14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Пальчик_Теория вероятностей

СОДЕРЖАНИЕ

Введение....................................................................................................................................

5

Рабочая программа...................................................................................................................

6

Словарь новых терминов.......................................................................................................

11

Сокращения терминов ...........................................................................................................

12

Конспект лекций ....................................................................................................................

13

Алгебра событий. Элементы комбинаторики. Относительная частота события

и его свойства ...................................................................................................................

13

2.

Вероятностная мера события. Аксиомы А.Н. Колмогорова. Классическое,

геометрическое, статистическое определение вероятности события. Метод

экспертных оценок. Исчисление вероятностей событий (сложение) ........................

18

3.

Условная вероятность. Независимость событий. Исчисление вероятностей

событий (умножение). Формула полной вероятности. Формула Байеса...................

22

теорема Муавра-Лапласа. Равномерное и показательное распределения.................

34

6. Функция одномерной СВ;.X + Y, X × Y. Числовые характеристики одномерной СВ

(МО, дисперсия, моменты распределения). Свойства МО и дисперсии (D)..............

43

ление. Нормальное распределение.................................................................................

54

8. Понятие о законе больших чисел. Понятие о центральной предельной

теореме ТВ (ЦПТТВ) ......................................................................................................

63

ния непрерывной многомерной СВ................................................................................

67

10.

Условные законы распределения. Числовые характеристики системы СВ...............

73

11.

Понятие о статистических методах. Генеральная совокупность (ГС). Выборка и тре-

бования к ней. Полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения........

85

12.

Основные характеристики генеральной совокупности и выборочной совокупности

(ГС и ВС). Два важных свойства xB и σB . Использование числовых характеристик

выборки для оценки параметров F(x). Классификация точечных оценок .................

89

13.

Методы нахождения точечных оценок: метод наибольшего правдоподобия,

метод моментов, метод наименьших квадратов ..........................................................

97

14.

Распределение χ2 (хи-квадрат) и его значение в МС. Распределение Стьюдента

и его значение в МС. Распределение Фишера и его значение в МС .......................

104

где X Î N(m, σ), σ – известная величина. Доверительный интервал для m, где X Î

N(m, σ), σ – неизвестная величина ..............................................................................

109

16. Функциональная и статистическая зависимость между СВ. Линейная корреляция и

свойства коэффициента линейной корреляции. Уравнение линейной регрессии ..

113

Область принятия гипотезы (ОПГ). Критические точки. Ошибки при принятии ги-

потез. Мощность критерия. Этапы проверки СГ........................................................

123

матическом ожидании СВ X N(m, σ), σ – неизвестная величина ..........................

131

Практические занятия...................................................................................................

138

1. Элементы комбинаторики............................................................................................

138

частота............................................................................................................................

141

3.

Классическая и геометрическая вероятности.............................................................

146

4.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.........................................................

151

5.

Формула полной вероятности, формула Байеса.........................................................

155

вторных испытаниях.....................................................................................................

158

распределения ДСВ. Примеры ДСВ............................................................................

162

характеристики НСВ. Примеры НСВ .........................................................................

166

9.

Нормальное распределение..........................................................................................

173

10.

Двумерные СВ (X, Y). Условные законы распределения компонент X и Y .............

176

11.

Генеральная совокупность и выборка. Вариационный и статистический ряды рас-

пределения. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения......

185

медиана...........................................................................................................................

191

13.

Точечные оценки параметров распределения. Несмещенность, состоятельность

и эффективность. Метод максимального правдоподобия ........................................

196

14.

Контрольная работа ......................................................................................................

202

15.

Интервальные оценки параметров распределения. Доверительные интервалы пара-

метров нормального распределения............................................................................

204

Пуассона с помощью критерия Пирсона χ2 (хи-квадрат) .........................................

207

17.

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по

критерию χ2 Пирсона....................................................................................................

213

18.

Корреляционная зависимость. Уравнение линейной регрессии. Выборочный коэф-

фициент корреляции.....................................................................................................

220

Приложения..........................................................................................................................

226

Вопросы к экзамену .............................................................................................................

