§ 2.2.2. Описание связей между элементами одной природы

Связь между однородными фазовыми переменными, относящимися к разным элементам подсистемы, задаётся топологическими уравнениями, полученными на основании сведений о структуре подсистемы.

Топологические уравнения — уравнения, связывающие однотипные фазовые переменные различных элементов объекта и отражающие топологию взаимосвязей его элементов. Общий вид топологических уравнений (ТУ):

F₂ (V) = 0 (2.8)

ТУ выражают действие законов сохранения субстанции (вещество, энергия, количество движения), условия равновесия сил, неразрывности потоков и т.д.

Рассмотрим топологические уравнения для электрической подсистемы.

Уравнение равновесия (Первый закон Кирхгофа):

(2.9)

где: I_k — ток k-той ветви;

р — множество номеров ветвей инцидентных (прилегающих) к этому узлу.

Уравнение непрерывности (Второй закон Кирхгофа):

(2.10)

где: j — номер ветви;

q — множество номеров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Топологические уравнения строго справедливы для установившихся режимов, но их можно применять и в тех случаях, когда временем распространения возбуждения по линиям связи можно пренебречь.

Время распространения возбуждения зависит от физической природы подсистемы, т.е. от скорости распространения возмущений в соответствующей среде и размеров этой среды в конкретном объекте. Под возбуждением понимается изменение фазовых переменных.

Критической длиной _кр называют приближенный предельный размер среды, при превышении которого необходимо учитывать время распространения возмущений. Оценить _кр можно по формуле:

_кр = Δt · υ ,

где: υ — скорость распространения возбуждения в среде, например для электрической подсистемы это скорость света 3·10⁸ м / с ;

Δt — интервал времени, характеризующий временную точность рассмотрения процессов.

Если моделируется электрический объект в нано секундном диапазоне: Δt = 10 ^–9 с, то критическая длина будет 0.3 м.

Приведенные выше типовые элементы — линейные, однако, элементы подсистем могут быть и нелинейными, зависящими от режима работы.

Если к набору типовых линейных и нелинейных элементов добавить зависимые и независимые источники типа источник потока I и источник потенциала Е, то получится база двухполюсников, на основе которых можно получать математические макромодели практически любых технических объектов. Различают источники двух типов: независимые и зависимые. Уравнения источников: E = f(Z), I= f(Z), где Z время, константа или фазовая переменная.

Независимые источники используются для моделирования постоянных воздействий на объект, например, сила тяжести, может быть отражена постоянным источником силы F= mg , const.

Зависимые источники делятся на две группы:

1) источники, зависимые от времени - E = f(t);

2) источники, зависимые от фазовых переменных Q= k ΔP^0.5.

Источники первой группы используются для моделирования внешних воздействий на объект. Источники, зависимые от фазовых переменных используются для отражения нелинейных свойств объекта, а также для установления взаимосвязей между подсистемами различной природы.

Для изображения простых элементов используют условные графические обозначения (рис. 2.4).

Условные графические обозначения элементов:

а) б)

а) электрическая подсистема; б) механическая подсистема

Рис. 2.4 Условные обозначения типовых элементов

Вопросы:

1. Какие типы топологических уравнений используют для создания макро модели?

2. Какие типы источников субстанции используют при построении макро модели?

3. Как представляются элементы макро модели графически?