Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

4.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

МОДУЛЬ 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Понятие неопределенного интеграла

1.1.Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл

Раньше мы уже познакомились с тем фактом, что математические действия (операции) встречаются попарно, образуя пары двух взаимооб- ратных действий: сложение и вычитание (+, –), умножение и деление (×, :). Характеристики функций так же как действия (операции) распределяются


попарно: на прямые и обратные. Так, если задана функция						f(x),		то, чтобы
найти для функции f(x)	обратную функцию		ϕ(x) , надо в равенстве
y = f (x) поменять местами буквы		y и x, x = f ( y) ,		затем решить полу-
ченное уравнение относительно y,		y = ϕ(x) . Функция		ϕ(x)		будет обрат-
ной для f(x). Например, функции f (x) = x2 + 4 и			ϕ(x) =				;	f (x) = ex
					x − 4
и ϕ(x) = ln x ; f (x) = sin x	и ϕ(x) = arcsin x – обратные функции.

Отметим, что в то время как прямые действия (операции) почти все- гда однозначные, действия (операции) обратные чаще всего многозначные.

Определение. Если функции f(x) и F(x) определены на отрезке [ab] ,

причем функция	F(x) дифференцируема на интервале (a,b),	непрерывна
на отрезке [ab] и для любого x (ab) выполняется равенство
	′	(1)
	F (x) = f (x) ,	(1)
то функция F(x)	называется первообразной для функции f(x)	на отрезке
[ab] .

Таким образом, дифференциальное исчисление имеет своей основ- ной задачей следующую прямую задачу: по заданной функции f(x) найти (вывести) ее производную F(x). Эту задачу можно символически записать в виде

f (x) → F (x) .

Эту задачу дифференциальное исчисление решает с помощью своего основного действия: дифференцирования (нахождения производной).

Интегральное исчисление имеет своей основной задачей следующую обратную задачу: по заданной производной F(x) требуется найти функ- цию f(x). Эту задачу символически можно записать в виде

f (x) ← F (x) .

121

Интегральное исчисление решает эту задачу с помощью своего ос- новного действия – интегрирования – операции нахождения первообраз- ной для заданной функции.

Следовательно, действие интегрирования обратно действию диффе- ренцирования. Действительно, действие (операция) дифференцирование есть действие прямое и однозначное, т.к. непрерывная функция f(x) не мо- жет иметь двух различных производных F(x).

Интегрирование же есть действие (операция) обратное, и подобно большинству обратных действий, оно есть действие многозначное, дающее для заданной функции не один результат, а бесчисленное множество.

f(x) на интервале (ab), то для всех x (ab) справедливо равенство

Теорема 1. Если	F1(x) и	F2 (x) – две первообразные для функции
	F2 (x) = F1(x) + C ,			(1)
где C – постоянная.
Доказательство. Пусть f(x) = F2 (x) - F1(x) . По определению пер-
вообразной и в силу условий теоремы для всех x (ab)				выполняются ра-
венства
	′	′
F2 (x) = f (x), F (x) = f (x) .
откуда имеем, что функция φ(x)		дифференцируема на интервале (ab) и
для любого x (ab) имеет место равенство
	′			(2)
	φ	(x) = 0		(2)
С другой стороны,	применяя к отрезку		[ x1, x2 ] теорему о среднем
Лагранжа, имеем
		′
f(x2 ) - f(x1) = (x2 - x1) × f (c) , c (x1, x2 )
и в силу (2) имеем, что	φ′(c) = 0 , а отсюда следует, что			φ(x) = C , а зна-
чит и F2 (x) − F1(x) = C .
Таким образом, для данной функции f(x)			ее первообразная F(x) оп-

ределяется не однозначно, а с точностью до постоянной. Что и требовалось доказать.

Отметим, чтобы из множества (совокупности) первообразных F(x) выбрать одну F1(x) достаточно указать точку M0 (x0 , y0 ) , принадлежа-

щую графику функции y = F1(x) .

