципом классификации целей моделирования служит деление моделей на статические и динамические.

Статические модели отражают конкретное состояние объекта (моментальная фотография). Если нужно изучить различия между состояниями системы строят динамические модели.

Модели сознательно создаваемые субъектом (человеком) воплощаются из двух типов материалов годных для их построения — средства окружающего мира и средства самого сознания человека.

По этому признаку модели делятся на абстрактные (идеальные, мысленные, символические) и вещественные (материальные, реальные).

Абстрактные модели являются идеальными конструкциями, построенными средствами мышления. Их различают по языку описания и способу построения (рис.1.3).

По способу построения абстрактные модели делятся на аналитические (теоретические), формальные (экспериментальные) и комбинированные. Аналитические модели строятся по данным о внутренней структуре объекта и на основе физических законов, описывающих протекающие в нём процессы.

Формальные модели строятся по данным экспериментальных исследований, в процессе которых устанавливаются взаимосвязи между входными воздействиями и (выходными) параметрами состояния объекта.

Комбинированные модели используют принцип уточнения в эксперименте параметры структуры и закономерностей аналитической модели.

По типу языка описания символические модели разделяются на текстовые (словесные), графические

(чертежи, схемы), математические и комбинированные.

Чтобы некоторая материальная конструкция могла быть отображением, т.е. замещала в каком-то отношении оригинал, между моделью и оригиналом должно быть установлено отношение подобия.

Будем различать три вида подобия: прямое, косвенное и условное (рис. 1.3).

Прямое подобие может быть пространственным (макеты судов, самолётов, манекены и т.д.) и физическим. Физическим подобием называют явления в геометрически подобных системах, у которых в процессе их функционирования отношения характеризующих их одноимённых физических величин в

сходственных точках являются постоянной величиной (критерии подобия). Пример физической модели — испытание макета самолёта в аэродинамической трубе.

Второй тип подобия в отличие от прямого подобия называют косвенным. Косвенное подобие между оригиналом и моделью устанавливается не в результате их физического взаимодействия, а объективно существует в природе, обнаруживается в виде совпадения или достаточной близости их абстрактных моделей и после этого используются в практике реального моделирования. Примером косвенного подобия служит аналогии между физическими (фазовыми) переменными (табл. 1.1).

Закономерности механических, тепловых, электрических процессов описываются одинаковыми уравнениями: различие состоит лишь в разной физической интерпретации переменных входящих в уравнения.

В результате оказывается возможным не только заменить громоздкое экспериментирование с механической или тепловой системой, на простые опыты с электрической схемой (R, L, C - цепи) или электронной моделью (АВМ).

Роль моделей обладающих косвенным подобием оригинала, очень велика. Часы — аналог времени. Аналоговые и цифровые вычислительные моменты (материальный объект) позволяет найти решение любого дифференциального уравнения.

Третий особый класс реальных моделей образуют модели, подобие которых оригиналу не является ни прямым, ни косвенным, а устанавливается в результате соглашения. Такое подобие называют условным.

Примерами условного подобия служат деньги (модель стоимости), знаки дорожного движения (модель сообщения) и т.д.

С моделями условного подобия приходится иметь дело очень часто. Они являются способом материального воплощения абстрактных моделей, вещественной формой, в которой абстрактные модели могут передаваться от одного человека к другому, хранится до момента их использования, т.е. отчуждаться от сознания и всё-таки сохранять возможность возвращения в абстрактную форму. Это достигается с помощью соглашения о том, какое состояние реального объекта ставится в соответствие данному элементу абстрактной модели. Такое соглашение принимает вид совокупности правил построения моделей условного подобия и правил пользования ими.

Таким образом, мы рассмотрели вопросы о том, что отображает модель, из чего и как она может быть построена, каковы внешние условия осуществления функций модели. Но важен и вопрос о ценности самого моделирования, т.е. отношение моделей с отображаемой ими реальностью: чем отличаются модели и моделируемые объекты или явления, в каком смысле, и до какой степени можно отождествлять модель с оригиналом.

Различают следующие главные отличия модели от оригинала: конечность, упрощенность и приближенность (адекватность).

Модель конечна, так как она отображает оригинал лишь в конечном числе отношений при ограниченном количестве ресурсов.

Модель всегда упрощенно отображает оригинал за счет конечности модели; отображение только главных существенных свойств и отношений; ограниченностью средств оперирования с моделью. Упрощённость характеризует качественные различия модели и оригинала.

