Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

.pdf
Скачиваний:
38
Добавлен:
18.05.2015
Размер:
2.77 Mб
Скачать

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Учебно-методический комплекс для студентов технических специальностей

Под общей редакцией В.С. ВАКУЛЬЧИК

Новополоцк

ПГУ

2010

УДК 51(075.8) ББК 22.1я73 Н52

Рекомендовано к изданию методической комиссией радиотехнического факультета в качестве учебно-методического комплекса (протокол № 3 от 17.11.2008)

АВТОРЫ:

В. С. Вакульчик, Ф. Ф. Яско, В. А. Жак, Т. И. Завистовская, А. П. Мателёнок

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и методики преподава- ния математики УО «ВГУ им. П.М. Машерова» Н. Т. ВОРОБЬЕВ;

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики УО «ПГУ» А. В. КАПУСТО

Неопределенный интеграл : учеб.-метод. комплекс для студентов Н52 техн. специальностей / В. С. Вакульчик [и др.] ; под общ. ред. В. С. Ва-

кульчик. – Новополоцк : ПГУ, 2010. – 168 с. ISBN 978-985-531-006-9.

Изложены теоретические основы одного из важнейших разделов курса высшей математики для студентов технических специальностей – « Неопреде- ленный интеграл»; спроектированы основные этапы практических занятий; предложено соответствующее дидактическое обеспечение: графические схе- мы, информационные таблицы, обучающие задачи, трехуровневые тесты, во- просы к экзамену, глоссарий.

Предназначен для преподавателей и студентов технических специально- стей высших учебных заведений.

УДК 51(075.8) ББК 22.1я73

ISBN 978-985-531-006-9

© УО «Полоцкий государственный университет», 2010

От авторов

Поскольку теоретическая часть в данном учебно-методическом ком- плексе (УМК) представлена в сокращенном виде, хотелось бы отметить, что более глубокое изучение теоретических выкладок студент может найти в учебниках, которые приведены в списке, используемой литературы. В учебно-методическом комплексе основное внимание уделено проектиро- ванию практической части, а также организации познавательной деятель- ности по усвоению и переработке математической информации в соответ- ствии с тремя уровнями обучения.

Большую благодарность и глубокую признательность авторы выра- жают рецензентам данного издания доктору физико-математических наук, профессору, заведующему кафедрой алгебры и методики преподавания математики УО «ВГУ им. П.М. Машерова» Николаю Тимофеевичу Во- робьеву, а также кандидату физико-математических наук, заведующей ка- федрой высшей математики УО «ПГУ» Анне Владимировне Капусто за внимательное отношение к представленной работе и ценные замечания по улучшению ее содержания.

3

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методический комплекс является частью серии учебно- методических пособий, разрабатываемых кафедрой высшей математики УО «Полоцкий государственный университет» по курсу «Высшая мате- матика» для студентов технических специальностей под руководством кандидата педагогических наук, доцента В. С. Вакульчик. Теоретические и дидактические принципы разработки таких пособий изложены в нуле- вом учебном модуле [5]. Мы надеемся, что наши читатели знакомы, а, точнее, изучили этот УМК, в противном случае, советуем ознакомиться хотя бы с его нулевым модулем. В основу проектирования практической части модуля «Неопределенный интеграл» положен многолетний опыт обучения математике старшего преподавателя кафедры высшей матема- тики В. А. Жак.

В предлагаемом УМК, содержание которого представлено в виде графической схемы (рис. 1), авторами предпринята попытка спроектиро- вать процесс обучения математике как систему целей, содержания, форм, методов и средств обучения, обеспечивающих в своем взаимодействии организацию познавательной деятельности студентов с учетом диффе- ренциации студенческой аудитории. Дидактическую основу УМК состав- ляет дифференцированный и деятельностный подход к обучению матема- тике, а также дидактические принципы научности, системности, доступ- ности. В применении к математике мы руководствуемся сформулирован- ным А. А. Столяром исходным положением теории обучения математике «Обучение математике есть дидактически целесообразное сочетание обу- чения математическим знаниям и математической деятельности». Под дифференцированным подходом к обучению математике понимается та- кая его организация, при которой каждый студент, овладевая некоторым минимумом математических знаний и их практических приложений, по- лучает право и возможность расширять и углублять свои математические знания на более высоких уровнях усвоения. Отдельное внимание необхо- димо обратить на наличие в УМК таких дидактических средств как гра- фические схемы, информационные таблицы, глоссарий, обобщенные пла- ны, алгоритмические указания, алгоритмическое выделение этапов по- знавательной деятельности, которые позволяют организовать мыслитель- ную деятельность по переработке математической информации, помога- ют обучающемуся в логической организации, структурировании, систе-

4

матизации математических знаний. Учебно-методический комплекс со- держит в себе возможности самоконтроля, а также уровневого контроля знаний. Студенты, работающие на I уровне сложности, потенциально мо- гут претендовать на получение на экзамене оценки «4» - «5»; работающие на II уровне оценки «6» – «8»; работающие на III уровне оценки «9» - «10». Информационное поле УМК позволяет студенту выбирать свою траекторию обучения в каждом модуле. Трехуровневая тестовая среда УМК создает условия для перехода студентов от заданий, требующих воспроизводящей мыслительной деятельности к заданиям, требующим познавательной деятельности преобразующе-воспроизводящего или творческого характера.