122

Замечание. Так как производная функции y = F (x) угловой коэффи-

циент к соответствующему графику. Следовательно, задачу нахождения первообразной F(x) для заданной функции f(x) можно интерпретировать так: требуется найти кривую y = F (x) , для которой имел бы место задан-

ный закон изменения углового коэффициента касательной tgα = f (x) . Ес-

ли y = F (x) есть одна из таких кривых, то все остальные можно получить сдвигом вдоль оси y на произвольную постоянную.

f(x0)

x0	x
Понятие неопределенного интеграла. Совокупность (множество)
всех первообразных для функции	f(x) на некотором промежутке (ab) на-

зывают неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке (ab),

обозначают символом и записывают ∫ f (x)dx и записывают

∫ f (x)dx = F (x) + C ,		(3)
где F(x) – некоторая первообразная функции f(x) на промежутке		(ab), С –
произвольная постоянная. Знак ∫	называют знаком интеграла,	f(x) – по-
дынтегральной функцией, f(x)dx –	подынтегральным выражением.

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функ- ции, которая является обратной операции дифференцирования, называют интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла имеем:

1. d ∫ f (x)dx = f (x)dx , т.е. знаки d и ∫ , когда первый помещен перед

вторым, взаимно сокращаются (уничтожаются).

2. Так как F(x) есть первообразная функции для F ′(x) , то имеем

∫F ′(x)dx = F (x) + C ,

123

что можно записать так

∫dF (x) = F (x) + C .
Отсюда следует, что знаки d	и	∫ , стоящие перед	F(x) сокраща-
ются и тогда, когда d стоит после	∫	, но только к F(x)	следует приба-
вить произвольную постоянную.

1.2. Таблица неопределенных интегралов

Каждая формула дифференциального исчисления, устанавливающая, что для некоторой функции F(x) производной будет f(x), приводит к со- ответствующей формуле интегрального исчисления

∫ f (x)dx = F (x) + C .

Используя таблицу производных функций, можно составить сле- дующую таблицу интегралов:

1. ∫0dx = C ;

2. ∫1dx = ∫dx = x + C ;

3. ∫ xn dx =

xn +1

+ C, n ¹ -1;

4. ∫

= ln

+ C ;

n + 1

5. ∫a x dx =

a x

+ C, a > 0, a ¹ 1;

6. ∫e x dx = e x + C ;

ln a

7. ∫sin xdx = -cos x + C ;

8. ∫cos xdx = sin x + C ;

9. ∫

= tgx + C ;

10. ∫

= −ctgx + C ;

cos

sin

11. ∫

arctg

+ C, a > 0 ;

12. ∫

= arcsin

+ C.a > 0 ;

x2 + a2

2 - x2

x - a

13. ∫

+ C, a ¹ 0

; 14. ∫

= ln

x +

x2 ± a2

+ C, a ¹ 0 .

x2 - a2

x + a

x2 ± a2

1.3. Свойства неопределенного интеграла

1) Если с – const (c ¹ 0) , то

∫c × f (x)dx = c × ∫ f (x)dx ,

(1)

т.е. постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла.

124

Доказательство. Равенство (1) – это равенство двух первообразных, поэтому для доказательства его достаточно показать, что они имеют рав- ные производные. Дифференцируя левую и правую часть равенства (1) по- лучим

(∫cf (x)dx)¢ = cf (x)

(c∫ f (x)dx)¢ = c × (∫ f (x)dx) = c × f (x) .

Откуда следует справедливость равенства (1).

2) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы интегралов равен алгебраической сумме неопределенных интегралов, т.е.

∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .

(2)

Доказательство равенства проводим аналогично для свойства 1, ис- пользуя правило производной суммы и определение неопределенного ин- теграла (первообразной).

Замечание. Относительно доказанных формул заметим следующее. Эти формулы содержат неопределенные интегралы и произвольные посто- янные слагаемые. Равенства подобного типа понимают в следующем смысле: разность между правой и левой частями его есть постоянная или равенство с точностью до постоянной.

Эти равенства можно понимать и буквально, но тогда один из фигу- рирующих в них интегралов перестает быть произвольной первообразной: постоянная в нем устанавливается после выбора постоянных в других ин- тегралах.

3) Если

∫ f (t)dt = F (t) + C ,

то

∫ f (ax + b)dx = 1 F (ax + b) + C . a

4) Знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла

d (∫ f (x)dx) = f (x)dx .

5) Знак интеграла и дифференциала взаимно уничтожаются (без уче- та постоянной с), если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала.

∫dF (x) = F (x) + C .

