8.2 Рівняння моментів

З’ясуємо , від чого залежить зміна момента імпульса частинки.

Продеференціюємо вираз для момента імпульса :

О

.

Отже , : швидкість зміни момента імпульса з часом дорівнює сумарному моменту сил , які діють на частинку.

;

.

Одержане рівняння називається рівнянням моментів

8.3 Момент інерції тіла відносно осі обертання

В

Величина добутку елементарних мас на квадрат їх відстані до ( осі) називається моментом інерції тіла відносно цієї осі.

Вираз являється не зовсім однозначним, тому щоб усунути невизначеність , необхідно взяти границю виразу , коли . :

еличина називається моментом інерції матеріальної точки з масою m_i відносно осі ОО’

O`

m_i

R_i

O

, де - густина , dV – елементарний об’єм.

Таким чином, момент інерції тіла визначається за формулою:

;

Д

O`

ля прикладу , знайдемо момент інерції однорідного циліндра відносно його геометричної осі :

r

dr

; ( )

Отже , .

Так само можна довести , що момент інерції кулі масою m та радіусом R дорівнює :

,

а момент інерції стиржня масою m та довжиною відносно осі , яка проходить через середину стиржня , дорівнює : о

h

O’

O

С

Якщо вісь обертання не проходить через центр мас тіла , то для визначення момента інерції відносно цієї осі використовують теорему Штейнера :

М

O₂

O₂`

омент інерції тіла відносно довільної осі О₁О₂ ,дорівнює сумі моментів інерції відносно осі О’₁О₂’, паралельній даній , яка проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями :

10. 8.4 Рівняння динаміки обертального руху

Знайдемо момент імпульсу твердого тіла відносно осі обертання Z. Спочатку для точки , масою :

; ;

, з врахуванням, що

Для всього тіла :

І

O

Використовуючи рівняння моментів

- так виглядає рівняння динаміки обертального

руху твердого тіла відносно не-

рухомої осі обертання.

Воно аналогічне рівнянню динаміки поступального руху :

;

У векторній формі рівняння динаміки обертального руху твердого тіла записується в такій формі :

;

8.5 Закон збереження момента імпульса

Якщо механічна система ізольована , то момент зовнішніх сил . Тоді із рівнянь моментів випливає :

Це і є рівняння , що виражає закон збереження момента імпульса .

Якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомої осі обертання тіла тотожньо рівний нулю , то момент імпульса тіла відносно цієї осі не змінюється в процесі руху.

Звідси випливає закон збереження момента імпульса:

Момент імпульса замкнутої (ізольованої) системи матеріальних точок тіл залишається постійним.

Момент імпульса зберігається також і для незамкнутої системи , якщо сума моментів зовнішніх сил дорівнює нулю.