233

Литература ............................................................................................................................

235

Виды занятий,

Дневники

Заочники ФЭФ

ГФ

ГФ

ИСФ,

формы контроля

ФЭФ

П

С

1-56 01 02

1-56 02 01

РТФ

Курс

2

2

2

2

2

3

Семестр

3

3

3

4

3

6

Лекции (в часах)

36

36

36

32

Практические занятия (в часах)

18

18

36

32

Зачет (семестр)

3

3

3

4

3

Экзамен (семестр)

4

6

Контрольная работа (кол-во)

1

1

1

1

РГР

1

№

Наименование тем лекций

Объем в часах

З

п/п

и их содержание

Д

П

С

1

2

3

4

5

Раздел 1. Теория вероятностей

1.

Предмет и задачи теории вероятностей и ма-

тематической статистики.

Пространство элементарных событий для

эксперимента. Сложное событие. Алгебра и

σ-алгебра событий. Элементы комбинаторики.

2

2.

Относительная частота события и ее свойст-

ва. Вероятностная мера. Аксиомы

А.Н. Колмогорова. Классическое, геометричес-

кое, статистическое определения вероятности.

Метод экспертных оценок.

2

3.

Вероятность суммы двух и более событий.

Условная вероятность. Независимость событий.

Вероятность произведения событий.

2

2

2

4.

Теорема о вероятности появления хотя бы

одного из событий, независимых в совокупно-

сти. Формула полной вероятности. Формула

Байеса.

2

2

2

5.

Дискретные и непрерывные случайные вели-

чины (ДСВ, НСВ). Задание законов распределе-

ния для СВ: табличный способ задания для

ДСВ, функция распределения и плотность рас-

пределения для НСВ.

2

6.

Схема испытаний Бернулли и биномиальный

закон распределения. Предельные случаи в схе-

ме Бернулли: закон распределения Пуассона,

локальная и интегральная теоремы Муавра-

Лапласа.

2

7.

Равномерное и показательное распределения.

Функции одномерной СВ. Сумма и произведе-

ние двух СВ. Математическое ожидание, дис-

персия, моменты распределения. Свойства ма-

тематического ожидания и дисперсии.

2

2

2

Геометрическое и гипергеометрическое

8.

распределения. Нормальное распределение

N(m, σ).

2

2

№

Наименование тем лекций

Объем в часах

З

п/п

и их содержание

Д

П

С

1

2

3

4

5

9.

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

Теорема Бернулли. Центральная предельная

теорема Ляпунова.

2

10.

Понятие многомерной СВ. Законы распреде-

ления двумерных СВ. Независимость компонент

в двумерной СВ. Условные распределения ком-

понент двумерной СВ. Начальный и централь-

ный моменты порядка k+s, ковариация. Корре-

ляционный момент.

2

11.

Генеральная и выборочная совокупности (ГС,

ВС). Полигон, гистограмма и их значение. Эм-

пирическая функция распределения.

2

12.

Математическое ожидание ГС и ВС, дис-

персия ГС и ВС, медиана выборки. Свойства

M( X ) и D( X ), где X – среднее арифметичес-

кое одинаково распределенных СВ X1, X2, …, X

n.

Функции от выборки и их примеры. Точечные и

интервальные оценки параметров распределе-

ний на основании выборок.

2

13.

Несмещенные, эффективные и состоятель-

ные оценки. Примеры. Исправленная выбороч-

ная дисперсия.

2

моментов. Метод наименьших квадратов.

2

15.

Распределение χ2 (хи-квадрат). Распределе-

ние Стьюдента. Распределение Фишера. Значе-

ние этих распределений в математической ста-

2

тистике. Квантили.

16.

Доверительная вероятность. Доверительный

интервал. Уровень значимости. Доверительный

2

интервал для m, где X N(m, σ).

17.

Линейная корреляция и свойства коэффици-

ента линейной корреляции. Уравнение линей-

2

ной регрессии.

18.

Понятие о статистических решениях. Стати-

стические гипотезы. Понятие о критериях про-

верки гипотез. Критические области. Мощность

критерия. Проверка гипотез о математическом

ожидании и дисперсии СВ

2

X N(m, σ).