Модель отображает оригинал приближённо. Этот аспект допускает количественную оценку различия (“больше - меньше”, “лучше - хуже”). С приближенностью модели связано понятие адекватность.

Модель с помощью, которой успешно достигается поставленная цель, называют адекватной этой цели. Адекватность модели не гарантирует требования полноты, точности и истинности модели, но означает, что они выполняются в той мере, которая достаточна для достижения цели. Упрощение и приближённость

модели необходимы, неизбежны, но замечательное свойство мира и нас самих состоит в том, что этого достаточно для человеческой практики.

Между моделью и оригиналом кроме различий есть сходства.

Сходство выражается, прежде всего, в истинности модели. Степень истинности модели выясняется только в её практическом соотношении с отображенной ею натурой. При этом изменение условий, в которых ведётся сравнение, весьма существенно влияет на результат: именно из-за этого возможно существование

двух противоречивых, но “одинаково” истинных моделей одного объекта. Яркий пример этого – волновая и корпускулярная модели электрона.

Сходство модели и оригинала зависит от сочетания истинного и ложного типов модели. Кроме, безусловно, истинного содержания в модели имеется: 1) условно истинное (т.е. верное лишь при определенных условиях); 2) предположительно истинное (т.е. условно – истинное при неизвестных условиях), а следовательно, логичное. При этом в каждых конкретных условиях неизвестно точно, каково же фактическое соотношение истинного и ложного в данной модели. Ответ на этот вопрос только практика.

Однако в любом случае модель принципиально беднее оригинала, это ее фундаментальное свойство. Завершая рассмотрение понятия “моделирование” следует подчеркнуть, что, собираясь создавать

модель системы нужно иметь в виду следующую схему (рис. 1.5):

модель есть отражение

для кого ?

зачем ?

чего ?

какими средствами ?

в какой среде ?

какого качества ?

каким способом ?

Рис.1.5. Оценка ситуации моделирования

Широкое распространение при исследовании технических систем получил метод математического моделирования, который рассмотрим более подробно.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

1.Какие признаки образуют семейство моделей?

2.Какие признаки образуют типы моделей?

3.Какие признаки образуют род моделей?

4.Чем отличается прагматическая модель от познавательной модели?

5.На каких языках можно представлять модели?

6.Каковы виды прямого подобия материальных моделей?

7.Чем отличаются между собой вещественные модели косвенного и условного подобия?

8.Каковы признаки отличия модели и оригинала?

9. С помощью, каких вопросов можно оценить ситуацию моделирования?

§ 1.1.4. Объекты моделирования и их классификация

Учебные элементы:

1.Признаки классификации объектов моделирования.

2.Тип, свойства и методы исследования объекта.

3.Непрерывные — дискретные объекты.

4.Стационарные — не стационарные объекты.

5.Сосредоточенные — распределённые объекты.

6.Одномерные, многомерные объекты.

7.Детерминированные — стохастические объекты.

8.Динамические — статические объекты.

9.Линейные, не линейные объекты.

10.Аналитические, идентифицируемые, комбинированные методы исследования.

11.Математическая модель.

12.Математическое моделирование.

13.Параметры и фазовые переменные модели.

14.Характеристики моделей (универсальность, точность, адекватность и экономичность).

15.Признаки классификации ММ:

16.Структурные — функциональные модели;

17.Полные — макромодели;

18.Аналитические — алгоритмические модели;

19.Формальные — не формальные модели;

20.Теоретические — эмпирические модели.

Прежде чем рассмотреть требования к математическим моделям и их разновидности, целесообразно становится на различиях объектов моделирования, которые можно классифицировать по следующим признакам: свойства объекта, тип задачи и метод исследования объекта (рис.1.6.).

Объекты моделирования

Рис 1.6 Классификация объектов математического моделирования

Непрерывными считаются объекты, выходные переменные которых являются аналоговые физические величины. Большинство технологических процессов и аппаратов являются непрерывными.

Дискретные объекты имеют выходные переменные, которые могут принимать некоторое конечное число значений.

Свойства стационарности – не стационарности характеризуют степень изменчивости объекта во времени.

Свойства сосредоточенности – распределённости характеризует объекты с точки зрения роли, которую играет в их модельном описании пространственная протяжённость и конечная скорость распространения в пространстве физических процессов.

