115. Розподіл електронів провідності в металі за енергіями. Енергія Фермі

Метал для вільних електронів є своєрідною потенціальною ямою, вихід з якої вимагає затрати роботи з подолання сил зв'язку, що утримують електрони в металі. На рис. наведена схема такої потенціальної ями.Горизонтальними лініями показані енергетичні рівні, які можуть займати електрони.

Розподіл електронів на різних енергетичних рівнях здійснюється за принципом Паулі, згідно з яким на одному рівні не може бути двох однакових (з однаковим набором чотирьох квантових чисел) електронів, вони повинні відрізнятися якоюсь характеристикою, наприклад, напрямком спіну. Отже, за квантовою теорією, електрони в металі не можуть розміщуватися на найнижчому енергетичному рівні навіть при температурі Т = 0К. Принцип Паулі вимушує електрони підніматися вверх по “енергетичній драбині”.

Якщо електронний газ містить N електронів, то останнім зайнятим виявиться рівень N/2. Найвищий енергетичний рівень, зайнятий електронами, називається рівнем Фермі для виродженого електронного газу.

Рівень Фермі буде тим вищим, чим більша густина електронного газу. Роботу виходу електрона з металу треба відраховувати не від дна потенціальної ями, як це робилось в класичній теорії, а від рівня Фермі.

Рівень Фермі відповідає максимальній кінетичній енергії Е_F, яку може мати електрон в металі при абсолютному нулі. Її називають енергією Фермі.

Електрони провідності в металі можна розглядати як ідеальний газ, що описується розподілом Фермі - Дірака. Середнє число N(Е) електронів у квантовому стані на енергетичному рівні з енергією Е дорівнює

_{<N(E)> =} 1 .

e^E–/kT + 1

При абсолютному нулі всі стани з енергією Е<Е_F зайняті електронами, cтани з енергією Е>Е_F вільні. Іншими словами, при Т = 0К ймовірність заповнення електронами станів з енергією Е<Е_F дорівнює 1, ймовірність заповнення станів з енергією Е > Е_F дорівнює нулю:

1, E<E_F

<N(E)>=

0, E>E_F

На рис. наведений графік функції розподілу Фермі - Дірака при абсолютному нулі. Він має вигляд сходинки, що обривається при Е = ₀= E_F.

Введемо температуру Фермі, яка визначається із співвідношення Т_F = E_F/k, де k – стала Больцмана. Вона показує, при якій температурі невироджений газ з масою молекул, що дорівнює масі електрона, мав би енергію теплового руху kT, що дорівнює енергії Фермі. Для електронів в металі Т_F = 10⁴К. Жоден метал при таких температурах не може існувати в конденсованому стані. Тому для всіх температур, при яких метал може існувати у твердому стані, електронний газ у металі - вироджений. В результаті теплового збудження частина електронів, що мають енергію, меншу Е_F, переходить на рівні з енергією, більшою Е_F, встановлюється новий їх розподіл за станами. На рис. показані криві розподілу електронів за станами при T = 0К (крива 1) і при Т > 0К (крива 2). Підвищення температури викликає розмивання розподілу на глибину kТ і появу “хвоста” розподілу ВС, що розміщується правіше Е_f. У першому випадку середнє число електронів менше одиниці, а в другому - більше нуля. Чим вища температура, тим суттєвіше змінюється функція розподілу. Сам хвіст ВС описується уже максвеллівським розподілом.

_{<N> кT} Якщо (Е – Е _F)>>kT, то одиницею в знаменнику можна нехтувати порівняно з експонентою і тоді розподіл Фермі – Дірака переходить урозроділ Максвелла – Больцмана:

<N(E)>= e^/kTe^-E/kT.

Отже при (E – EF)>>kT, тобто при високих температурах до електронів у металі застосовна класична статистика, в той час коли Е – Е_F <<Е_F, до них застосовна лише квантова статистика Фермі - Дірака.

Лекція 43