113. Теорема Нернста та її наслідки

У 1906р. термодинаміка збагатилась новим фундаментальним законом, відкритим Нернстом емпіричним шляхом. Цей закон одержав назву теплової теореми Нернста (третій початок термодинаміки)

Зміст теореми Нернста зводиться до двох тверджень:

І. При наближенні до абсолютного нуля ентропія термодинамічної системи прямує до певної конечної межі.

ІІ. Теорема Нернста стверджує, що усі процеси при абсолютному нулі температури, які переводять систему з одного рівноважного стану в інший рівноважний стан, відбуваються без зміни ентропії.

Таким чином теорема Нернста заперечує можливість досягнути температури абсолютного нуля, оскільки всі процеси, які протікають з теплопередачею, супроводжуються зміною ентропії. Це означає, що при S=const процес теплопередачі неможливий,тобто при Т=0 система більше не віддає теплоту, тобто не охолоджується.

Можна сформулювати таке положення:

Не можна досягнути абсолютного нуля температури, відбираючи у тіла теплоту за допомогою кінцевих реальних процесів.

Або, не можна створити машину, яка здатна забрати усю теплоту від тіла, охолодивши його до абсолютного нуля.

Змістовний модуль 9

Іх. Фізика твердого тіла

Лекція 42

114. Поняття про квантові статистики Бозе – Ейнштейна і Фермі - Дірака

Властивості твердих тіл можна пояснити на основі квантової статистики — розділу статистичної фізики, який досліджує системи з великої кількості частинок, які підпорядковуються законам квантової механіки. В основу квантової статистики покладено два принципи, які не мають нічого спільного з уявленнями класичної фізики:

1. Принцип тотожності, або принцип нерозрізненості мікрочастинок: всі однакові частинки (наприклад, всі електрони в металі) принципово не відрізняються одна від одної.

2. Принцип Паулі (справедливий лише для ферміонів): у кожному квантовому стані не може перебувати більш як одна частинка.

Основна задача статистичної фізики в квантових статистиках полягає в знаходженні функції розподілу частинок системи за тими чи іншими параметрами - координатами, імпульсами, енергіями і тд., а також у розрахунку середніх значень цих параметрів, що характеризують макроскопічний стан всієї системи частинок.

Для цього введемо повну статистичну функцію розподілу Н(Е)dЕ, яка відображає кількість частинок з енергією від Е до Е +dЕ в системі, стан якої описується певними термодинамічними параметрами.

Повну статистичну функцію розподілу можна подати у вигляді добутку кількість станів g(Е)dЕ, що припадають на інтервал енергії dЕ, на функцію розподілу f(Е):

N(Е)dЕ = f(Е)g(Е)dЕ.

Функція розподілу f(Е) визначає ймовірність заповнення частинками станів, що припадають на інтервал енергії dЕ. Функцію f(Е) можна трактувати як середнє число частинок, що знаходяться в даному стані:

F(Е) = <N(Е)>.

Отже, щоб знайти повну функцію розподілу, необхідно розрахувати функції g(Е)dЕ і f(Е).

При розгляді принципу нерозрізненості тотожних частинок було встановлено, що залежно від симетрії хвильової функції всі елементарні частинки діляться на два класи: частинки з півцілим спіном - ферміони, і частинки з цілим спіном - бозони. Ферміони і бозони відрізняються між собою поведінкою стосовно мікростанів: у кожній комірці (в кожному квантовому стані) не може бути більше одного ферміона з даним набором квантових чисел або двох з антипаралельними спінами, а кількість бозонів в комірці може бути довільним.

Ідеальний газ із ферміонів - фермі-газ - описується квантовою статистикою Фермі – Дірака. Функція розподілу ферміонів за станами з різною енергією має такий вигляд:

_{f(E) =} 1

e^E–/kT + 1

Цей вираз називається функцією розподілу Фермі - Дірака. Тут - хімічний потенціал. Він визначає зміну внутрішньої енергії системи при додаванні до неї однієї частинки за умови, що всі інші величини, від яких залежить внутрішня енергія, фіксовані.

Величина f(Е_i) дорівнює середньому числу <N(Е_i)> ферміонів, що знаходяться в стані з енергією Е_i. Тому

_<N(Ei)>= 1 .

e^{Ei–} + 1^

Ідеальний газ із бозонів - бозе-газ - описують квантовою статистикою Бозе - Ейнштейна. Розподіл бозонів за енергіями випливає із так званого великого канонічного розподілу Гіббса (із змінною кількість частинок) при умові, що кількість тотожних бозонів у даному квантовому стані може бути довільним:

_<N(Ei)>= 1

e^Ei/kT – 1^

Цей розподіл називається розподілом Бозе — Ейнштейна. Значення хімічного потенціалу знаходять з умови, що сума всіх <N(Е_i)> дорівнює повному числу N частинок у системі:

_Σ <N(E_і)>= N.

ⁱ

Якщо e^Ei/kT >>1, то розподіл Бозе – Ейнштейна і Фермі – Дірака переходять у класичний розподіл Максвелла - Больцмана:

<N_i>= Ae^-Ei/kT, де A = e^/kT.

Отже, при великих температурах обидва “квантові” гази ведуть себе так, як класичний ідеальний газ.

Система частинок називається виродженою, якщо її властивості істотно відрізняються від властивостей систем, що підпорядковуються класичній статистиці. Поведінка як бозе-газу, так і фермі-газу відрізняється від класичного газу, вони є виродженими газами. Виродження газу стає істотним при досить низьких температурах і великих густинах. Параметром виродження називається величина А. При А<<1, тобто при малому ступені виродження розподіли Бозе - Ейнштейна і Фермі - Дірака переходять в класичний розподіл Максвелла - Больцмана.

Температурою виродження Т_в називається температура, нижче якої проявляються квантові властивості ідеального газу, зумовлені тотожністю частинок, тобто Т_в - температура при якій виродження стає істотним. Якщо T>>T_в, то поведінка системи частинок описується класично.