чм

В случае если тепло переносится в неподвижной среде = 0 и рассматривается перенос тепла только по координате х, получаем уравнение теплопроводности (Фурье) через плоскую стенку:

Для закона сохранения количества движения (баланс сил в потоке):

Ι = ρ∙ω [кг∙м-3 ∙ м∙с-1] , по аналогии

J = — ν ∙grad ω (2.10)

Поскольку вектор, необходимо записать уравнение для каждой координаты. Например, для координаты x при постоянной плотности ρ, где g – ускорение силы тяжести, а dp/ dx – градиент давления по координате x, ν – коэффициент кинематической вязкости - м2/с

Два других уравнения по координатам y, z получаются, если заменить соответствующие индексы в уравнении для координаты x .

Уравнения 2.4, 2.8, 2.11 нужно дополнить уравнением состояния

и краевыми условиями.

Краевые условия включают в себя пространственное распределение параметров (скорости, температуры, давления) в начальный момент времени (начальные условия) и законы взаимодействия между объектом и окружающей средой (граничные условия). Граничные условия представляют собой функции распределения параметров на границе и задаются несколькими способами.

Например, для параметра Т различают граничные условия первого рода:

Ts= T(x, y, z, t);

Граничные условия второго рода задаются функцией для теплового потока Q, а граничные условия третьего рода связывают температуру на границе с температурой окружающей среды через заданное значение коэффициента теплоотдачи α.

Общее аналитическое математическое описание фиксированного объёма можно записать в таком виде как систему уравнений:

Это математическая модель объекта (определенного объема) на микро уровне. В уравнениях (2.12) есть переменная, P которая называется тензор давления в фиксированном объёме. Поясним значение

этого понятия. Из математики известно понятие скаляр — величина, полностью характеризуемая своим численным значением в выбранной системе единиц (температура, плотность и т.п.).

Есть и другое определение: скаляр — это тензор нулевого ранга 30 = 1.

Вектор — величина, характеризуемая в пространстве тремя величинами (три проекции на оси координат или модуль и два угла по отношению к осям координат).

Вектор — это тензор первого ранга 31 = 3.

Тензор (лат. tendo — напрягаю, растягиваю) обобщенное понятие вектора.

P ipx jp y kpz

где: i , j , k — орты;

PX , PY , PZ — векторы, составляющие тензор P по 3-м координатам.

Так как каждый вектор характеризуется тремя величинами, то тензор описывается уже 9-тью величинами, т.е. это тензор 2-го ранга 32 = 9.

Обращает внимание аналогия коэффициента теплопроводности с коэффициентом диффузии и кинематической вязкости.

§ 2. 1. 1 Методика создания математических моделей на макроуровне

На макро уровне используется укрупнённая дискретизация пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для этого приходиться вводить определенные допущения. Например, если допустить, что параметры по координатам y,z меняются мало (их производные близки к нулю), плотность среды изменяется только во времени, диффузии нет (D=0), то в этом случае математическое описание носит название — модель с сосредоточенными параметрами.

Например, покажем, как можно преобразовать исходное уравнение сохранения массы вещества на микро уровне к модели с сосредоточенными параметрами.

Частную производную по скорости заменим через конечные разности:

Умножим обе части выражения на длину и сечение сосредоточенного объема sl=V.

расход среды.

Таким образом, ДУЧП преобразовано в ОДУ.

расход. Аналогично преобразуется уравнение энергии. Уравнение сохранения количества движения не используется, так как в сосредоточенном объеме скорость среды постоянна.

На мета уровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности объектов. Для многих ММ на мета уровне может представляться также системой ОДУ. Однако так как в этих моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, то укрупнение элементов на мета уровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем на макро уровне.

Важный класс ММ на мета уровне составляют модели объектов массового обслуживания, применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, которые представляются в форме алгоритма.

Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей; на высших иерархических уровнях используются топологические модели.

Иерархию моделей можно представить следующей схемой (рис. 2.2).

Процесс преобразований ММ относящихся к различным иерархическим уровням, для реализации на ЭВМ иллюстрирует рис. 2.3

Рис. 2.3 Преобразование математических моделей

Ветви 1 на рисунке соответствует постановка задачи, относящиеся к микро уровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; алгебраизация — в замене произвольных алгебраическими соотношениями.

Если ДУЧП стационарное (т.е. описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных (ветвь 2).

Если ДУЧП нестационарное (т.е. описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из 2-х этапов:

Последовательность элементарных операций на ЭВМ

1). устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат — система ОДУ; 2). устранение производных по времени (ветвь 4).

Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности элементарных операций может либо непосредственным (ветвь 5), либо через посредство предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.

Ветвь 8 на рис. 2.3 соответствует преобразование исходного описания задачи, относящегося к макро уровню, в систему ОДУ с известными начальными условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразно непосредственный переход к системе СЛАУ (ветвь 9).

Для анализа объектов на мета уровне применяют либо переход к системам логических уравнений, системам массового обслуживания и т.д.

Сказанное показывает какое важное значение, отводится в математическом обеспечении моделирования численным методам решения систем различных уравнений.

Пример составления модели на макро уровне

В бак цилиндрической формы с площадью поперечного сечения F= 2 м2, поступает вода с постоянной плотностью = 1000 кг/м3. Вода из бака удаляется насосом, т.е. сток воды из бака постоянный. Составить модель объекта по каналу "расход на притоке – уровень". Мпр = 0.5 кг/с, Мст = 0.4 кг/с,

Если расход на стоке пропорционален уровню Мст = ah, то модель будет такой:

первого порядка).

где: j — номер ветви;

q — множество номеров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Топологические уравнения строго справедливы для установившихся режимов, но их можно применять и в тех случаях, когда временем распространения возбуждения по линиям связи можно пренебречь.

Время распространения возбуждения зависит от физической природы подсистемы, т.е. от скорости распространения возмущений в соответствующей среде и размеров этой среды в конкретном объекте. Под возбуждением понимается изменение фазовых переменных.

Критической длиной кр называют приближенный предельный размер среды, при превышении которого необходимо учитывать время распространения возмущений. Оценить кр можно по формуле:

кр = Δt · υ ,

где: υ — скорость распространения возбуждения в среде, например для электрической подсистемы это скорость света 3·108 м / с ;

Δt — интервал времени, характеризующий временную точность рассмотрения процессов.

Если моделируется электрический объект в нано секундном диапазоне: Δt = 10 –9 с, то критическая длина будет 0.3 м.

Приведенные выше типовые элементы — линейные, однако, элементы подсистем могут быть и нелинейными, зависящими от режима работы.

Если к набору типовых линейных и нелинейных элементов добавить зависимые и независимые источники типа источник потока I и источник потенциала Е, то получится база двухполюсников, на основе которых можно получать математические макромодели практически любых технических объектов. Различают источники двух типов: независимые и зависимые. Уравнения источников: E = f(Z), I= f(Z), где Z время, константа или фазовая переменная.

Независимые источники используются для моделирования постоянных воздействий на объект, например, сила тяжести, может быть отражена постоянным источником силы F= mg , const.

Зависимые источники делятся на две группы:

1)источники, зависимые от времени - E = f(t);

2)источники, зависимые от фазовых переменных Q= k ΔP0.5.

Источники первой группы используются для моделирования внешних воздействий на объект. Источники, зависимые от фазовых переменных используются для отражения нелинейных свойств объекта, а также для установления взаимосвязей между подсистемами различной природы.

Для изображения простых элементов используют условные графические обозначения (рис. 2.4).

Условные графические обозначения элементов: