§ 2.2.3. Описание связи между подсистемами разной природы

Учебные элементы:

1. Трансформаторная связь

2. Гираторная связь

В большинстве случаев ТОУ представляю собой сочетание элементов различной физической природы. Описание связей между ними осуществляется через взаимодействие источников этих подсистем. Различают три типа связей: трансформаторная, гираторная и через зависимые параметры элементов.

Трансформаторная связь - связь между источниками разного типа и фазовых переменных одинаковой природы. В одной подсистеме p, выделяется зависимый источник потенциала - Е. Потенциал этого источника, зависит от потенциала, который создается на зависимом источнике потока І, выделяемом в другой подсистеме q.. Трансформаторная связь бывает двух видов (рис. 2.5;2.6)

Рис. 2.5. I вид трансформаторной связи.

Рис. 2.6. ІІ вид трансформаторной связи.

Такой тип связи характерен для электромеханических систем (реле).

Гираторная связь – это связь между источниками одного типа и фазовых переменных разной природы (рис. 2.7;2.8)

.

Рис. 2.7. I вид гираторной связи.

Рис. 2.8. ІІ вид гираторной связи.

Взаимодействие источников происходит таким образом: изменение фазовых сменных в одном из источников влияет на смену фазовых сменных в другой подсистеме, и через это связанные источники в разных системах. Такой тип связ характерен для гидромеханических систем (поршневой насос).

Связь через зависимые параметры элементов присуща для взаимодействия различных подсистем с тепловой системой, так как изменение температуры, как правило, приводит к изменению параметров компонентов. Так сопротивление резистора зависит от температуры.

Вопросы:

1. Чем трансформаторная связь отличается от гираторной?

Тема 2.3. Представление математических моделей на макро уровне

§- 2.3.1. Представление в форме эквивалентных схем

Структуру формальной математической модели на макроуровне можно представлять на разных уровнях абстракции. Одной из них являются эквивалентные схемы, которые состоят из набора базовых элементов и связей между ними. Методика построения эквивалентных схем содержит следующие шаги:

1. Выделить элементы, массу которых надо учесть и изобразить их условным изображением двухполюсника. Один полюс соединить с базовым узлом, определяющим инерционную систему отсчета. Второй будет соединяться с другими элементами.

2. Выделить элементы трения и упругости. Один полюс элементов трения подсоединить к базовому узлу.

3. Соединить элементы массы с элементами трения, а элементы упругости между массами.

4. Выделить источники, прикладываемые к пассивным элементам. Источник силы (потока) соединяется между базовым узлом и массой, на которую он воздействует.

Рассмотрим пример составления эквивалентной схемы для системы, состящей из элементов одной физической природы - технической

Системы механического типа, представленной на рис. 2.9а. Это грузовик массой m₁ , который тянет два прицепа с массой m₂, m₃.

а)

б)

Рис. 2.9. Механическая поступательная система (а)

и ее эквивалентная схема (б)

Эквивалентная схема для сил и скоростей вдоль горизонтальной оси представлена на рис. 2.9.б.

Сила инерции массы автомобиля, прицепа 1 и прицепа 2, которая преодолевается силой тяги F, противостоят силы сопротивления (трение об поверхность движения) R1, R2, R3. Упругие связи между тягачом и прицепами представляются элементами L1 и L2.

Если по эквивалентной схеме составить топологические уравнения, то получится система дифференционных уравнений. Это формальная математическая модель.

Для систем, в которые входят подсистемы разнообразной природы эквивалентные схемы создаются для каждой из них с учетом вида связи.

Пример такой системы и ее эквивалентная схема представленны на рис. 2.7.

Cистема состоит из гидравлической подсистемы - трубопровод, заполненный жидкостью и механической подсистемы - цилиндр с поршнем.

Гидравлическая подсистема (p) представляется тремя пассивными элементами: C₁ - емкость трубопровода; L₁ – индуктивность (упругость среды); R₁ – сопротивление трения по длине трубопровода; и двумя активными: Р - источник давления (потенциальный); М - источник расхода (поток).

Механическая подсистема (q) состоит из следующих базовых элементов: m₁ - масса поршня; m₂ - масса штока; R₂ - трение поршня о стенки цилиндра; R₃ - трение штока об уплотнение; UP₁ - упругая связь между поршнем и штоком; F₁ - (источник) сила, которая воздействует на поршень через шток. F₂ - сила, воздействующая на поршень со стороны жидкости.