5

6

СОДЕРЖАНИЕ

ОБУЧЕНИЯ

 

 

Модуль-

 

Уров-

 

 

ное по-

 

невый

Дидакти-

 

строение

 

кон-

ческие

 

 

 

курса

 

троль

средства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граф-

 

 

 

Обобщен-

схемы

 

 

ные планы

 

 

 

 

 

Информа- ционные

таблицы

Обучающие

задачи

Учебно-методический комплекс «Неопределенный интеграл»

Дифференциро- ванный подход

ДИДАКТИЧЕСКАЯ

ОСНОВА

Деятельностный

подход

 

Дидактические

принципы

 

Прикладная

направленность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц

 

Д

 

Раз-

Н

 

С

 

 

 

 

 

е

 

о

 

ви-

а

 

и

 

 

 

 

 

л

 

с

 

ваю

у

 

с

 

 

 

 

 

о

 

т

 

щей

ч

 

т

 

 

 

 

 

с

 

у

 

дея-

н

 

е

 

 

 

 

 

т

 

п

 

тель

о

 

м

 

 

 

 

 

н

 

н

 

нос-

с

 

н

 

 

 

 

 

о

 

о

 

ти

т

 

о

 

 

 

 

 

с

 

с

 

 

и

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

т

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

и

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обучение математиче- ским знаниям

Обучение математиче-

Цской деятельности, фор-

мирование математиче-

Еских навыков и умений

Л

 

Организация и управление

 

 

И

 

самостоятельной познава-

 

тельной деятельности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формирование познава-

 

 

тельной самостоятельности

 

 

 

 

 

Рис. 1.

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Введение

Основной задачей дифференциального исчисления является задача дифференцирования, т. е. задача нахождения скорости изменения опре-

деленного процесса. Однако различные вопросы естествознания и техни- ки приводят к необходимости решения обратной задачи: зная скорость изменения процесса (мгновенную скорость при неравномерном движе- нии, скорость химической реакции, силу тока, плотность массы и т. п.), найти саму функциональную зависимость (закон неравномерного движе- ния, закон химической реакции, заряд, массу и т. п.). В данном учебном модуле мы и будем решать задачу восстановления функции по ее произ- водной или дифференциалу. Эта задача является основной задачей так называемого интегрального исчисления. Изучение этого вопроса естест- венным образом приводит к понятиям первообразной и неопределенного интеграла. В данном модуле изучим основные методы интегрирования и выделим классы функций, неопределенные интегралы от которых выра- жаются через элементарные функции.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

Студент должен знать

 

 

Студент должен уметь

 

 

 

основные определения, связанные с по-

пользоваться основными свойствами

нятием неопределенного интеграла;

неопределенного интеграла;

основные

свойства

неопределенного

писать по памяти таблицу интегри-

интеграла;

 

 

 

рования основных классов элементар-

таблицу

интегрирования

основных

ных функций;

 

классов элементарных функций;

применять к вычислению интегралов

основные методы интегрирования: не-

основные методы интегрирования;

посредственного интегрирования, подве-

применять к вычислению интегралов

дения под знак дифференциала, замены

методы интегрирования выражений, со-

переменной, интегрирования по частям;

держащих квадратный трехчлен;

методы интегрирования выражений, со-

применять к вычислению интегралов

держащих квадратный трехчлен;

методы

интегрирования

простейших

методы

интегрирования

простейших

рациональных дробей,

рациональных

рациональных дробей,

рациональных

функций;

 

функций;

 

 

 

применять к вычислению интегралов

методы интегрирования иррациональ-

методы

интегрирования

иррациональ-

ных функций;

 

 

ных функций;

 

методы интегрирования тригонометри-

применять к вычислению интегралов

ческих функций

 

 

методы

интегрирования

тригономет-

 

 

 

 

рических функций

 

7

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ

 

 

Номер

Наглядные и

Формы

 

Название вопросов,

практи-

методиче-

контро-

которые изучаются на лекции

ческого

ские

ля зна-

 

 

занятия

пособия

ний

 

 

 

 

1. Первообразная. Неопределенный интеграл

I

2, 4, 7, 8

ИДЗ

и его свойства. Таблица основных формул

 

 

 

2. Простейшие приемы интегрирования. Ме-

 

 

ПДЗ,

тод подведения под знак дифференциала. Заме-

II, III

2, 4, 7,8

Опрос

на переменной

 

 

 

 

 

3. Интегрирование выражений, содержащих

 

 

 

квадратный трехчлен в знаменателе. Интегри-

IV, V

2, 4, 7, 8

Р, ПДЗ

рование по частям. Интегрирование простей-

 

 

 

ших дробей

 

 

 

 

4. Интегрирование рациональных функ-

 

 

 

ций. Интегрирование некоторых иррацио-

VI

2, 4, 7, 8

Р, ПДЗ

нальных функций

 

 

 

5. Интегрирование выражений, содержащих

 

 

 

тригонометрические функции. Тригонометри-

VII, VIII

2, 4, 7, 8

Опрос

ческие подстановки. Использование справоч-

 

 

 

ников и таблиц интегралов

 

 

 

Принятые сокращения:

 

 

 

ИДЗ

индивидуальное домашнее задание;

 

 

 

ПДЗ

проверка домашнего задания;

 

 

 

Р разминка.

ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА МОДУЛЯ

Таблица

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Интегрирование

неопределён-

ФУНКЦИИ ОДНОЙ

тригонометриче-

ской функции

ных интегралов

ПЕРЕМЕННОЙ

 

Метод

 

Интегрирование

 

замены

Метод

рациональной

Интегрирование

переменной

функции

интегрирования

иррациональной

 

 

по частям

 

функции

Метод подведения

Интегрирование

 

под знак

 

простейших

 

дифференциала

 

рациональных дробей

 

8

ИНФОРМАЦИОННАЯ ТАБЛИЦА «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

F ( x) - первообразная для f ( x) , если F ¢( x) = f ( x) .

Неопределенный интеграл от f ( x) - множество всех первообразных:

f ( x) dx = F ( x) + C .

С в о й ст в а н ео пр ед ел ен ны х инт егр а ло в

1.(f ( x) dx)¢ = f ( x) ;

2.d (f ( x) dx) = f ( x) dx ;

3.dF ( x) = F ( x) + C ;

4.

f ( x) ± f

2

( x) dx =

f

( x) dx ± f

2

( x) dx ;

 

1

 

1

 

 

5.

kf ( x) dx = k f ( x) dx ;

 

 

 

 

6.

if f ( x) dx = F ( x) + C , u = j( x) , то f (u ) du = F (u ) + C .

Т а бл иц а н ео пр едел енн ы х инт егр ал о в

1.

0 × dx = C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. uλ du =

uλ+1

, l ¹ - 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l +1

 

 

а)

du = u + C ;

 

 

б)

u du =

u2

+ C ;

 

СТЕПЕННЫЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

в)

du

 

= -

1

 

+ C ;

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

г)

 

du

 

= 2

 

+ C ;

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.duu = ln u + C ;

4.sin u du = - cos u + C ;

5.cos u du = sin u + C ;

6.tg u du = - ln cos u + C ;

7.ctg u du = ln sin u + C ;

8.

du

 

= ln

 

tg

u

 

+ C ;

 

 

 

 

 

sin u

 

 

 

 

 

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

= ln

 

p

+

u

 

 

+ C ;

 

 

 

 

9.

 

 

 

tg

 

 

 

cos u

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

10.

du

 

= tg u + C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 u

 

 

 

 

 

 

 

11.

du

 

= - ctg u + C ;

 

 

 

 

sin2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

12.

eu du = eu + C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

au du =

au

 

+ C ;

 

 

 

 

 

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

 

 

 

 

 

= arcsin

+ C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 - u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

 

 

 

 

 

= ln

u +

 

u2 ± a2

 

+ C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 ± a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

 

du

 

=

 

arctg

 

u

+ C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

2 + a2

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

1

 

 

 

 

u - a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАЩИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

 

 

 

 

=

 

ln

 

 

 

 

 

+ C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«u2», «а2»

u2 - a2

 

2a

u + a

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du =

u

 

 

 

 

 

 

+

 

 

arcsin

u

+ C ;

 

 

 

 

 

 

 

18.

a2 - u2

 

 

a2 - u2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

19.

a

 

+ u

 

 

 

 

 

du

=

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

+ u

 

 

+

 

 

 

 

ln u +

 

 

a

 

+ u

 

 

 

 

+ C ;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du =

u

 

 

 

 

 

 

-

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

u2 - a2

 

 

 

 

u2 - a2

 

 

ln

u +

u2 - a2

 

 

 

+ C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.sh u du = ch u + C ;

22.ch u du = sh u + C ;

23.

du

 

 

= - cth u + C ;

 

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ

2

 

 

 

sh

 

u

 

 

24.

du

 

 

= th u + C .

 

 

ch

2

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

О сно вн ы е м ет оды инт егр иро в ани я

I. Непосредственное интегрирование

Интегрирование выполняется с помощью таблиц, тождественных преобразований по- дынтегральных функций, свойств неопределенного интеграла.

II. Метод поднесения под знак дифференциала

Основан на свойстве 6 (инвариантности неопределенного интеграла); свойство 6:

если f (x) dx = F (x) + C , то f (u)du = F (u) + C , где u = ϕ(x) .

Функция подносится под знак дифференциала по правилу: под знаком дифференциа- ла записывается ее первообразная

f ( x) dx = dF ( x) .

III. Интегрирование заменой переменной

С помощью замены переменной x = ϕ(t) приводят интеграл к табличному или более простому f ( x) dx = f (j(t ))×j¢(t ) dt .

IV. Метод интегрирования по частям

u dv = uv - v du .

Чаще всего применяется, когда f ( x) есть произведение разного класса функций, со-

держит логарифмы, иррациональные выражения или «аркфункции».

10