чм

Типовые процедуры исследования систем

Анализ устойчивости может быть выполнен или непосредственным интегрированием системы ОДУ, или её исследованием в соответствии с критериями устойчивости, которые рассматривались в дисциплине Теория автоматического управления (ТАУ).

При многовариантном анализе выполняется решение следующих видов задач. Анализ чувствительности заключается в определении влияния внутренних и внешних параметров xi на выходные параметры yi , где: i = 1, 2, … , n ; j = 1, 2, … , m. Количественная оценка этого влияния представляется

чувствительности. Сравнительная оценка влияния различных параметров более удобна с помощью относительных коэффициентов чувствительности влияния

могут быть представлены в виде гистограмм распределения yj , оценок числовых характеристик распределений.

Задачи синтеза в АСУ ТП разделяются на два типа. Параметрический синтез включает три основных вида задач.

Назначение технических требований к выходным параметрам объекта управления формируется в виде технического задания на основе мнений экспертов, которые хорошо знают технологические процессы, протекающие в объекте.

Задача расчета параметров элементов, как правило, ставится как задача оптимизации параметров и допусков и сводится к определению таких входных воздействий, чтобы фазовые траектории попадали в рабочую область и не выходили за пределы допустимой.

Задачи идентификации параметров математических моделей сводятся к оценке степени совпадения выходных параметров, получаемых с помощью испытуемой и эталонной моделей, а управляемые параметры

— параметры испытуемой математической модели.

Задачи определения областей адекватности ММ сводится к поиску диапазона изменения внешних переменных, в которых математическая модель адекватна.

Структурный синтез содержит три основных вида задач.

Выбор основных принципов функционирования будущего объекта (информационных,

организационных, физических и т. п.) производится на основе имеющихся знаний и накопленного опыта, известных прототипов.

Выбор технических решений относится к задачам конкретизации ранее выбранных принципов построения и функционирования объекта.

Впроцедуре оформления технической документации синтезируется не содержание, а форма описания

ипредставления технических решений. Оформление технической документации регламентируется государственными стандартами.

Для реализации математических моделей необходим целый комплекс технических средств, средств программного обеспечения и информационных ресурсов.

Вопросы:

Для каких целей используется метод ММ в АСУ ТП?

Какие виды одновариантного анализа используются для исследования систем управления (СУ)? Как осуществляется анализ статики и динамики СУ методом ММ?

чём разница решения задачи устойчивости и чувствительности систем управления методом ММ? Какие виды многовариантного анализа используются для исследования систем управления? Какие процедуры синтеза используются при проектировании систем управления?

Чем отличается структурный синтез от параметрического?

Для каких целей используется статистический анализ системы управления?

§-1. 2. 3. Основы методики математического моделирования.

Учебные элементы:

1.Модель состава системы.

2.Модель структуры системы.

3.Модели типа чёрный и белый ящик.

Как уже отмечалось выше, существует два метода (способа) получения математической модели: аналитический и эмпирический. Каждый из них имеет свой алгоритм и особенности.

Процесс построения аналитической математической модели и её использования для изучения объекта состоит из следующих этапов:

1.Изучение конструкции объекта и процессов протекающих в нём.

2.Составление структурной схемы, разделение на составные части (декомпозиция).

3.Введение допущений и упрощений.

4.Составление математических зависимостей.

5.Выбор метода решения математических зависимостей.

6.Решение математических зависимостей (как правило, с помощью ЭВМ).

7.Анализ полученных данных.

Первые три этапа не формализованы и в каждом случае носят индивидуальный характер. Полное математическое описание системы представляет собой совокупность уравнений сохранения, уравнение состояния и условий однозначности.

В общем случае для каждого элемента записываются:

1)уравнение сохранения массы;

2)уравнение сохранения энергии;

3)уравнение сохранения количества движения;

4)уравнение состояния.

Условия однозначности — это геометрические, физические и краевые характеристики системы. Различают два вида краевых условий:

Начальные и граничные, которые определяют единственность решения. Начальные условия — это значение параметров в начальный момент времени.

Краевые условия — сведение о значении параметров на границе системы.

На границе рассматриваемой области граничные условия можно задать несколькими способами: а) в виде значений искомой функции; б) в виде значений производной искомой функции по пространственным координатам; в) в виде уравнение баланса потоков.

В случаях а-в говорят о граничных условиях первого, второго, третьего рода.

Укрупнённый алгоритм аналитического математического моделирования показан на рис. 1.9.

