31. Закон Біо-Савара-Лапласа

У 1920 р. французькі вчені Ж. Біо і Ф. Савар дослідили магнітні поля, створені в повітрі прямолінійним струмом, коловим струмом, котушкою із струмом тощо. їіа основі численних дослідів вони дійшли таких висновків:

а) у всіх випадках індукція В магнітного поля електричного струму пропорцій­на до сили струму I;

б) магнітна індукція залежить від форми і розмірів провідника із струмом;

в) магнітна індукція В у будь-якій точці поля залежить від розташування цієї точки відносно провідника зі струмом.

Біо і Савар намагалися знайти загальний закон, який дав би змогу обчисли­ти магнітну індукцію в кожній точці поля, створеного електричним струмом, що протікає по провіднику будь-якої форми. Од­нак зробити це їм не вдалося. Розв’язав це завдання П. Лаплас.

Лаплас узагальнив результати експе­риментів Біо і Савара у вигляді такого ди­ференціального закону, який називається законом Біо-Савара-Лапласа:

.

де– вектор, що числово дорівнює дов­жині елемента провідника і збігається за напрямком з електричним струмом,– ра­діус-вектор, проведений від елемента провідникадо точки поляА, що розгляда­ється (рис.4), – магнітна стала.

Отже, модуль індукціїмагнітного поля малого елементапровідника зі стру­мом прямо пропорцій­ний до сили струмуІ, довжини елемента провідника, обернено пропорційний до квадрата відстаніr від елемента провідника до розглядуваної точки поля, а також залежить від кута між напрямками струму і радіус-вектора(рис.4):

.

Напрямок вектораперпендикулярний доі, тобто перпендикулярний до площини, в якій вони лежать, і збігається з дотичною до лінії магнітної індукції. Напрямоквизначається з вектор­ного добуткуі може бути знайдений за правилом свердлика.

Дослід показує, що для магнітного поля справедливий принцип суперпозиції: індукція магнітного поля, створеного де­кількома струмами або рухомими зарядами, дорівнює векторній сумі магнітних полів, що створені кожним струмом або рухомим зарядом окремо.

Відповідно до принципу суперпози­ції магнітна індукція у будь-якій точці магнітного поля провідника зі струмомІ дорівнює векторній сумі індукцій елементарних магнітних полів, створених ок­ремими ділянками, цього провідника:

.

Необмежене збільшуючи кількість ділянок п і переходячи до границі при п, що прямує до нескінченності, можна замінити суму інтегралом:

.

Отже, магнітна індукція поля, яке створене у вакуумі струмом І , що тече по провіднику скінченної довжини і довільної форми, дорівнює

.

Розрахунок характеристик магнітного поля за наведеними формулами в загальному випадку досить складний. Однак, якщо розпо­діл струму має певну симетрію, то застосу­вання закону Біо-Савара-Лапласа разом з принципом суперпозиції дає змогу досить просто розрахувати магнітну індукцію кон­кретних полів.

Магнітне поле прямолінійного провідника з струмом. Магнітне поле колового струму

Розглянемо прямий провідник до­вільної форми, по якому проходить струм I, наприклад згори вниз (рис.164);

Відповідно до за­кону Біо - Савара - Лапласа вектор магнітної індукції dB поля у вакуу­мі, створеного в точці А елементом dl провідника зі струмом, числово дорівнює

де α- кут між векторамиdl ' і r.

Уточці А, яка знаходиться на від­стані R від осі провідника, всі вектори dВ, які характеризують магнітні поля, створені окремими ділянками цього провідника, напрямлені перпендикулярно до площини рисунка. Вектор В числово дорівнює ал­гебраїчній сумі модулів векторів dВ:

Замінимо dl і r через одну неза­лежну змінну α

Рис46

У результаті, індукція магнітного поля прямолінійного провідника МN у точці А дорівнює

Якщо провідник MN нескінченно довгий, то α1 = 0, а α2 = π. Отже, магніт­на індукція нескінченно довгого провідни­ка зі струмом дорівнює (cos0= 1, cos π =-1)

Знайдемо індукцію магнітного поля в центрі О, колового струму радіусом R, по

якому, протікає струм I (рис. 165):

Рис.47

Усі вектори dВ магнітних полів, які створені в точці О різними ділянками, dl колового струму, напрямлені перпен­дикулярно до площини рисунка "від нас".

Тоді

Отже, індукція магнітного поля колового струму дорівнює