Раздел 2 Методы построения и формы представление аналитических математических моделей

Тема 2.2 Формальный метод построения математических моделей на макроуровне.

§- 2.2.1. Базовые элементы формальных моделей и их описание

Учебные элементы:

1. Физическая величина.

2. Типы фазовых переменных.

3. Базовый элемент.

4. Компонентное уравнение базового элемента.

5. Топологические уравнения.

6. Виды топологических уравнений.

7. Аналогия компонентных и топологических уравнений.

8. Критическая протяженность объекта.

9. Источники потока субстанции и их виды.

10. Графическое обозначение базовых элементов.

11. Эквивалентная схема макро модели.

12. Процедура получения макро модели.

Использование ММ объекта в форме дифференциальных уравнений в частных производных возможно только для очень простых технических систем. Поэтому при моделировании на макро уровне в технической системе выделяются достаточно крупные элементы, которые в дальнейшем рассматриваются как неделимое целое. Непрерывной независимой переменной остаётся (в сравнении с моделированием на микро уровне) только время. Математической моделью системы на макро уровне будет система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Поведение большинства технических подсистем можно охарактеризовать с помощью фазовых переменных.

Фазовая переменная — величина, характеризующая физическое или информационное состояние моделируемого объекта.

Целесообразно вспомнить понятие величины (физической величины), через которое определяется фазовая переменная (ФП).

Величина (физическая величина) — характеристика объектов или явлений материального мира, качественно общая множеству объектов или явлений, но количественно индивидуальное для каждого из них.

Физическая величина представляет собой либо обобщённое понятие (длина, масса, площадь и т.п.), либо индивидуальную характеристику конкретного объекта (сопротивление резистора R=5 МОм, ёмкость конденсатора С=5 мF).

Значение конкретной физической величины (её количественное выражение) — представление о конкретной физической величине в виде некоторого числа принятых для неё единиц.

X = { X } [ X ] (2.1)

где: X — значение конкретной физической величины;

{ X } — числовое значение (отвлеченное число);

[ X ] — единица физической величины.

В отличие от ФП параметр — это величина, характеризующая некоторое свойство объекта или режим его функционирования. Технологические объекты управления, как правило, состоят из нескольких подсистем различной природы, которые характеризуются двумя типами фазовых переменных: поток I и потенциал U. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в ММ технической системы. Вид фазовой переменной зависит от физической природы системы (таблица 2.1).

Таблица 2.1

Физическая природа системы	Потенциал	Поток
Механическая поступательная	Скорость - v м/с	Сила - F Н
Пневмогидравлическая	Давление - P Па	Расход - M кг/с
Тепловая	Температура - T 0К	Тепловой поток - Q ВТ
Электрическая	Напряжение - U В	Ток - I А

Законы функционирования элемента (компонента) подсистемы задаются компонентными уравнениями, связывающими, как правило, разнородные фазовые переменные, относящиеся к данному элементу, т.е. компонентные уравнения связывают переменные типа поток и потенциал. Для простых элементов электрической природы компонентные уравнения имеют следующий вид:

, (2.2)

где: а — параметр элемента;

I — фазовая переменная типа поток;

U — фазовая переменная типа потенциал.

Для сложных объектов компонентные уравнения можно записать в виде:

(2.3)

где: V = (U , W) — вектор фазовых переменных;

U — под вектор фазовых переменных, характеризующих запасы энергии в элементах объекта;

t — время;

W — вектор остальных фазовых переменных.

Компонентные уравнения могут быть линейными и нелинейными, алгебраическими, ОДУ или интегральными. Они получаются на основе знаний о конкретной предметной области. Для большинства элементов технических систем компонентные уравнения изучались в прикладных дисциплинах.

Компоненты уравнения получают либо теоретически, либо физическим тестированием, либо математическим моделированием на микро уровне.

Важно помнить, что между подсистемами различной физической природы существует аналогия.

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших (базовых, типовых) пассивных элементов:

1) элемент рассеивания (диссипации) энергии, где происходит преобразование любой энергии в тепловую. Это элемент типа R — сопротивление для электрической подсистемы.

2) элемент накопления энергии типа “ёмкость” — С (накопление кинетической энергии).

3) элемент накопления энергии типа “упругость” — L (накопление потенциальной энергии).

Так для электрической системы фазовыми переменными являются: типа поток — ток І [А, Кл / с]; типа потенциал — напряжение U [В].

Компонентные уравнения простейших элементов:

1) уравнение для элемента сопротивление: , (2.5)

где: R — электрическое сопротивление, [Ом];

g — проводимость.

2) уравнение для элемента ёмкость: , (2.6)

где: С — электрическая ёмкость, [Ф].

3) уравнение для элемента индуктивность: , (2.7)

где: L — электрическая индуктивность, [Гн].

Для механической поступательной системы фазовые переменные: типа поток — сила F , H , типа потенциал — скорость V , м / с.

Компонентные уравнения типовых элементов:

1. , где:;— коэффициент вязкого трения.

2. ,m — масса в кг — аналог электрической ёмкости.

3. Уравнение пружины F = k · x , где: x — перемещения, k — жесткость пружины:

; ,

где: — аналог электрической индуктивности.

Кроме пассивных выделяют активные базовые элементы - источники

Более подробно фазовые переменные и компонентные уравнения простых элементов этих систем (кроме механической упругой) приведены в литературе. [Системы автоматизированного проектирования в 9-ти кн. Кн. 4. Математические модели технических объектов: Учебное пособие для втузов/ В.А. Трудоношин, Н.В Пивоварова; под ред. И.П. Норенкова. – М.: Высш. шк. ,1986.]

Вопросы:

6. Как определяется физическая величина?

7. Какие типы фазовых переменных используют при создании макро модели?

8. Каким образом задаётся закон функционирования элемента (компонента)?

9. Как можно получить компонентное уравнение?