Если пространственной протяжённостью можно пренебречь и считать, что независимой переменной, характерной для объекта, является только время, то говорят об объекте с сосредоточенными параметрами.

Впространственно протяжённых объектах (газы, деформирующие тела) необходимо учитывать зависимость характеристик от координат.

Для всех реально существующих объектов присуще свойство стохастичности. Определение детерминированности означает лишь тот факт, что по условиям решаемой задачи и применительно к свойствам конкретного объекта случайные факторы можно не учитывать.

Понятие динамический объект отражает изменение параметров объекта во времени. Это происходит из-за конечной скорости накопления запасов вещества и энергии, аккумулируемых объектом.

Встатическом объекте связь входных и выходных параметров не учитывает динамических эффектов.

Весьма существенно деление объектов на линейные и нелинейные. Различие между ними заключается в том, что для первых справедлив принцип суперпозиции (положения), когда каждый из выходов объекта характеризуется линейной зависимостью от соответствующих входных переменных.

Объекты с одним выходом называют одномерными, а с несколькими многомерными.

Деление методов исследования объектов моделирования на аналитические, которые основаны на ранее изученных и описанных в математической форме закономерностях объекта и идентифицируемые, которые строятся на основе специального экспериментального исследования, связано со степенью сложности объекта.

Вопросы:

По каким признакам классифицируют объекты моделирования? Чем отличаются детерминированные объекты от стохастических?

По каким признакам можно отличить динамический объект от статического? Что характерно для непрерывного объекта моделирования?

Сколько методов исследования объектов применяется в практике специалистов по автоматизации?

§-1.1. 5 Типовые процедуры исследования объектов АС ТП методом моделирования

Учебные элементы:

1.Области использования метода математического моделирования в АСУ ТП.

2.Процедуры исследования систем управления методами математического моделирования.

3.Тип и вид процедур анализа систем управления.

4.Тип и вид процедур синтеза систем управления методами математического моделирования.

Области использования математических моделей многочисленны. Однако чаще всего их используют для исследования действующих систем и при проектировании вновь создаваемых.

В таких исследованиях чаще всего применяют следующие типовые процедуры (рис.1.6а). Классифицируют типовые процедуры исследования систем следующим образом:

Различают два рода проектных процедур - анализа и синтеза. Процедуры анализа применяются для исследования действующих систем, а при проектировании новых и синтеза, и анализа. Синтез заключается в создании описания объекта, а анализ — в определении свойств и исследовании работоспособности объекта по его описанию.

Процедуры анализа делятся на два типа - процедуры одно- и многовариантного анализа. При одновариантном анализе заданы значения внутренних и внешних параметров, требуется определить значения выходных параметров объектов. При одновариантном анализе задаётся также некоторая точка в пространстве внутренних параметров и требуется в этой точке определить значение выходных параметров. Подобная задача обычно сводится к однократному решению уравнений, составляющих ММ.

Многовариантный анализ заключается в исследовании свойств объекта в некоторой области пространства внутренних параметров. Такой анализ требует многократного решения систем уравнений. Рассмотрим сущность и математическую постановку задач анализа и синтеза, наиболее часто используемых при исследовании технических систем в области автоматизации технологических процессов и производств.

Процедуры синтеза тоже имеют два типа - процедуры структурного и параметрического синтеза. Целью структурного синтеза является определение структуры объекта — перечня типов элементов,

составляющих объект, и способа связи элементов между собой в составе объекта.

Параметрический синтез заключается в определении числовых значений параметров элементов при заданных структуре и условиях работоспособности на выходные параметры объекта, т.е. при параметрическом синтезе нужно найти точку или область в пространстве внутренних параметров, в которых выполняются те или иные условия (обычно условия работоспособности).

Рис. 1.6а Процедуры исследования объектов моделирования

Рассмотрим подробнее задачи анализа в АСУ ТП. Одновариантный анализ делится на несколько

видов.

Анализ динамических процессов функционирования объектов может выполняться во временной области путём решения систем ОДУ, как правило, численными методами, рассмотренными в первой части. Решение системы ОДУ позволяет получить зависимость вектора фазовых переменных V от времени t в табличной форме. Кроме того задача анализа может решаться в частотной области путем построения комплексной частотной характеристики (КЧХ).

Анализ статических состояний объектов может быть сведён к решению алгебраических уравнений F(V) = 0 , поскольку в статике: dV/dt =0