§ 2. 1. 1 Методика создания математических моделей на макроуровне

На макро уровне используется укрупнённая дискретизация пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для этого приходиться вводить определенные допущения. Например, если допустить, что параметры по координатам y,z меняются мало (их производные близки к нулю), плотность среды изменяется только во времени, диффузии нет (D=0), то в этом случае математическое описание носит название — модель с сосредоточенными параметрами.

Например, покажем, как можно преобразовать исходное уравнение сохранения массы вещества на микро уровне к модели с сосредоточенными параметрами.

при постоянной плотности по координате

Частную производную по скорости заменим через конечные разности:

, где l длина сосредоточенного объема

Умножим обе части выражения на длину и сечение сосредоточенного объема sl=V.

, где M массовый расход среды.

Таким образом, ДУЧП преобразовано в ОДУ.

, накопление массы в сосредоточенном объеме равно приходу среды минус расход. Аналогично преобразуется уравнение энергии. Уравнение сохранения количества движения не используется, так как в сосредоточенном объеме скорость среды постоянна.

На мета уровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности объектов. Для многих ММ на мета уровне может представляться также системой ОДУ. Однако так как в этих моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, то укрупнение элементов на мета уровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем на макро уровне.

Важный класс ММ на мета уровне составляют модели объектов массового обслуживания, применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, которые представляются в форме алгоритма.

Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей; на высших иерархических уровнях используются топологические модели.

Иерархию моделей можно представить следующей схемой (рис. 2.2).

Метауровень

Алгоритмы

Макроуровень

ОДУ

Дучп Микроуровень

Рис.2.2 Иерархия математических моделей

Процесс преобразований ММ относящихся к различным иерархическим уровням, для реализации на ЭВМ иллюстрирует рис. 2.3

Рис. 2.3 Преобразование математических моделей

Ветви 1 на рисунке соответствует постановка задачи, относящиеся к микро уровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; алгебраизация — в замене произвольных алгебраическими соотношениями.

Если ДУЧП стационарное (т.е. описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных (ветвь 2).

Если ДУЧП нестационарное (т.е. описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из 2-х этапов:

1). устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат — система ОДУ;

2). устранение производных по времени (ветвь 4).

Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности элементарных операций может либо непосредственным (ветвь 5), либо через посредство предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.

Ветвь 8 на рис. 2.3 соответствует преобразование исходного описания задачи, относящегося к макро уровню, в систему ОДУ с известными начальными условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразно непосредственный переход к системе СЛАУ (ветвь 9).

Для анализа объектов на мета уровне применяют либо переход к системам логических уравнений, системам массового обслуживания и т.д.

Сказанное показывает какое важное значение, отводится в математическом обеспечении моделирования численным методам решения систем различных уравнений.

Пример составления модели на макро уровне

В бак цилиндрической формы с площадью поперечного сечения F= 2 м², поступает вода с постоянной плотностью  = 1000 кг/м³. Вода из бака удаляется насосом, т.е. сток воды из бака постоянный. Составить модель объекта по каналу "расход на притоке – уровень". М_пр = 0.5 кг/с, М_ст = 0.4 кг/с,

Это модель интегрального звена так как передаточная функция гдеK=1/2000.

Если расход на стоке пропорционален уровню М_ст = ah, то модель будет такой:

, это ОДУ первого порядка (инерционное звено первого порядка).

Более подробно моделирование ТОУ будет рассматриваться в дисциплине "Идентификация и моделирование объектов управления", которая изучается в первом семестре 4 курса.

Вопросы:

1. На какие уровни по иерархии подразделяются концептуальные ММ?

1. 2. В какой форме представляют математические модели на макро, микро и мета- уровне?

2. 3. Какие системы координат используются для записи закона сохранения? Чем они отличаются?

4. Какие составляющие входят в выражение законов сохранения субстанции?