Рис. 1.9 Этапы получения и применения аналитической математической модели

Таким образом, аналитические модели позволяют построить модели состава и модели структуры системы.

Модель состава ограничивается снизу тем, что считается элементом, а сверху границей системы. Как эта граница, так и границы разбиения на подсистемы определяются целями построения модели и, следовательно, не имеют абсолютного характера, поэтому существует многообразие моделей состава системы.

Модель структуры описывает существенные связи между элементами (компонентами модели состава).

Эмпирический метод построения математической модели основывается на понятии “чёрный ящик”, введённое У. Р. Эшби. “Чёрным ящиком” называют систему, внутреннее содержание которой наблюдателю неизвестно, а доступными ему являются только входы и выходы системы (1.10).

окружающая

Эта на первый взгляд простая модель отражает два важных свойства системы: целостность и

обособленность от среды.

Представление такой модели осуществляется несколькими способами.

Во многих случаях достаточно содержательного словесного описания входов и выходов; тогда модель “чёрного ящика” является просто их списком.

В других случаях строят количественное описание некоторых или всех входов и выходов. В этом случае тем или иным способом задаются два множества X и Y, например, путём наблюдения за входами и выходами.

Простота модели “чёрного ящика” обманчива, потому что построение такой модели не является тривиальной задачей, так как на вопрос о том, сколько и какие именно входы и выходы следует включать в модель не всегда однозначны.

Главной причиной множественности входов и выходов в модели “чёрного ящика” , является то, что всякая реальная система, как и любой объект, взаимодействует с объектами окружающей среды неограниченным числом способов. При построении модели из бесчисленного множества входов, выходов, связей отбирается их конечное число. Критерием отбора при этом является целевое назначение модели, существенность той или иной связи по отношению к этой цели.

Именно здесь возможны ошибки. Тот факт, что из рассмотрения исключаются остальные связи, не лишает их реальности, и они всё равно действуют.

Нередко оказывается, что казавшееся несущественным или неизвестным при построении модели, на самом деле является важным и должно быть учтено.

Особое значение это имеет при задании цели системы, т.е. при определении её выходов. Это относится к описанию существующей системы по результатам её обследования, и к проекту пока ещё не существующеё системы.

Для решения этого противоречия главную цель сопровождают заданием дополнительных целей. Важно подчеркнуть, что выполнение только основной цели не достаточно, что невыполнение

дополнительных целей может сделать ненужным или даже вредным и опасным достижение основной цели. Этот момент заслуживает особого внимания, так как на практике часто обнаруживается незнание, непонимание или недооценка важности указанного положения.

Между тем оно является одним из центральных во всей системологии.

Модель “чёрного ящика” часто называется в ряде случаев единственно применимой при изучении систем в силу объективной невозможности попасть внутрь системы (исследование психики человека) без нарушения её целостности или при действительном отсутствии данных о внутреннем устройстве системы. Например, мы не знаем как “устроен электрон”, но известно, как он взаимодействует с электрическим и магнитными полями, с гравитационным полем. Это и есть описание электрона на уровне модели “чёрного ящика”.

Таким образом, при всём многообразии реальных систем принципиально различных типов моделей, очень немного: модель типа “чёрного ящика” , модель состава, модель структуры, а также их разумное сочетание и, прежде всего объединение всех трёх моделей, т.е. структурная схема системы (рис. 1.11).

Рис. 1.11 Типы моделей

Можно сказать, что структурная схема “белый ящик” получается как результат “суммирования” всех

белый ящик

структурная схема

трёх типов моделей. Все указанные типы моделей являются формальными, относящимися к любым системам и, следовательно, не относящимися ни к одной конкретной системе. Чтобы получить модель определённой технической системы, нужно придать модели конкретное содержание. Процесс построения содержательных моделей является процессом интеллектуальным, творческим.

Вопросы:

1.Сколько этапов содержит процедура получения модели?

2.Что представляет собой полное математическое описание системы?

3.Как интерпретируются условия однозначности?

4.Чем отличаются начальные условия от граничных условий?

5.Чем отличается модель состава от модели структуры?

6.Почему приходится пользоваться моделью чёрный ящик? Какова его сущность?

Раздел 1

Тема 2 Математическое моделирование

§ 1.2.1. Основные понятия математического моделирования

Учебные элементы:

1.Математическая модель

2.математическое моделирование

3.параметр

4.фазовая переменная

5.параметрическая схема

6.требования к качеству математической модели

Математическая модель (ММ) - это множество математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств, точек, отрезков переменных и т. д.), связанных определенным образом. Такая модель отражает некоторые свойства моделируемого объекта, интересующие пользователя.