125

6) Инвариантность формул интегрирования. Любая формула интег- рирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной: если

∫ f (x)dx = F (x) + C ,

то

		∫d (u)du = F (u) + C ,
где u = u(x) – дифференцируемая функция.
Доказательство. На		основании свойства			инвариантности формы
дифференциала	первого		порядка	имеем:	′	то
					dF (x) = F (x)dx ,
′	где u = u(x) .
dF (u) = F (u)du ,
Тогда, если	∫ f (x)dx = F (x) + C , то			′
				F (x) = f (x) .
Докажем, что ∫ f (u)du = F (u) + C .				Для этого найдем дифференциал
от левой и правой частей последнего равенства:
d (∫ f (u)du) = f (u)du					′
			d (F (u) + c) = F (u)du = f (u)du .

Из равенств этих дифференциалов следует справедливость свойства 6.

§2. Основные методы интегрирования

2.1.Метод непосредственного интегрирования

Суть метода непосредственного интегрирования состоит в следую- щем: данный интеграл с помощью тождественных преобразований подын- тегральной функции и свойств неопределенного интеграла приводится к табличному интегралу.

Пример 1. Вычислить интеграл I = ∫(6x2 − 3x + 2)dx .

Решение. Используя свойства линейности для неопределенного интеграла, получим

I =

∫

(6x2

− 3x + 2)dx =

∫

6x2 dx −

∫

3xdx + 2

∫

dx = 6

∫

x2 dx − 3

xdx + 2

∫

dx =

∫

= 6

− 3

+ 2x + c = 2x3 −

x2 + 2x + c.

Пример 2. Вычислить интеграл

I = ∫(2x2 + 1)3 dx .

Решение.

I = ∫(2x2 + 1)3 dx = ∫(8x6 + 12x4 + 6x2 + 1)dx = 8 x7 + 12 x5 + 2x3 + x + C .
7	5

126

Пример 3. Вычислить интеграл

I = ∫(

+ 1)2 dx .

+ 1)2 dx = ∫(x + 2

Решение.

I = ∫(

+ 1)dx =

x 2 + x + C .

Пример 4. Вычислить интеграл

I = ∫

(x + 1)(x2 - 3)

dx .

3x2

Решение.

(x +1)(x2

- 3)

x3 - x2

- 3x - 3

I =

∫

dx =

∫

dx =

∫

x +

3 x

∫ x

∫dx

- ∫

- ∫ x

−2

dx =

- ln

+ C.

I = ∫

(x -

)(1 +

Пример 5. Вычислить интеграл

x )

dx .

3 x

Решение.

(x -

x )(1 +

x -

x )

∫ x

dx =

+ C .

I = ∫

dx = ∫

dx = ∫ x 6 dx -

x 6

3 x

Пример 6. Вычислить интеграл

I = ∫

(e x -1)(e2 x + 1)

dx .

e x

Решение.

dx = ∫(e2 x - e x + 1 - e− x )dx =

I = ∫

(e x -1)(e2 x + 1)

e2 x - e x + x + e− x + C .

e x

Пример 7. Вычислить интеграл

I = ∫

ax + b

dx .

cx + d

Решение. Подынтегральное выражение представим в виде (разделив чис- литель на знаменатель)

ax + b

bc − ad

cx + d

+ d

Тогда искомый интеграл

I =

x +

bc − ad

cx + d

+ C .

2x2

- 3x + 1

Пример 8. Вычислить интеграл

I = ∫

dx .

x + 1

127

Решение.

I = ∫

2x2 - 3x + 1

dx = ∫

(2x - 5)(x + 1) + 6

dx = ∫(2x - 5)dx + 6∫

x + 1

+ 1

= x2 - 5x + 6ln

x + 1

+ C.

Пример 9. Вычислить интеграл

= ∫

(x + a)(x + b)

Решение. Так как справедливо равенство

(x + a) - (x + b)

(a - b)

(x + a)(x

+ b)

(a - b)

+ b

(x + a)(x + b)

x + a

то

I = ∫

∫

a - b

+ b

+ a

(x + a)(x + b)

x + b

- ln

x + a

+ C =

x + b

+ C.

- b

a - b

x + a

Пример 10. Вычислить интеграл

I = ∫

2 − 5x +

Решение.

x − 3

I = ∫

= ∫

−

dx = ln

+ C .

