14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

∂ 2 f

′′

′′

∂ 2 z

2 ,

2

∂y

f y 2 ,

f yy ;

∂y

(f

дифференцируется последовательно два раза по y);

∂ 2 z

′′

∂ 2 f

,

,

– смешанная производная

f xy

∂x∂y

∂x∂y

(f дифференцируется сначала по x , а затем по y);

∂ 2 z

′′

∂ 2 f

,

,

– смешанная производная

f yx

∂y∂x

∂y∂x

(f

дифференцируется сначала по y, а затем по x).

Производные второго порядка –

функции переменных x и y, кото-

∂u =

1

×

1

=

y

y

¶x

1 +

x

2

x

2

+ y

2

y 2

¶2u

¶

y

-1

- 2xy

=

= y ×

× 2x =

2

2

2

2

2

2

2

2

¶x

+ y

+ y

(x

+ y

)

¶x x

x

¶2u

¶u

¶u

¶

y

x2 + y 2 - 2 y × y

x2 - y 2

=

=

=

=

2

2

2

2

2

2

2

2

¶x¶y ¶y ¶x

¶y

+ y

(x

+ y

)

(x

+ y

)

x

¶u

1

-x

-x

¶x

=

×

=

x

2

y

2

x

2

+ y

2

1 +

y2

¶

2

u

¶

¶

- x

x

2

+ y

2

- 2xx

x

2

- y

2

=

¶u

=

=

=

2

2

2

2

2

+ y

2

(x

+ y

2

)

2

(x

+ y

)

¶y¶x ¶x

¶y

¶x x

¶

2

u =

¶

¶u

¶

- x

2xy

=

=

.

2

2

2

2

¶y

2

¶y

¶y

+ y

(x

+ y

)

¶y

x

2

- y

2

xy

x

, x2 + y2 ¹ 0

f (x, y) =

x2 + y2

x2 + y2 = 0.

0,

¶f

= y ×

x2 - y 2

+

4x2 y 2

;

¶x

x2 + y 2

(x2 + y 2 )2

¶f

= x

x2 - y 2

-

4x3 y 2

.

¶y

x2 + y 2

(x2 + y 2 )2

Для нахождения

∂f (0,0)

воспользуемся тем, что

f (x,0) = 0 , т.е.

∂x

∂f (0,0) воспользуемся тем, что f (0, y) = 0 ,

∂f (0,0) = 0 , а для нахождения

∂x

∂y

т.е.

∂f (0,0) = 0 .

∂y

Для нахождения смешанной производной второго порядка

∂ 2 f (0,0)

∂x∂y

нужно найти производную по y

функции

f x (0, y) = - y , при

y ¹ 0 . Тогда

′′

=

d ( f x (0, y))

y =0 = −1.

f xy (0,0)

dy

Аналогичным образом

f y

′

(x,0) = x ,

тогда

′′

f yx (0,0) =1, то есть

′′

′′

f xy (0,0) ¹ f yx (0,0) .

Теорема 12. Пусть функция z = f (x, y)

дважды дифференцируема в

′′

′′

точке M 0 (x0 , y0 ) , тогда в этой точке частные производные f xy

и f yx равны.

Доказательство теоремы проводится с использованием свойств диф-

ференцируемости функции

z = f (x, y) ,

теоремы Лагранжа о конечных

приращениях.

Замечание. Теорема 12 утверждает, что в данной точке

M 0 (x0 , y0 )

имеет место равенство

′′

′′

f xy

= f yx , если в данной точке дифференцируемы

′

′

′

и

′

вытекает су-

f x и

f y . Из дифференцируемости

f x

f y в точке M 0

нако равенство

′′

=

′′

имеет место и при условии существования лишь

f xy

f yx

производных

′′

и

′′

, но при дополнительном требовании непрерыв-

f xy

f yx

ности этих производных в рассматриваемой точке.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение.

Пусть в некоторой окрестности точки

M 0 (x0 , y0 )

функция

z = f (x, y)

имеет частные производные

′

′

′′

′′

f x ,

f y ,

f xy ,

f yx , а

функции

′′

и

′′

Тогда в

этой точке

f xy

f yx непрерывны в точке M 0 .

′′

′′

f xy

= f yx .

Заметим, что имеет место теорема о независимости значения любой

смешанной частной производной

n-ного порядка, в котором производятся

последовательные дифференцирования.

Теорема 13. Пусть функция

z = f (x1, x2 ,..., xn )

n раз дифференци-

∂z = y × x y −1 ;

∂z = x y ln y

¶x

¶y

¶2 z = y( y -1)x y − 2

;

¶2 z = x y × (ln x)2

;

¶x2

¶y 2

¶2 z = y × x y −1 ln x + x y × 1 = x y −1 (1 + y ln x) ;

¶x¶y

x

§ 13. Дифференциалы высших порядков

Пусть z = f (x, y) – функция двух независимых переменных x

и y,

дифференцируемая в области D( f ) .