Создание ММ и оперирование с ней для получения полезной информации об объекте называют

математическим моделированием.

Среди свойств объекта, отражаемых ММ, различают свойства систем, элементов систем и внешней среды, в которой должен функционировать объект. Свойство – это существенный признак объекта, определяемый количественно, например, геометрические размеры, масса.

Количественное выражение свойств осуществляется с помощью величин, называемых параметрами. Различают выходные, внутренние и внешние (входные) параметры (рис. 1.7).

Модель может отражать состояние объекта. Состояние – это совокупность значений свойств объекта (параметров) в определенный момент времени.

Величины, характеризующие физическое или информационное состояние моделируемого объекта называют фазовыми переменными — V. Их изменение во времени называют переходным процессом. Тогда ММ представляется в форме:

Здесь L — некоторый оператор; z — вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты;

(z) — заданная функция независимых переменных.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта. Большинство моделей предназначено для отображения физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства как геометрическая форма объекта.

Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома, характеризует свойства резистора пропускать электрический ток, но не отображает габариты резистора, его цвет, стоимость и т.д.

Точность ММ оценивается степенью совпадений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Если отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров: Y = (y1, y2, …, ym), то относительная погрешность j расчёта параметра определяется как:

j =( yj м - yj ист)/ yj ист

где: yj м — модельное значение j параметра; yj ист.— истинное значение.

Полученная векторная оценка: = ( 1, 2, …, m) при необходимости может быть сведена к скалярной, путём использования какой-либо нормы вектора , например:

Адекватность ММ — способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения параметров — области адекватности (ОА) математической модели:

Где: > 0 — заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели. Экономичность ММ характеризуется затратами ресурсов, в том числе и вычислительных (затраты

машинного времени и памяти).

Требования высоких точностей, степени универсальности, широкой области адекватности, с одной стороны и высокой экономичности с другой, противоречивы.

Наилучшее компромиссное удовлетворение этих противоречивых требований зависит от особенностей решаемых задач, что в совокупности с большим разнообразием объектов обусловливает широкий спектр математических моделей.

Вопросы:

Что понимают под терминами "математическая модель” и "математическое моделирование”? Как отражаются количественно свойства объекта в модели?

Чем характеризуются свойства моделируемого объекта? Какие требования предъявляются к ММ?

§ 1.2.2. Классификация математических моделей

Учебные элементы:

1.Признаки классификации моделей.

2.Микро, макро, мета модель

3.Аналитическая, эмпирическая, имитационная модель.

Для классификации можно использовать, по крайней мере, 5 признаков (рис. 1.8).

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делят на структурные и функциональные. Структурные модели отображают состав и взаимосвязи элементов объекта — топологические, а

также геометрические свойства объекта.

Топологические модели обычно имеют форму матриц, графов, списков, а геометрические — совокупностью уравнений линий и поверхностей.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании.

Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений связывающих фазовые переменные и параметры объекта в форме (1.1) и (1.2).

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная ММ — модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояние всех имеющихся межэлементных связей.

Макромодель ММ — модель, в которой выделяются наиболее существенные межэлементные связи укрупнённых частей объекта.

По способу представления свойств объекта модели (как правило, функциональные) делятся на аналитические и алгоритмические. Разновидностью последних являются имитационные модели.

Аналитические модели имеют вид (1.1). Они характеризуются высокой экономичностью, однако получение форм (1.1) удаётся лишь в отдельных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих область адекватности модели.

Алгоритмические модели выражают связи параметров в форме алгоритма. Типичной алгоритмической ММ является система уравнений (1.2), дополненная алгоритмом выбранного численного метода решения и алгоритмом вычисления вектора выходных параметров как функционалов решения системы уравнений (z).

Имитационные модели — алгоритмические модели, отражающие поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Типичный пример — модель систем массового оборудования.

Для получения ММ используют неформальные (концептуальные) и формальные методы. Неформальные методы включают изучение закономерностей процессов и явлений в объекте, выделение существенных факторов, принятие различного рода допущений и их обоснование, математическую интерпретацию имеющихся сведений.

Применение неформальных методов возможно для синтеза ММ теоретических и эмпирических. Теоретические ММ создаются на базе фундаментальных закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений.

Эмпирические ММ получают в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения фазовых переменных на внешних входах и выходах, и обработки результатов измерений.

Формальные методы применяют для получения ММ систем при известных математических моделях элементов.