2 − 5x

+ 6

(x − 2)(x

− 3

x − 2

− 2

− 3)

Пример 11. Вычислить интеграл

I = ∫cos2 mxdx .

Решение.

I = ∫cos2 mxdx =

1 + cos 2mx = 2cos2 mx

(1 + cos 2mx)dx =

x +

sin 2mx + C.

2.2. Метод «подведения под знак дифференциала»

Суть метода интегрирования, основанного на «подведении под знак дифференциала» базируется на установленном выше свойстве 6 неопреде-

ленных интегралов: если ∫ f (x)dx = F (x) + C , то будет справедливо ра-

венство ∫ f (u)du = F (u) + C .

Пример 12. Вычислить интеграл I = ∫(x + 3)5 dx .

128

Решение.

I = ∫(x + 3)5 dx =

d (x + 3) = dx

= ∫(x + 3)5 d (x + 3) =

(x + 3)6

= ∫t

dt =

+ C =

+ C.

Пример 13. Вычислить интеграл

I = ∫(3x + 5)7 dx .

Решение.

I = ∫(3x + 5)7 dx =

d (3x + 5) = 3dx

∫(3x + 5)7 d (3x + 5) =

3t8

∫t7dt =

+ C =

(3x + 5)8 + C.

Пример 14. Вычислить интеграл

I = ∫tgxdx .

Решение.

I = ∫tgxdx = ∫

sin x

dx = ∫

d cos x

∫

= ln

+ C = ln

cos x

+ C .

cos x

Пример 15. Вычислить интеграл I = ∫ dx . sin x

Решение.

sin2

+ cos2

sin2

cos2

I = ∫

= ∫

dx = ∫

+ ∫

dx =

sin x

× cos

2sin

cos

2sin

cos

sin

cos

d cos

d sin

= ∫

∫

= -∫

+ ∫

cos

sin

cos

sin

= -ln

cos

+ ln

sin

+ C = ln

sin

+ C = ln

+ C.

cos

Пример 16. Вычислить интеграл

I = ∫

2 sin

2 x + b2 cos2

Решение.

dtgx

arctg

atgx

+ C .

I = ∫

= ∫

cos2 x

= ∫

a2 sin

2 tg2 x + b2

2 x + b2 cos2 x

129

Пример 17. Вычислить интеграл

I = ∫tg

sin

d cos

Решение. I = ∫tg

= -∫tg

= -∫

= ∫

= ln

cos

+ C .

x x2

x x

cos

Пример 18. Вычислить интеграл

I = ∫e− x 2

xdx .

Решение. I = ∫e− x 2

xdx =

d (-x2 ) = -2xdx

= -

∫e− x 2

d (-x2 ) =

e− x 2

+ C .

- 2

Пример 19. Вычислить интеграл

I = ∫ cos(ln x)

Решение.

I = ∫cos(ln x)

d ln x =

= ∫cos(ln x)d ln x = sin(ln x) + C .

Пример 20. Вычислить интеграл

I = ∫

e x dx

e2 x + 5

e x dx

de x

= ln(e x +

)+ C .

Решение.

I = ∫

= ∫

e2 x + 5

(e x )2 + 5

Пример 21. Вычислить интеграл

I = ∫

9 - ln

2 x

d ln x

= arcsin

ln x

+ C .

Решение.

I = ∫

d ln x =

= ∫

x 9 − ln2 x

32 − ln2 x

Пример 22. Вычислить интеграл

I = ∫ x(x + 5)7 dx .

Решение.

I = ∫ x(x + 5)7 dx = ∫(x + 5 - 5)(x + 5)7 dx = ∫(x + 5)(x + 5)7 dx - 5∫(x + 5)7 dx =
= ∫(x + 5)8 d (x + 5) - 5∫(x + 5)7 d (x + 5) = 1 (x + 5)9 - 5 (x + 5)8 + C.
8	8

Замечание. Если подынтегральная функция является дробью, числи- тель которой равен производной знаменателя, то искомый интеграл равен логарифму модуля знаменателя, т.е.

∫ϕ′(x) dx = ∫ dϕ(x) = ln ϕ(x) + C . ϕ(x) ϕ(x)

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf