103. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі

Якщо на молекули не діють зовнішні сили, то вони рівномірно розподіляються по об'єму посудини. Однак молекули будь-якого газу завжди перебувають в полі сил тяжіння Землі. Якби не було тяжіння, то атмосферне повітря розсіялося б по всьому Всесвіту. Якби не було теплового руху молекул атмосфер­ного повітря, то всі вони впали б на Землю.

Тяжіння і тепловий рух приводять до стаціонарного стану газу, при якому його тиск і концентрація зменшується з висотою.

Розглянемо ідеальний газ, маса всіх мекул якого однакова, температура постійна і який знаходиться в однорідному полі тяжіння. Якщо тиск газу на висоті h дорівнює p (рис.41), то на висоті h + dh він дорівнює p + dp, причому при dh > 0 dp <0, оскільки тиск з висотою зменшується.

Різниця тиску р і р+dp числово дорівнює вазі газу, що знаходиться в об'ємі циліндра заввишки dh, а площа основи, що дорівнює одиниці: p - (p + dp) =gdh, де  - густина газу на висоті h.

Використаємо рівняння Менделєєва-Клапейрона

Звідси густина газу

Тоді

Вважаючи Т = соnst й ітегруючи по тиску від р₀ до р, а по висоті від 0 до h, отримуємо

звідси

Ці формули називаються барометричними формулами. Із них можна зро­бити висновок, що тиск газу зменшується із висотою експоненціально і тим швидше, чим важчий газ (чим більше) і чим нижча температура (рис. 42).

Барометрична формула дає змогу знай­ти співвідношення між концентраціями газу на різній висоті. Використаємо рівняння стану ідеального газу у вигляді р = = nkt, де n - концeнтрація молекул газу. При Т = соnst отримуємо

де n₀ - концепція молекул на висоті h = 0.

Оскільки  = m₀N_A, a R = kN_A, то

де Е_n - потенціальна енергія молекул в полі тяжіння. Отриманий вираз називається роз­поділом Больцмана у зовнішньому по­тенціальному полі.

Із збільшенням висоти концентрація молекул газу зменшується за експоненціальним законом (рис. 43). При високих темпе­ратурах кількість молекул n незначно зменшу­ється з висотою і при Т n n_{0 ,} тобто підвищення температури викликає вирівню­вання концентрації газу за висотою.

При Т 0К n 0, тобто всі мо­лекули під дією сили тяжіння опускаються на дно посудини.

104. Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності молекул

Числом ступенів вільності називають найменше число координат, які необхідно задати для того, щоб повністю визначи­ти положення тіла у просторі, або кіль­кість незалежних рухів, які може викону­вати тіло.

Матеріальна точка, шо довільно ру­хається у просторі, має три ступені вільнос­ті (x,у,z). Якщо ця точка рухається по деякій поверхні або вздовж певної кривої, то вона відповідно має два або один ступені вільності.

Абсолютно тверде тіло має 6 ступенів вільності. Щоб визначити його положення в просторі, треба задати три координати (х,y,z) (3 ступені вільності поступального руху) центра мас тіла (рис. 44); два кути і  визначають положення в просторі певної осі (О'О'), яка проходить через центр мас і якунебудь іншу фіксовану точку тіла і необхідно задати кут , який визначає напрямок другої, зв'язаної з тілом осі, яка перпендикулярна до першої (,, - 3 ступені вільності обертального руху).

Якшо тіло не абсолютно тверде і його частини можуть змінюватись одна відносно одної, то необхідно внести ще додаткові ступені вільності коливального руху.

Молекули одноатомного газу можна розглядати як матеріальні точки на тій під­ставі, що маса такої частинки зосереджена в ядрі, розміри якого дуже малі. Молекула одноатомного газу має три ступені вільності посту­пального руху (рис. 45).

Внаслідок хаотичності теплового руху молекул ідеальною газу в середньому на кожний ступінь вільності поступального руху одно­атомної молекули припадає однакова кінетична енергія <_к1>, що дорівнює одній третині середньої кінетичної енергії молекули

Отже,

Молекули, що складаються з двох, трьох і більшої кількості атомів, не можуть бути уподібнені до матеріальних точок.

Молекула двоатомного газу в першому наближенні - це два жорстко зв'язані атоми, що перебувають на деякій відстані один від одного. Положення такої системи можна ви­значити, якщо задати три координати центра мас системи і два куги  і , які визначають напрямок у просторі осі системи.

Отже три ступені вільності будуть поступальними, а дві - обертальними нав­коло осей О₁-О₁, і О₂-О₂ (рис. 46). Обертання навколо третьої осі О-О розглядати не треба, бо момент інерції атомів відносно цієї осі дуже малий.

Триатомна і багатоатомні нелінійні мо­лекули (рис. 47) мають 6 ступенів вільності - 3 поступальні і 3 обертальні. Жорсткого зв'яз­ку між атомами не існує. Тому для реальних молекул необхідно враховувати також ступені вільності коливного руху.

У класичній статистичній фізиці виво­диться закон Больцмана про рівномірний розподіл енергій за ступенями вільності молекул: для статичної системи, що перебуває у стані термодинамічної рівноваги, на кожний поступальний і обертальний ступінь вільності припадає б середньому кінетична енергія, що дорівнює kT/2, а на кожний коливний ступінь вільності - в середньому енергія kT.

Коливний ступінь мас вдвоє більшу енергію тому, що на нього припадає не ли­ше кінетична енергія (як у разі поступаль­ного і обертального руху), але і потенціаль­на енергія, причому середні значення кі­нетичної і потенціальної енергій однакові:

Таким чином, середня енергія молекули

де і = і_пост + і_об +2і_кол.

Важливою характеристикою термоди­намічної системи є її внутрішня енергія U - енергія хаотичного (теплового) руху мікрочастинок системи (молекул, атомів, електро­нів, ядер і тощо) і енергія взаємодії цих частинок. До внутрішньої енергії не належать кінетична енергія системи як цілого і потен­ціальна енергія системи у зовнішніх полях.

Внутрішня енергія - однозначна функ­ція термодинамічного стану системи, тобто в кожному стані система має цілком визначене значення внутрішньої енергії. Стан системи, в якому U = 0, цілком довільний, оскільки в термодинаміці інтерес становить не сама внутрішня енергія U системи, а її зміна U при зміні стану системи.

В ідеальному газі немає сил вза­ємодії між молекулами, а отже, дорівнює нулю взаємна потенціальна енергія моле­кул. Тому для моля ідеального газу внут­рішня енергія дорівнює сумі кінетичних енергій N_A молекул:

Якщо є  = m/ молів газу, то його внутрішня енергія

Внутрішня енергія ідеального газу залежить від кількості ступенів вільності молекул і абсолютної температури газу.

Лекція №40