Более подробного рассмотрения требует признак классификации, который называют принадлежность к иерархическому уровню модели.

Математические модели

Рис. 1.8 Классификация математических моделей

Вопросы:

1.Что понимают под терминами “математическая модель” и “математическое моделирование”?

2.Как отражаются количественно свойства объекта в модели?

3.Чем характеризуются свойства моделируемого объекта?

4.Какие требования предъявляются к ММ?

5.По каким признакам классифицируются модели?

6.Чем отличаются структурная модель от функциональной?

7.Как различаются модели по уровню иерархии?

8.Какими способами можно получать ММ?

Тема 1. 3 Обеспечение процедуры математического моделирования

Учебные элементы:

1.Виды обеспечения математического моделирования.

2.Техническое обеспечение математического моделирования.

3.Математическое обеспечение математического моделирования.

4.Виды преобразования математического описания.

5.Программное обеспечение.

6.Информационное обеспечение.

7.Лингвистическое обеспечение.

8.Аналоговые вычислительные машины.

9.Принцип действия и методы решения задач на АВМ.

10.Использование цифровых ЭВМ для ММ.

§-1. 3. 1 Классификация обеспечения математического моделирования

Средства, обеспечивающие реализацию метода математического моделирования можно разделить по видам следующим образом.

Техническое обеспечение — совокупность аппаратных средств, включающая устройства вычислительной и организационной техники, средства передачи данных, измерительные и другие устройства. Техническое обеспечение делится на группы средств программной обработки данных, подготовки и ввода данных, отображения и документирования, архива моделей, передачи данных.

Математическое обеспечение объединяет в себе методы и алгоритмы создания ММ, принципы построения функциональных моделей, методы численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений, постановки и решения экстремальных задач. Математическое обеспечение реализуется в программных продуктов.

Программное обеспечение (ПО) объединяет собственно программы для систем обработки данных на машинных носителях и программную документацию, необходимую для эксплуатации программ. ПО делится на общесистемное, базовое и прикладное (специальное).

Общесистемное ПО предназначено для организации функционирования технических средств и представлено операционными системами ЭВМ. В базовое ПО входят программы, обеспечивающие правильное функционирование прикладных программ.

В прикладном ПО реализуется математическое обеспечение для непосредственного решения уравнений моделей. Прикладные ПО обычно имеет форму пакетов прикладных программ (ППП).

Информационное обеспечение объединяет всевозможные данные, необходимые для реализации ММ. Эти данные могут быть представлены в виде тех или иных документов на различных носителях, содержащих сведение справочного характера о параметрах элементов, структурах и составе моделируемых объектов.

Основная составная часть информационного обеспечения — банк данных (БНД), представляющий собой совокупность средств для накопления и использования данных при создании и реализации ММ. Банк данных состоит из базы данных (БД) и системы управления базой данных (СУБД). БД — сами данные, находящиеся в запоминающих устройствах ЭВМ, а СУБД — совокупность программных средств, обеспечивающих функционирование БНД. С помощью СУБД производится запись данных в БНД, их выборка по запросам пользователей и прикладных программ, обеспечивается защита данных от искажения и несанкционированного доступа.

Лингвистическое обеспечение представлено совокупностью языков, применяемых для описания процедур моделирования и реализации моделей на ЭВМ.

Существо большинства вопросов программного и лингвистического обеспечения изучалось в дисциплине “Основы программирования”. Техническое обеспечение будет изучаться в дисциплине “Микропроцессорная техника”. Содержание математического обеспечения моделирования изучалось в первой части дисциплине "Численные методы и моделирование на ЭВМ".

§-1.3.2 Техническое обеспечение математического моделирования

Для реализации математических моделей при исследовании технических систем, как правило, используют материальные модели косвенного подобия (аппаратные средства). Для этих целей используют электронные вычислительные машины (ЭВМ). Все ЭВМ делятся на три больших класса: аналоговые, цифровые и гибридные.

Аналоговые вычислительные машины (АВМ) – это устройство, выполняющее вычислительные операции над операндами, представленными непрерывными физическими величинами различной природы. В электронных АВМ в качестве таких переменных используется электрическое напряжение постоянного тока и время.

Цифровые вычислительные машины (ЦВМ) оперируют с дискретными величинами. Все операции производятся автоматически над приближенными числами с определенной точностью, определяемой разрядной сеткой ЦВМ. В качестве физических величин используются импульсы постоянного тока, представляющие две цифры в двоичной системе счисления – 0 и 1. С развитием возможностей ЦВМ, стали использовать английский термин компьютер.