ИТОГО:

36

6

8

Примечание. Для специальностей ИСФ и РТФ лекции 17 и 18 исключаются.

№

Темы практических занятий

Объем в часах

З

п/п

(для экономических специальностей и 1-56 01 02)

Д

П

С

1

2

3

4

5

Раздел 1. Теория вероятностей

1.

Размещения, перестановки, сочетания.

Непосредственный подсчет вероятностей.

Геометрический подход к вычислению вероят-

ностей.

2

2.

Задачи на сложение и умножение вероятно-

стей сложных событий. Вероятность появления

хотя бы одного события.

2

2

2

3.

Формулы полной вероятности и Байеса. Тео-

ремы Бернулли и Муавра-Лапласа.

2

2

2

4.

Табличные законы для дискретных СВ. Би-

номиальный и Пуассоновский законы. Задачи о

простейшем потоке событий.

Выдача РГР по разделу «Теория вероятностей»

(прием на 6-й неделе).

2

5.

Вычисление числовых характеристик СВ,

имеющих различные законы распределения.

Использование неравенства Чебышева для ре-

шения практических вероятностных задач.

2

2

2

Вычисление маргинальных распределений

6.

компонент. Вычисление условных распределе-

ний компонент.

2

2

Эмпирическая функция распределения. Гис-

8 – 11 неделе).

2

Метод наибольшего правдоподобия.

ного распределения.

2

Уравнения регрессий Y на X и X на Y по

9. данным законам распределения двумерных

2

СВ (X, Y).

ИТОГО:

18

6

8

№

Темы практических занятий

Объем в

часах

п/п

(для специальностей ИСФ, РТФ и 1-56 02 01)

Д

1.

Элементы комбинаторики.

2

2.

Операции над событиями. Частота и относительная частота.

2

3.

Классическая и геометрическая вероятности.

2

4.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

2

№

Темы практических занятий

Объем в

часах

п/п

(для специальностей ИСФ, РТФ и 1-56 02 01)

Д

5.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2

6.

Формула Бернулли и ее предельные случаи.

2

7.

Законы распределения ДСВ и числовые характеристики ДСВ.

2

8.

Законы распределения НСВ (F(x), f(x)).

Числовые

характеристики НСВ.

2

9.

Нормальное распределение.

2

10.

Двумерные СВ (X, Y). Условные законы распределения компо-

нент.

2

11.

Генеральная и выборочная совокупности. Полигон и гистограм-

ма. Эмпирическая функция распределения (F*(x)).

2

12.

Числовые характеристики выборки и их вычисление.

2

13.

Точечные оценки параметров распределения, их классификация.

Метод максимального правдоподобия.

2

14.

Контрольная работа по теме «Нахождение точечных оценок».

2

15.

Интервальные оценки параметров распределения. Доверитель-

ные интервалы параметров нормального распределения.

2

16.

Критерий проверки нулевой гипотезы. Критерий согласия. Про-

верка гипотезы о распределении ГС по закону Пуассона с помощью

критерия Пирсона.

2

17.

Проверка гипотезы о нормальном распределении ГС с помощью

критерия Пирсона.

2

18.

Уравнение линейной регрессии. Выборочный коэффициент кор-

реляции.

2

ИТОГО:

32

Примечание. Для специальностей ИСФ и РТФ практические занятия 16 и 17 не

обязательны.

5. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА

№

Темы для самостоятельной работы и

Часы для са-

На какой неделе вы-

мостоятель-

дается (проводится)

п/п

вид их выполнения

ного изучения

и принимается

1.

Применение основных теорем ТВ из

Индивидуальное

лекций 1 – 5 к решению типичных задач

домашнее задание

на вычисление вероятностей событий.

6

(ИДЗ) выдается на

4-й неделе, прини-

мается на

6-й неделе.

2.

Числовые характеристики выборки

и

ИДЗ выдается на

методы нахождения точечных оценок

10-й неделе, при-

неизвестных параметров распределения

нимается на

F(x) или f(x).

6

16-й неделе.