Тогда в любой точке M (x, y) D( f )

первый дифференциал

(или

дифференциал первого порядка) имеет вид

dz = ∂f dx +

∂f

dy .

(1)

∂x

∂y

∂ 2 z = d (dz) .

Считая в выражении (1) dx и dy постоянными получим

∂f

dx +

∂f

= d

∂f

∂f

∂2 z = d (dz) = d

∂x

∂y

dy

dx + d

dy =

∂x

∂y

∂2 f

∂2 f

∂2 f

∂2 f

=

2

dx +

dy dx +

dx +

2

dy dy =

∂x

∂y∂x

∂y∂x

∂y

=

∂2 f (x, y)

dx2

+

2

∂2 f (x, y)

dxdy +

∂2 f (x, y)

dy

2

∂x2

∂x∂y

∂y

2

Для дифференцирования третьего порядка имеем

d 3z = d (d 2 z) =

∂3 f (x, y)

+ 3

∂3 f (x, y)

dx2dy +

∂x3

dx3

∂x

2∂y

+3

∂3 f (x, y)

∂3 f (x, y)

∂x∂y

2

dxdy2 +

∂y3

dy3.

∂

∂

n

d n f =

dx +

dy f .

(2)

∂x

∂y

(2) верна для n, то она верна и для

n + 1. Пусть (2) верна для n. Тогда

d n +1 f = d (d n f ) =

∂(d n f )

∂(d nu)

∂

∂

dx

+

dy =

dx +

dy d n f ,

∂x

∂y

∂x

∂y

где символом

∂

dx +

∂

dy ϕ обозначено выражение

∂ϕ dx +

∂ϕ dy .

∂x

∂y

∂x

∂y

Учитывая, что формула для

d n f

доказана при помощи метода ма-

тематической индукции, можно записать

¶

¶

¶

¶

n

¶

¶

n+1

d n+1 f =

dx +

dy

×

dx +

dy

f =

dx +

dy

× f .

¶y

¶y

¶y

¶x

¶x

¶x

Что и требовалось доказать.

Формула (2) обобщается и на случай любого числа независимых пе-

ременных. Формула

(1) справедлива не только в том случае, когда x и y

случаях, когда dx и dy – постоянны. Это будет справедливо, если

x и y

являются независимыми переменными.

Рассмотрим случай, когда x и

y – линейные функции независимых

переменных z и t:

y = a1z + b1t + c1 ,

x = az + bt + c ;

где a, b, c, a1, b1, c1 – постоянные.

Для dx и dy получим выражения:

dx = adz + bdt;

dy = a1dz + b1dt .

Но dz и dt, как дифференциалы независимых переменных, должны

считаться постоянными; тоже можно сказать относительно dx и

dy. По-

d 2 z = dxd

∂f (x, y)

+ dyd

∂f (x, y)

+

∂f (x, y)

d 2 x +

∂f (x, y) d 2 y =

∂x

∂y

∂x

∂y

∂2 f (x, y)

∂

2 f (x, y)

∂2 f (x, y)

∂f (x, y)

∂f (x, y)

=

dx2

+ 2

+

dy2 +

d

2 x +

d

2 y,

∂x

∂x∂y

∂y2

∂x

2

∂y

т.е. в рассматриваемом общем случае выражение для

d 2 z будет содержать

дополнительные слагаемые, зависящие от

d 2 x

и d 2 y .

∂z dx +

∂z

x

2xy

dz =

dy = ln(x + y

2 ) +

dx +

dy .

∂y

x + y2

x + y2

∂x

d 2 z =

∂2 z

dx2

+ 2

∂2 z

dxdy +

∂2 z

dy

2 ;

∂x

∂y2

2

∂x∂y

∂ 2 z

=

1

+

x + y 2

− x

=

x + 2 y 2

;

∂x2

x + y 2

(x + y

2 )2

(x + y

2 )

2

∂ 2 z

=

2 y(x + y 2 ) − 2xy

=

2 y3

;

∂x∂y

(x

+ y 2 )2

(x + y

2 )2

∂ 2 z

=

2x(x + y 2 ) − 2xy2 y

=

2x(x − y 2 )

.

∂y 2

(x + y 2 )2

(x + y

2 )

2

d 2u =

x + 2 y 2

dx2

+

4 y

3

dxdy +

2x(x − y

2 )

dy

2 .

(x + y

2 )

2

(x + y 2 )2

(x + y 2 )2

2

¶z

¶z

d

z

= d (dz) = d

× 2(xdx + ydy)

+

( ydx + xdy)