44. Енергія магнітного поля

Провідник, по якому протікає елек­тричний струм, завжди оточений магнітним полем, причому магнітне поле появляється і зникає разом з появою і зникненням струму. Отже, частина енергії струму йде на створення магнітного поля.

Енергія магнітного поля дорівнює ро­боті, яка затрачається струмом на ство­рення цього поля.

Обчислимо енергію магнітного поля струму в найпростішому випадку ізотроп­ного середовища, в якого зв'язок індукції з напруженістю поля в ньому лінійний. Для цього розглянемо соленоїд з N витків, який має індуктивність L. Якщо за час dt струм у соленоїді зростає на величину dI, то при цьому змінюється і її власний магнітний потік відповідно на величину dФ_В. Якщо в момент часу t сила струму в соленоїді становила I, то при зміні магнітного потоку на величину dФ, джерелом струму виконується додаткова робота dА:

.

Оскільки соленоїд залишається неру­хомим, то ця елементарна робота dА пов’язана зі зміною енергії соленоїда, яка зумовлена наявністю в ньому магнітного поля, на ве­личину dWм:

і .

Оскільки , то .

; .

Це та енергія, яку було затрачено дже­релом струму на утворення в соленоїді магнітного поля. За законом збереження енергії ця енергія дорівнює енергії магнітного поля W, яке пов’язане зі струмом I, що проходить по провіднику з індуктивністю L.

Дослідження властивостей змінних магнітних полів було доказом того, що енергія магнітного поля локалізована у просторі.

Енергію магнітного поля струму можна визначити через характеристики цього поля – значення його напруженості H та індукції В. Для цього розглянемо частковий випадок – однорідне магнітне поле всередині довгого соленоїда, індук­тивність якого . Тоді

.

Магнітна індукція поля всередині довгого соленоїда . Звідси

.

Tоді

.

де враховано, що .

Магнітне поле соленоїда однорідне і зосереджене всередині соленоїда, а енергія поля розподілена в ньому з постійною об’ємною густиною w_м, яка дорівнює

.

Одержаний вираз для w_м відрізняєть­ся від виразу для густини енергії електричного поля лише тим, що електричні величини в ній замінені відповідними магнітними.

У випадку неоднорідного магнітного поля його енергію в деякому об’ємі V можна визначити так. Поділимо об’єм V на нескінченно малі елементи dV так, щоб поле в кожному з них можна було вважати однорідним. Тоді енергія елемента об’єму з локальною густиною w_м в ньому дорів­нює:

.

Інтегруючи цей вираз по всьому об’єму поля V, отримаємо формулу для обчислення енергії неоднорідного поля:

.

Змістовний модуль 4

Лекція 19

V.Коливання та хвилі

45. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань

Коливанням називається будь-який рух або зміна стану тіла, що характеризуєть­ся тим чи іншим ступенем повторюванос­ті в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла.

Коливання називаються вільними, якщо вони здійснюються за рахунок енергії, яка була надана спочатку, за відсутності в наступному зовнішніх впливів на коливну систему.

Коливання називаються періодични­ми, якщо значення фізичних величин, які змінюються під час коливань, повторю­ються через однакові проміжки часу. Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання – коливання, при яких значення фізичної величини зміню­ється з часом за законом косинуса (синуса).

Нехай матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонічні коливання вздовж осі координат ОХ біля положення рівноваги, яке прийняте за початок координат. Тоді залежність координати x від часу t задається рівнянням

.

Тут х – зміщення коливної точки; А – ам­плітуда коливання ();–цик­лічна частота; –початкова фаза коли­вань в момент часу t=0 ; – фаза коливань в момент часу t.

Найменший проміжок часу T, після проходження якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливання, називається періодом коливання. За час T здійснюється одне повне коливання і фаза коливань отримує приріст , тобто

.

Звідси

.

Частотою коливань називається кількість повних коливань, що здійснюють­ся за одиницю часу:

.

де N – кількість коливань, виконаних за час t. Частота коливань - величина, яка обернена до періоду коливань:

.

Циклічна частота .

Отже, циклічна частота дорівнює кількості повних коливань, що здійснюється за 2 с.

Коливний процес характеризується швидкістю і прискоренням коливної точки:

;

,

де – амплітуда швидкості, а –амплітуда прискорення. Зміщен­ня, швидкість і прискорення точки, що гармонічно коливається, є періодичними функціями часу з однаковими циклічною частотою періодом Т. Фаза швидкості відрізняється від фази зміщення на , а фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на .

Прискорення завжди напрямлене до положення рівноваги: віддаляючись від по­ложення рівноваги, коливна точка рухаєть­ся сповільнено, наближаючись до нього прискорено. Прискорення прямо пропор­ційне до зміщення, а його напрямок проти­лежний до напрямку зміщення.

Другий закон закон Ньютона дає змогу в загальному вигляді записати зв’язок між силою і прискоренням для прямоліній­них гармонічних коливань матеріальної точки з масою m:

.

Сила, що діє на коливну матеріальну точку прямо пропорційна до зміщення і зав­жди напрямлена до положення рівноваги. То­му її називають повертальною силою. Фаза сили F збігається з фазою прискорення.

Прикладом сил, що задовольняють співвідношення є пружні сили. Сили F, що мають іншу природу, ніж пружні сили, але також задовольняють умо­ву , називаються квазіпружними, а – коефіцієнтом квазіпружної сили. Для прямолінійних коливань вздовж осі ОХ прискорення .

Тоді , , , .

Це диференціальне рівняння вільних прямолінійних гармонічних коливань, збуджених пружними або квазіпружними силами.

Частковими розв’язками цього дифе­ренціального рівняння є функції:

i .

Кінетична енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює:

.

Потенціальна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили, дорівнює:

.

Повна мехачічна енергія коливної точки:

.