14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл
.pdfМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Учебно-методический комплекс для студентов технических специальностей
Под общей редакцией В.С. ВАКУЛЬЧИК
Новополоцк
ПГУ
2010
УДК 51(075.8) ББК 22.1я73 Н52
Рекомендовано к изданию методической комиссией радиотехнического факультета в качестве учебно-методического комплекса (протокол № 3 от 17.11.2008)
АВТОРЫ:
В. С. Вакульчик, Ф. Ф. Яско, В. А. Жак, Т. И. Завистовская, А. П. Мателёнок
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и методики преподава- ния математики УО «ВГУ им. П.М. Машерова» Н. Т. ВОРОБЬЕВ;
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики УО «ПГУ» А. В. КАПУСТО
Неопределенный интеграл : учеб.-метод. комплекс для студентов Н52 техн. специальностей / В. С. Вакульчик [и др.] ; под общ. ред. В. С. Ва-
кульчик. – Новополоцк : ПГУ, 2010. – 168 с. ISBN 978-985-531-006-9.
Изложены теоретические основы одного из важнейших разделов курса высшей математики для студентов технических специальностей – « Неопреде- ленный интеграл»; спроектированы основные этапы практических занятий; предложено соответствующее дидактическое обеспечение: графические схе- мы, информационные таблицы, обучающие задачи, трехуровневые тесты, во- просы к экзамену, глоссарий.
Предназначен для преподавателей и студентов технических специально- стей высших учебных заведений.
УДК 51(075.8) ББК 22.1я73
ISBN 978-985-531-006-9
© УО «Полоцкий государственный университет», 2010
От авторов
Поскольку теоретическая часть в данном учебно-методическом ком- плексе (УМК) представлена в сокращенном виде, хотелось бы отметить, что более глубокое изучение теоретических выкладок студент может найти в учебниках, которые приведены в списке, используемой литературы. В учебно-методическом комплексе основное внимание уделено проектиро- ванию практической части, а также организации познавательной деятель- ности по усвоению и переработке математической информации в соответ- ствии с тремя уровнями обучения.
Большую благодарность и глубокую признательность авторы выра- жают рецензентам данного издания доктору физико-математических наук, профессору, заведующему кафедрой алгебры и методики преподавания математики УО «ВГУ им. П.М. Машерова» Николаю Тимофеевичу Во- робьеву, а также кандидату физико-математических наук, заведующей ка- федрой высшей математики УО «ПГУ» Анне Владимировне Капусто за внимательное отношение к представленной работе и ценные замечания по улучшению ее содержания.
3
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методический комплекс является частью серии учебно- методических пособий, разрабатываемых кафедрой высшей математики УО «Полоцкий государственный университет» по курсу «Высшая мате- матика» для студентов технических специальностей под руководством кандидата педагогических наук, доцента В. С. Вакульчик. Теоретические и дидактические принципы разработки таких пособий изложены в нуле- вом учебном модуле [5]. Мы надеемся, что наши читатели знакомы, а, точнее, изучили этот УМК, в противном случае, советуем ознакомиться хотя бы с его нулевым модулем. В основу проектирования практической части модуля «Неопределенный интеграл» положен многолетний опыт обучения математике старшего преподавателя кафедры высшей матема- тики В. А. Жак.
В предлагаемом УМК, содержание которого представлено в виде графической схемы (рис. 1), авторами предпринята попытка спроектиро- вать процесс обучения математике как систему целей, содержания, форм, методов и средств обучения, обеспечивающих в своем взаимодействии организацию познавательной деятельности студентов с учетом диффе- ренциации студенческой аудитории. Дидактическую основу УМК состав- ляет дифференцированный и деятельностный подход к обучению матема- тике, а также дидактические принципы научности, системности, доступ- ности. В применении к математике мы руководствуемся сформулирован- ным А. А. Столяром исходным положением теории обучения математике «Обучение математике есть дидактически целесообразное сочетание обу- чения математическим знаниям и математической деятельности». Под дифференцированным подходом к обучению математике понимается та- кая его организация, при которой каждый студент, овладевая некоторым минимумом математических знаний и их практических приложений, по- лучает право и возможность расширять и углублять свои математические знания на более высоких уровнях усвоения. Отдельное внимание необхо- димо обратить на наличие в УМК таких дидактических средств как гра- фические схемы, информационные таблицы, глоссарий, обобщенные пла- ны, алгоритмические указания, алгоритмическое выделение этапов по- знавательной деятельности, которые позволяют организовать мыслитель- ную деятельность по переработке математической информации, помога- ют обучающемуся в логической организации, структурировании, систе-
4
матизации математических знаний. Учебно-методический комплекс со- держит в себе возможности самоконтроля, а также уровневого контроля знаний. Студенты, работающие на I уровне сложности, потенциально мо- гут претендовать на получение на экзамене оценки «4» - «5»; работающие на II уровне – оценки «6» – «8»; работающие на III уровне – оценки «9» - «10». Информационное поле УМК позволяет студенту выбирать свою траекторию обучения в каждом модуле. Трехуровневая тестовая среда УМК создает условия для перехода студентов от заданий, требующих воспроизводящей мыслительной деятельности к заданиям, требующим познавательной деятельности преобразующе-воспроизводящего или творческого характера.
