13. 20. Напруженість як градієнт потенціалу

1. Розглянемо випадок переміщення одиничного додатнього точкового заряду q iз точки 1 в точку 2 вздовж осі X.

q_o

x₁

x₂

x

Елементарна робота по переміщенню цього заряду дорівнює :

, .

Ця ж сама робота дорівнює різниці потенціалів :

А=₁-₂= -d.

Прирівнявши праві частини обох виразів , одержимо :

,

тобто проекція вектора напруженості електростатичного поля на вісь х визначається швидкістю зміни потенціалу у напрямку х.

Аналогічно можна одержати, що:

та .

Додавши праві та ліві частини цих рівнянь і домноживши їх на одиничні вектори

(орти) , одержимо :

.

2. Або :

.

- вектор градієнта потенціалу чисельно дорівнює швидкості зміни потенціалу поля на одиницю довжини.

Знак “мінус” означає , що вектор спрямований в сторону зменшення потенціалу.Уявна поверхня , всі точки якої мають одинаковий потенціал, зветься поверхнею рівного потенціалу, або еквіпотенціальною поверхнею. Її рівняння має вигляд (x,y,z)= const. При переміщені по дотичній до еквіпотенціальної поверхні на відрізок потенціал не змінюється (d=0). Так як , то проекція вектора на дотичну ліню дорівнює нулю. А це означає, що вектор перепендикулярний до еквіпотенціальної поверхні.

Отже, лінії напруженості електростатичного поля у кожній точці перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь.

За допомогою формули (або ) по відомій величині напруженості поля можна знайти різицю потенціалів між двома довільними точками поля.Розглянемо декілька прикладів:

а) Поле безкінечної рівномірної зарядженості площини:

; – поверхнева густина зарядів ; .

.

Рис.11

Якщо (див. рис.3) , .

х

d

16. Рис. 3

б) Нехай поле створюється пустотілою сферичною поверхнею радіуса R (рис.4).

При r<R E=0 (за теоремою Остроградського-Гауса)

При rR .

.

1. Рис.12 Рис.13

2. Якщо r₁₌R , а r₂= , то потенціал зарядженої сфери= q/ 4п₀R ;

в) Нехай поле створюється зарядженою кулею радіуса R (рис.6).

Якщо z<R :

а) (всередині кулі);

.

б) Якщо , , тоді ;

(так само ми для точкового заряду або пустотілої сфери !).

3. Рис.14 Рис.15

Лекція №9

17. Провідники у електростатичному полі

Провідник відрізняється від напівпровідника або діелектрика тим, що у ньому велика кількість вільних носіїв зарядів (електронів)n > 10 ²¹ м ^-3. На вільні заряди в електростатичному полі діє сила . Під дією цієї сили заряди приводяться в рух і рухаються до тих пір, доки напруженість поля у провіднику не стане . Це означає, що потенціал всередині провідника

повинен бути однаковим. Тоді, вектор напруженості поля біля поверхні провідника у кожній точці має бути перпендикулярним до поверхні і , , оскільки переміщення зарядів не відбувається (рис.1). Це означає, що поверхня провідника являється еквіпотенціальною! Наданий надлиш-ковий заряд q у провіднику розпо-діляється по поверхні провідника!

Бо якби у провіднику були заряди, то на них повинні починатись або закінчуватись силові лінії. Але у провіднику !

Знайдемо взаємозв’язок між напруженістю Е поля поблизу поверхні зарядженого провідника і поверхневою густиною зарядів .

Застосуємо теорему Остроградського-Гаусса.

Рис.17

\

Розглянемо елемент поверхні зарядженого провідника(рис.2). Потік вектора через замкнуту поверхню ( поверхню циліндра) визначається тільки потоком через зовнішню основу циліндра, так як поле всередині провідника відсутнє.

, звідки .

Напруженість електростатичного поля поблизу зарядженої поверхні пропорційна поверхневій густині зарядів. Поверхнева густина зарядів для різних точок поверхні різна і залежить від кривизни поверхні провідника.

Пояснимо це на прикладі двох заряджених сфер радіусами R₁ та R₂, які дотикаються. Заряди на провідниках завжди перерозподіляються таким чином, щоб їх потенціали були рівними, тобто.

;.

Визначимо заряди на сферах через їх поверхневу густину :

;.

;.

Отже,відношення поверхневих густин зарядів обернено пропорційне кривизні поверхні.

Там, де кривизна поверхні менша, поверхнева густина заряду більша і навпаки. А оскільки , то напруженість поля біля точок малої кривизни більша, ніж біля відносно плоских поверхонь (рис.3).

Як слідує із вищенаведеного, напруженість поблизу вістря буде дуже великою. Вона може бути такою великою, що наступає “пробій” повітря і заряд швидко стікає з вістря у повітря. Саме тому деталі електричних пристроїв, які знаходяться під високою напругою і несуть великий заряд, виготовляють з поверхнями із великими радіусами кривизни.

Якщо незаряджений провідник помістити у зовнішнє електростатичне поле, то заряди у ньому перерозподіляться таким чином, щоб напруженість поля у кожній точці провідника була рівна нулю ().