Раздел 1

Тема 2 Математическое моделирование

§ 1.2.1. Основные понятия математического моделирования

Учебные элементы:

1. Математическая модель

2. математическое моделирование

3. параметр

4. фазовая переменная

5. параметрическая схема

6. требования к качеству математической модели

Математическая модель (ММ) - это множество математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств, точек, отрезков переменных и т. д.), связанных определенным образом. Такая модель отражает некоторые свойства моделируемого объекта, интересующие пользователя.

Создание ММ и оперирование с ней для получения полезной информации об объекте называют математическим моделированием.

Среди свойств объекта, отражаемых ММ, различают свойства систем, элементов систем и внешней среды, в которой должен функционировать объект. Свойство – это существенный признак объекта, определяемый количественно, например, геометрические размеры, масса.

Количественное выражение свойств осуществляется с помощью величин, называемых параметрами. Различают выходные, внутренние и внешние (входные) параметры (рис. 1.7).

Q

X Y

Рис. 1.7 Параметрическая схема объекта моделирования

Если их число соответственно m, n, b, а векторы этих параметров:

Y = (y₁, y₂, …, y_m); Q = (q₁, q₂, …, q_n); X = (x₁, x₂, …, x_b), то

ММ можно отразить отношением в виде математической функции:

Y = F (X, Q) (1.1)

Модель может отражать состояние объекта. Состояние – это совокупность значений свойств объекта (параметров) в определенный момент времени.

Величины, характеризующие физическое или информационное состояние моделируемого объекта называют фазовыми переменными — V. Их изменение во времени называют переходным процессом. Тогда ММ представляется в форме:

LV = j (z) (1.2)

Здесь L — некоторый оператор; z — вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты;

j (z) — заданная функция независимых переменных.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта. Большинство моделей предназначено для отображения физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства как геометрическая форма объекта.

Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома, характеризует свойства резистора пропускать электрический ток, но не отображает габариты резистора, его цвет, стоимость и т.д.

Точность ММ оценивается степенью совпадений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Если отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров: Y = (y₁, y₂, …, y_m), то относительная погрешность e_j расчёта параметра определяется как:

e_j =( y_{j м} - y_{j ист})/ y_{j ист}

где: y_{j м} — модельное значение j параметра; y_{j ист.}— истинное значение.

Полученная векторная оценка: e = (e₁, e₂, …, e_m) при необходимости может быть сведена к скалярной, путём использования какой-либо нормы вектора e, например:

_М = ккe кк= max e_j , j є [1: m] (1.3)

Адекватность ММ — способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения параметров — области адекватности (ОА) математической модели:

ОА = {X кe_M Ј d} (1.4)

Где: d> 0 — заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.

Экономичность ММ характеризуется затратами ресурсов, в том числе и вычислительных (затраты машинного времени и памяти).

Требования высоких точностей, степени универсальности, широкой области адекватности, с одной стороны и высокой экономичности с другой, противоречивы.

Наилучшее компромиссное удовлетворение этих противоречивых требований зависит от особенностей решаемых задач, что в совокупности с большим разнообразием объектов обусловливает широкий спектр математических моделей.

Вопросы:

6. Что понимают под терминами "математическая модель” и "математическое моделирование”?

7. Как отражаются количественно свойства объекта в модели?

8. Чем характеризуются свойства моделируемого объекта?

9. Какие требования предъявляются к ММ?