Для стационарного поля и, тогда первое уравнение Мак­свелла превращается в уравнения магнитного поля постоянного тока:

, .

Из последнего равенства вытекают уравнения 2-го закона Кирхгофа для магнитной цепи:

.

Возьмем операцию div от левой и правой части основного уравнения (1):

Из математики известно, что div rot = 0 тождественно, тогда получим:

уравнение непрерывности линий вектора плотности тока , ко­торое гласит, что линии вектора непрерывны, концами линий плотности тока проводимо­сти являются начала линий плотности тока сме­щения и наоборот.

Проинтегрируем обе части последнего уравнения по некоторому замкну­тому объему V. В левой части по теореме Остроградского получим:

,

а в правой части:

,

следовательно: – закон сохранения заряда в интегральной форме.

Полученное уравнение показывает, что в переменном электромагнитном поле токи и заряды связаны и не могут задаваться независимо друг от друга.

Физический смысл 2-го основного уравнения: переменное электрическое поле () возбуждается не только зарядамиq, но и изменением во времени магнитного поля ().

2-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму закона элек­тромагнитной индукции. Для доказательства этого положения про­интегрируем обе части уравнения по некоторой неподвижной поверхности S, опирающейся на контур l:

.

Левая часть уравнения преобразуется по теореме Стокса: , а в правой части равенства получим: следова­тельно:

 закон электромагнитной индукции в интегральной форме.

В электрических машинах переменного тока (генераторах, двигателях, трансформато­рах) магнитное поле изменяется во времени по синусоидальному закону В обмотках машин это поле наводит синусоидальную ЭДС:

.

Действующее значение этой ЭДС равно:

уравнение трансформаторной ЭДС.

Для стационарного поля , и 2-е уравнение Максвелла превраща­ется в уравне­ния электростатического поля:

Из совместного анализа 1-го и 2-го уравнений Максвелла следует вывод, переменное электрическое и переменное магнитное поля должны рассматри­ваться как два связанных проявления единого электромагнитного процесса. Ка­ждое из этих полей и их изменения во времени и пространстве являются од­но­временно и причиной и следствием друг друга. Сово­купность этих двух по­лей называется электромагнитным полем.

3-е уравнение Максвелла устанавливает истоки линий магнит­ного поля. Оно гласит, что линии вектора магнитной индукциинепрерывны, т.е. замкнуты сами на себя. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объ­емуV, ограниченному поверхностью S:

есть 1-й закон Кирхгофа для магнитной цепи.

4-е уравнение Максвелла устанавливает истоки линий элек­трического поля. Оно гласит, что линии вектора электростатической индукцииимеют разрыв, они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отри­цательных. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объемуV, ог­раничен­ному поверхностью S:

или

есть уравнение теоремы Гаусса в интегральной форме.

2. Теорема Умова-Пойтинга для электромагнитного поля

Теорема Умова-Пойтинга устанавливает баланс мощностей в произ­воль­ном объеме электромагнитного поля. Математическая база теоремы разра­ботана русским математиком Умовым в 1874 году, а в 1884 году английский физик Пойтинг применил идеи Умова к элек­тромагнитному полю.

Выделим в переменном электромагнитном поле некоторый объем V, ог­раниченный поверхностью S. Внутри выделенного объема могут оказаться час­тично или полностью ис­точники и приемники электрической энергии в любых сочетаниях. Электромагнитное поле внутри объема описывается системой уравнений Максвелла:

( 1 )

( 2 )

( 3 )

Умножим скалярно уравнение (1) на , уравнение (2) на, и вычтем почленно ле­вые и правые части уравнений:

.

Из курса математики известно, что

Преобразуем правые части уравнения. Из закона Ома (3) следует:

;

.

После преобразования получим:

Проинтегрируем все члены полученного уравнения по выделенному объ­ему V:

Исследуем каждое слагаемое уравнения. По теореме Остроградского-Га­усса:

, где  вектор Пой­гинга [Вт/м], численно равный плотности потока энергии в единицу вре­мени (потока мощности) через единицу поверхности вокруг рассматриваемой точки;

мощность тепловых потерь или потребляемая мощ­ность в заданном объеме, эта мощность всегда положительна;

мощность источников энергии внутри объема, эта мощность от­рицательна, если векторы исовпадают, и положительна, если эти векторы не совпа­дают;

мощность элек­тро­магнитного поля, она положительна, если идет процесс накопления энергии в объеме, и от­рицательна, если идет процесс возврата энергии.

Таким образом, после принятых обозначений теорема Умова-Пойтинга получит вид:

.

Формулировка теоремы Умова-Пойтинга: небаланс мощности в заданном объеме V компенсируется потоком вектора Пойтинга, направленным внутрь объема (знак  ) че­рез замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем.

Вектор Пойтинга направлен перпендикулярно плоскости, в которой рас­положены векторы поляи, характеризует величину и направ­ление энергии, проходя­щей в единицу времени через единицу площади в на­правлении вектора.

Теорема Умова-Пойтинга позволяет сделать важный теоретический вы­вод, что элек­трическая энергия от генератора к приемнику передается не по проводам линии электропере­дачи, а электромагнитным полем, окружающим эти провода, а сами провода выполняют две другие функции: 1) создают усло­вия для получения электромагнитного поля, 2) являются на­правляющими для потока электроэнергии.