а)

б)

Рис. 2.10. Гидро-механическая система (а),

ее эквивалентная схема (б)

Связь между подсистемами гираторная, так как движение поршня со скоростью V под влиянием F₂ изменяет объем и появляется расход среды М. В свою очередь изменение давления Р вызывает появление силы F₁ = k₂P влияния давления жидкости на поршень.

M=k₁V → I_p = f₁(U_q)

F₁ = k₂ P → I_q = f2₁(U_p), где

Р – давление (потенциал) гидравлической системы;

V – скорость (потенциал) механической системы.

Более абстрактной формой модели на макроуровне являетсяеё представление на уровне графа.

Вопросы:

1. Как составить эквивалентную схему макро модели?

§- 2.3.2. Представление математической модели в форме графа

Учебные элементы:

1. Граф, орграф

2. Вершина, ребро (ветвь), дуга

3. Матрица смежности

4. Матрица инцидентности

5. Части орграфа

Совокупность объектов, существенные свойства которых описываются связями между ними, могут быть представленные в форме графа.

Если объект (узел) представлять вершиной (изображается окружностью), а связь с другим объектом ребром или ветвью (линией), то получим граф.

Граф — это множество вершин V, связь между которыми определяется множеством ребер E.

Формальное представление графа G = {V,E}, где

p - количество вершин

q - количество ребер.

Если связь имеет направление (ориентацию), тогда такой граф имеет название ориентированного графа (орграфа), а связи называют дугами.

Для представления математических моделей, как правило, используют орграф.

На рис. 2.11 показан орграф, который имеет 5 вершин и 7 дуг

Рис. 2.11. Ориентированный граф (орграф)

Вершины и дуги такого графа находятся в определенных отношениях.

Две вершины v_i и v_j, принадлежащих множеству вершин V графа G = {V,E}, получили название смежных, если они являются граничными вершинами ребра l_k принадлежащих множеству ребер E.

Отношение смежности на множестве вершин графа определяют представив каждое ребро как пару смежных вершин, т.е.:

l_k={v_i,v_j}, где k = 1,2,3 ... q

v_i — начальная вершина, откуда дуга выходит;

v_j — конечная вершина, куда дуга входит.

Отношение смежности подается в виде матрицы [C_ij]_v= [p x p]. Для орграфа на рис. 2.8. матрица смежности имеет вид:

С_ij элемент матрицы равняется числу ребер, направленных от вершины v_i к вершине v_j.

Отношение инцидентности описывается матрицей A = [a_ij]_V,E = [p x q].

Если вершина v_i является концом (началом) дуги l_k, то говорят, что они инцидентны. Строки матрицы A соответствуют вершинам, а столбцы дугам. a_i,j -й элемент равняется +1, если v_i начальная вершина ребра l_j и равняется -1, если v_i конечная вершина ребра l_j. Если связи нет a_ij = 0.

Для приведенного выше орграфа матрица инцидентности имеет вид:

При описании математических моделей используют некоторые части орграфа:

Подграф — часть графа образованная некоторыми дугами и инцидентными им вершинами.

Суграф — часть графа, образованная с исходного изъятием некоторых дуг, при сохранении всех вершин.

Последовательность сопредельных дуг графа образовывают маршрут. Если в маршруте все дуги отличные, то он называется цепью. Замкнутая цепь образовывает цикл. Простой цикл (контур) не содержит повторяющихся вершин.

Связный граф имеет маршрут через все вершины.

Деревом графа называют связный подграф который не имеет циклов. Ветвями дерева называют дуги дерева, а хордами - ветви, которые удаляются при образовании подграфа.

Примеры подграфа, суграфа и дерева для орграфа рис. 2.11 представленные на рис.2.9.

Рис.2.12. Подграф (а),

суграф (б) и дерево графа (в).

Эквивалентную схему можно представить в форме графа. Место соединения базовых компонентов заменяется узлом, а компонент дугой. Например, эквивалентную схему механической системы на рисунке 2.6б, можно представить графом (рис.2.13).

2

1

3

б

Рис. 2.13 Граф механической системы «Тягач с прицепом»

Узлом графа является точка, где соединяются два и более компонента. В базовом узле соединяются все компоненты. В узле 1 соединяются три компонента: F, m₁, R₁. В узле 2 соединяются четыре компонента: L₁, m₂, R₂. В узле 3 соединяются три компонента: L₂, m₃, R₃. таким образом модель приобрела более формальный вид.

Вопросы:

1. Чем граф отличается от орграфа?

2. Как различить маршрут, цикл, цепь, контур в графе?

3. Как получить дерево графа?

4. Чем ветвь дерева графа отличается от хорды?

5. Как закодировать граф для обработки на ЭВМ?