46. Вільні електромагнітні коливання

у коливальному контурі

Електромагнітні коливання виникають у певних системах, наприклад, уколиваль-ному контурі, що представляє собою електричне коло, у яке включені R, L, C (див. рис.).

4. Якщо конденсатор зарядити (надати заряд q), а потім замкнути коло ключем К, то він починає розряджатись.

Енергія електричного поля конденсатора перетворюється у енергію магнітного поля котушки L.

.

Процес перетворення енергії можна зобразити слідуючим чином:

Згідно другого закону Кірхгофа для коливального контура можна записати слідуюче рівняння:

. (1)

З врахуванням того, що

; ;,

рівняння (1) запишемо:

.

Якщо розглянути випадок, коли R=0, то рівняння набуває вигляду:

,

розв’язком якого є , де;.

5. Тоді сила струму змінюється у контурі за законом

,

а напруга на пластинках кондунсатора

.

Лекція №20

47. Диференціальне рівняння згасаючих

коливань і його розв’язок

Усі реальні системи є дисипативними. Енергія механічних коливань такої системи поступово витрачається на роботу проти сил опору, тому вільні ко­ливання завжди згасаючі - їх амплітуда поступово зменшується.

Для пружинного маятника масою m, що здійснює малі коливання під дією пру­жної сили , сила опору пропорцій­на до швидкості, тобто

,.

де r – коефіцієнт опору.

Другий закон Ньютона для згаса­ючих коливань має такий вигляд:

, .

Введемо позначення

, .

де – коефіцієнт згасання, а – частота, з якою здійснювались би вільні коливання за відсутності опору середовища. Цю час­тоту називають власною частотою системи.

Тоді другий закон Ньютона можна записати у вигляді

.

Розв’язок цього рівняння має вигляд

,

де – амплітуда згасаючих коливань, а AO – початкова амплітуда. Амплі­туда згасаючих коливань зменшується з плином часу і тим скоріше, чим більший коефіцієнт опору і чим менша маса т коливного тіла.

Величина називаєть­ся власною циклічною частотою коливань дисипативної системи.

6. Графік залежності хвід часу наведено на рис.1

Згасаючі коливання – неперіодичні коливання, бо в них ніколи не повторюються, наприклад, максимальні значення змі­щення, швидкості і прискорення. Однак при згасаючих коливаннях величинах пе­ретворюється в нуль, змінюючись в один i той самий бік, а також досягає максималь­них і мінімальних значень через однакові проміжки часу:

.

Величину Т тому називають пері­одом згасаючих коливань.

Якщо A(t) і А(t+T) – амплітуди двох послідовних коливань, що йдуть одне за одним через проміжок часу T, то відношення

.

називається декрементом згасання, а його натуральний логарифм

æ= – логарифмічний декремент загасання.

Позначимо τ проміжок часу, про­тягом якого амплітуда коливань зменшу­ється в е разів. Тоді

.

Звідси або .

Коефіцієнт загасання δ є фізична величина, обернена до проміжку часу, про­тягом якого амплітуда зменшується в е разів. Час τ називається часом релаксацій.

Нехай N – кількість коливань, після яких амплітуда коливань зменшується в е разів. Тоді ,æ.

Логарифмічний декремент згасання æ є фізична величина, обернена до кількості коливань N, після закінчення яких ампліту­да зменшується в е разів.

Добротністю коливальної систе­ми називається величина Q, яка дорівнює добутку 2п на відношення енергії Е(t) ко­ливальної системи в довільний момент часу t до зменшення цієї енергії за проміжок часу від t до t+T:

.

Лекція №21