§ 3.1.3 Методика обработки результатов эксперимента

Процедуры 4 этапа:

1. Выбор типа и вида модели.

2. Выбор структуры математического описания;

3. Выбор метода и средств обработки данных;

4. Обработка данных;

5. Оценка точности и адекватности модели;

Экспериментальная математическая модель

Динамическая модель

Статическая модель

Многофакторная модель

Однофакторная модель

Нелинейная модель

Линейная модель

Рис. 3.3. Типы экспериментальной модели

По результатам проведения эксперимента получают множество табличных функций y=f(x_i) для ряда x_i и при повторных экспериментах для одного значения x_i.

Задача построения модели формулируется следующим образом: на основе анализа экспериментальных данных и предварительной их обработки выбрать тип экспериментальной математической модели, форму математического описания (вид функции приближения), метод и алгоритм решения задачи приближения функции и вычислить её коэффициенты. Выбор типа и вида модели сводится к согласованию выбранной параметрической схемы ТОУ и цели испытаний с экспериментальными данными в соответствии рис. 3.3. Наиболее сложной будет модель для нелинейного многомерного объекта.

Анализ экспериментальных данных сводится к нанесению данных на график, оценке тенденции изменения y=f(x_i) и уровня помех.

При регистрации X и Y возникают помехи, источниками которых являются: не стационарность объекта, внутренние шумы объекта, шумы в измерительных цепях.

Если выявляется значительный разброс возле средних значений, применяют предварительную обработку данных - сглаживание. Чаще всего используют метод скользящего среднего по следующему алгоритму вычисления y^*, где принимают z = 2,4..., i = 0,1,2,3…., j = 0,1,2,3,…,а y^* сглаженное значение y из эксперимента. Однако при этом методе теряется несколько начальных и конечных значений y в зависимости от величины z. Если получено N экспериментальных значений, то сглаженных останется- n= N-z.

Применяют также сглаживание четвертыми разностями. Его суть - аппроксимация 5 - ти соседних значений y(i) параболой второго порядка, коэффициенты которой находятся методом МНК.

Выражение для y^* приведено ниже, где δ⁴y(i) - центральная разность:

значение y^*(0), y^*(1), y^*(n-1), y^*(n) находят по выражениям:

,где =1, n-2

Выбор формы математического описания проводится по графическому представлению экспериментальных данных. Выбранное аналитическое выражение называется уравнением регрессии, а вычисление коэффициентов – регрессионным анализом.

Статические характеристики технологического объекта управления, как правило, представляют собой непрерывные (монотонные) функции, которые допускают кусочно-линейную аппроксимацию на небольших интервалах изменения входных величин.

Линейная однофакторная модель системы имеет вид:

y = a₀ +a₁x

Нелинейные однофакторные модели могут быть представлены типовыми функциями:

• гиперболической:

• степенной:

• показательной:

• экспоненциальной:

• логарифмической:

• параболической:

• полиномиальной:

Возможны разнообразные комбинации из этих функций.

Линейная многофакторная модель описывается уравнениями:

Нелинейная многофакторная модель содержит степени и комбинации х_i:

Чаще всего используют полином 2 степени

При выборе метода приближения принимается решение из двух вариантов:

• метод интерполяции (построение интерполяционного полинома);

• метод аппроксимации.

Метод интерполяции используют в том случае, если число опытов (узлов) табличной функции невелико (≤ 10), а уровень шумов низкий. При большем числе узлов и значительных шумах используют метод аппроксимации.

Для оценки коэффициентов регрессии однофакторной модели используется метод наименьших квадратов. Для оценки коэффициентов нелинейной однофакторной модели нелинейное уравнение путем замены переменных приводится к линейному. Например, гиперболическое уравнение заменой x^* = 1/x преобразуется к уравнению

y = a₀ + a₁ x^*

При построении нелинейной модели, можно заменить задачу приближения оптимизационной.

Для получения коэффициентов многофакторной линейной математической модели в регрессионном анализе используются следующее выражение:

Х – вектор входных величин

Y – вектор выходных величин

Обработку можно вести в программном пакете MatLab. Особенно удобен пакет MatLab 6.*, где возможно работать в режиме удобного интерфейса по разделу меню Tools.

Коэффициенты нелинейных многофакторных моделей можно получать и другими методам: представления в виде ряда (Пайка - Сильвербергера), а также аппроксимацией суммой или произведением функций (метод Брандона). [см. Построение математических моделей химико-технологических объектов. Изд. «Химия», 1970]

При обработке результатов факторного эксперимента по ортогональному плану вычисления коэффициентов модели упрощается.

Оценку точности и адекватности модели проводят по методике, которая рассматривается ниже.