Гибридные вычислительные машины (ГВМ) – представляют собой систему из АВМ и ЦВМ. Исторически для реализации математических моделей с начала использовались АВМ, поэтому многие

методы и процедуры моделирования создавались с учетом технических возможностей АВМ. Любую вычислительную систему, которую используют в качестве технического средства для моделирования принято рассматривать в трех аспектах: элементная база для построения устройства, виды блоков для реализации математических операций, метод программирования задачи и точность выполнения операций.

Для АВМ элементной базой служат операционные усилители и четырехполюсники с определенным комплексным сопротивлением Z(s). Операционный усилитель (ОУ) – это усилитель электрических сигналов, предназначенный для выполнения различных операций над аналоговыми величинами при работе в схеме с отрицательной обратной связью. Соотношение между входным и выходным сигналом ОУ Uвх = - A· Uвых , причем A ≥ 105

Uвых

Рис. 1. 12 Структурная схема решающего усилителя

Соединение ОУ и двух четырехполюсников по схеме обратной связи (рис.1.12) позволяет построить устройство, которое называют решающим усилителем (РУ), который имеет следующую идеальную передаточную функцию:

Так, например, если Z1(s) = R1 Z2(s) = R2 (МОм), то W(s) = - R1/ R2 = - K (пропорциональное звено). В этом случае РУ реализует операцию умножения на постоянный коэффициент, причем 1 ≤ │К│ ≤ 10. С помощью РУ в АВМ реализуются линейные операции алгебраического сложения, интегрирования, дифференцирования. Кроме того, в АВМ имеются нелинейные блоки, осуществляющие операции аппроксимации функций, умножения, деления, а также блоки так называемых типовых нелинейностей: нечувствительность, ограничение, идеальное реле, люфт и их комбинации. Кроме того в составе АВМ имеются регулируемые источники напряжения и измерительные приборы. Принцип решения задачи на АВМ

– аппаратный. Все узлы и блоки АВМ имеет стандартизированное условное графическое изображение. Эти символы используются для отображения программы решения в виде структурной схемы. При реализации ММ, по схеме создается электрическое соединение из узлов и блоков, которое позволяет решать задачу.

Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется реализовать на АВМ математическую модель инерционного звена первого порядка. Его математическая модель представляется в виде обыкновенного

Для решения задачи приведем уравнение к виду удобному для программирования на АВМ. Решим его относительно производной, так чтобы коэффициент при ней был равен единице.

Значение производной представляет собой алгебраическую сумму двух слагаемых: входного воздействия x(t), умноженного на постоянный коэффициент и зависимой переменной y, также умноженной на постоянный коэффициент. Если проинтегрировать y′, то можно получить Структурная схема решения будет такой (рис.

1.13).

- К2

Рис. 1.13 Структурная схема для программирования (1.13)

Решение образуется за счет итерационного процесса в замкнутом контуре. На сумматоре формируется производная y′ . Её интегрирование позволяет получить значение y, которое используется для формирования значения производной. Так как интегрирование производится с определенным шагом, практически эта схема реализует метод численного решения ОДУ.

Элементную базу ЦВМ образуют интегральные схемы различного уровня интеграции. Программирование осуществляется на специальных языках различного уровня универсальности и сложности.

§-1. 3. 3 Программное обеспечение математического моделирования для ЦВМ.

Первоначально для математического моделирования (реализации математических моделей) использовались языки общего назначения высокого уровня – ФОРТРАН, БЕЙСИК, ПАСКАЛЬ и др. На них составлялись программы, реализующие алгоритмы численного решения задачи. С расширением возможностей компьютерной техники появились специализированные языки имитационного моделирования. К настоящему времени их насчитывается более сотни. Для моделирования систем управления наибольший интерес представляют языки, основанные на блочной имитации дифференциальных уравнений, подобно блокам АВМ. К ним относятся SIAM, TUTSIM (DINSIM). В настоящее время стал использоваться пакет SIMULINK в составе системы автоматизации математических расчетов MatLab. Этот пакет будет использоваться для выполнения лабораторных работ.

Вопросы:

Какие виды обеспечения нужны для осуществления метода ММ?

Какое программное обеспечение используется для ММ систем математического обеспечения? Какие технические средства используются для ММ?

В чём сущность математического обеспечения ММ?

Чем отличается информационное обеспечение от лингвистического обеспечения?

Чем по принципу действия и методу решения задач моделирования АВМ отличаются от ЦВМ? Какие программные продукты можно использовать для моделирования систем управления?