§ 4.2.3 Марковские модели

Если система S может находиться в E_n состояниях (n=0, 1, 2, 3 ...), а изменение этих состояний может происходить только в определенные моменты времени 0, 1, 2, 3, ..., i, то вероятность состояния E_n в момент i будет P_n(i).

Совокупность вероятностей P_n(i), соответствующая этому момента i может быть представленная вектором с числом элементов равных числу состояний:

Все компоненты вектора неотъемлемые, а в сумме равняются 1.

Это вектор состояния системы.

Рассмотрим случай, когда переход с одного состояния к другому зависит только от этих состояний, причем каждой пари (E_n, E_n') отвечает условная вероятность P(n'\n) - система находится в состоянии E_n' в момент i+1, при условии, что она находилась в состоянии n в момент i.

Если P_n(0) - начальные вероятности известны, то получаем цепь Маркова.

Вектор его состояния:

P(n'\n) - вероятность перехода от n к n'.

MP - квадратная матрица переходов, образованная из элементов P(n'\n)

для всех n и n'.

для всех n.

Если MP зависит от времени, то цепь Маркова будет неоднородный.

Множество возможных переходов может быть представлено орграфом.

Вершина - состояние. Дуга - переход.

Цепь Маркова - представление марковского процесса, который обладает тем свойством, что его состояние после момента t зависит только от его значения в этот момент и не зависит от состояния до этого момента.

Если поведение случайной функции N(t) зависит только от ее значения в данный момент времени и не зависит от "предыстории", то случайную функцию называют марковской или цепью Маркова. Случайная функция может рассматриваться как характеристика состояния некоторой технической системы.

Например, цепь Маркова можно проиллюстрировать таким образом. Техническая система может находиться в трех состояниях (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Марковская модель

X₀ - все элементы системы исправные, система работает;

X₁ - неисправный элемент a, система ремонтируется;

X_-1 - неисправный элемент b, система ремонтируется.

Вероятность перехода от одного состояния в другое не зависит от вероятности возвращения обратно.

Пример:

Рис. 4.5. Формирование цепи Маркова

Испытание

1. Случайным образом выбирается номер круга, и он приводится во вращение, допуская, что вероятность остановки стрелки в определенном секторе равна величине центрального угла.

2. После остановки круга ориентируют сектор и следующим вращают круг с этим обозначением состояния системы в момент i - результат i испытание.

Начальные вероятности:

также

Вероятность состояния А, В, С у любой момент i:

Рис. 4.6. Граф переходов цепи Маркова для примера

Тема 3. Методика имитационного моделирования на эвм

§ 4. 3.1. Формирование замысла модели

Методика реализации имитационной модели сложной системы на ЭВМ подробно изложена в литературе (Р. Шенон Имитационное моделирование систем – искусство и наука. М.: Мир, 1978) и состоит из 3 этапов:

I — построение имитационной модели;

II — реализация модели;

III — анализ результатов моделирования

Формирование замысла модели, или этап обдумывания и планирования

1. Определение задачи (формулировка, процедура и график решения);

2. Анализ задачи;

3. Определение требований к информации необходимой для решения задачи;

4. Сбор информации (литература, документация, отчеты, консультации со специалистами, систематизация, априорные данные);

5. Выдвижение гипотез и принятие предложений о неизвестных сторонах задачи;

6. Установление основного содержания модели (реальная обстановка, задача, средства решения задачи);

7. Определение параметров и фазовых переменных (основные, вспомогательные, случайные, регулируемые);

8. Определение критериев эффективности (число, скаляр, вектор, отношение);

9. Определение процедуры аппроксимации (детерминированная, вероятностная, вероятных состояний);

10. Описание концептуальной модели в абстрактных сроках и понятиях;

11. Проверка достоверности концептуальной модели;

12. Документирование (7 позиций).