5
6
СОДЕРЖАНИЕ
ОБУЧЕНИЯ
|
|
Модуль- |
|
Уров- |
|
|
|
ное по- |
|
невый |
|
Дидакти- |
|||||
|
строение |
|
кон- |
||
ческие |
|
|
|||
|
курса |
|
троль |
||
средства |
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Граф- |
|
|
|
Обобщен- |
|
схемы |
|
|
|
ные планы |
|
|
|
|
|
|
|
Информа- ционные
таблицы
Обучающие
задачи
Учебно-методический комплекс «Неопределенный интеграл»
Дифференциро- ванный подход
ДИДАКТИЧЕСКАЯ
ОСНОВА
Деятельностный |
подход |
|
Дидактические |
принципы |
|
Прикладная |
направленность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц |
|
Д |
|
Раз- |
Н |
|
С |
|
|
|
|||
|
|
е |
|
о |
|
ви- |
||
а |
|
и |
|
|
|
|||
|
|
л |
|
с |
|
ваю |
||
у |
|
с |
|
|
|
|||
|
|
о |
|
т |
|
щей |
||
ч |
|
т |
|
|
|
|||
|
|
с |
|
у |
|
дея- |
||
н |
|
е |
|
|
|
|||
|
|
т |
|
п |
|
тель |
||
о |
|
м |
|
|
|
|||
|
|
н |
|
н |
|
нос- |
||
с |
|
н |
|
|
|
|||
|
|
о |
|
о |
|
ти |
||
т |
|
о |
|
|
|
|||
|
|
с |
|
с |
|
|
||
и |
|
с |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
т |
|
т |
|
|
||
|
|
т |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
и |
|
и |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обучение математиче- ским знаниям
Обучение математиче-
Цской деятельности, фор-
мирование математиче-
Еских навыков и умений
Л |
|
Организация и управление |
|
|
|
И |
|
самостоятельной познава- |
|
тельной деятельности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формирование познава- |
|
|
тельной самостоятельности |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Введение
Основной задачей дифференциального исчисления является задача дифференцирования, т. е. задача нахождения скорости изменения опре-
деленного процесса. Однако различные вопросы естествознания и техни- ки приводят к необходимости решения обратной задачи: зная скорость изменения процесса (мгновенную скорость при неравномерном движе- нии, скорость химической реакции, силу тока, плотность массы и т. п.), найти саму функциональную зависимость (закон неравномерного движе- ния, закон химической реакции, заряд, массу и т. п.). В данном учебном модуле мы и будем решать задачу восстановления функции по ее произ- водной или дифференциалу. Эта задача является основной задачей так называемого интегрального исчисления. Изучение этого вопроса естест- венным образом приводит к понятиям первообразной и неопределенного интеграла. В данном модуле изучим основные методы интегрирования и выделим классы функций, неопределенные интегралы от которых выра- жаются через элементарные функции.
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
Студент должен знать |
|
|
Студент должен уметь |
||||
|
|
|
|||||
− основные определения, связанные с по- |
− |
пользоваться основными свойствами |
|||||
нятием неопределенного интеграла; |
неопределенного интеграла; |
||||||
− основные |
свойства |
неопределенного |
− писать по памяти таблицу интегри- |
||||
интеграла; |
|
|
|
рования основных классов элементар- |
|||
− таблицу |
интегрирования |
основных |
ных функций; |
|
|||
классов элементарных функций; |
− |
применять к вычислению интегралов |
|||||
− основные методы интегрирования: не- |
основные методы интегрирования; |
||||||
посредственного интегрирования, подве- |
− |
применять к вычислению интегралов |
|||||
дения под знак дифференциала, замены |
методы интегрирования выражений, со- |
||||||
переменной, интегрирования по частям; |
держащих квадратный трехчлен; |
||||||
− методы интегрирования выражений, со- |
− |
применять к вычислению интегралов |
|||||
держащих квадратный трехчлен; |
методы |
интегрирования |
простейших |
||||
− методы |
интегрирования |
простейших |
рациональных дробей, |
рациональных |
|||
рациональных дробей, |
рациональных |
функций; |
|
||||
функций; |
|
|
|
− |
применять к вычислению интегралов |
||
− методы интегрирования иррациональ- |
методы |
интегрирования |
иррациональ- |
||||
ных функций; |
|
|
ных функций; |
|
|||
− методы интегрирования тригонометри- |
− |
применять к вычислению интегралов |
|||||
ческих функций |
|
|
методы |
интегрирования |
тригономет- |
||
|
|
|
|
рических функций |
|
7
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ
|
|
Номер |
Наглядные и |
Формы |
|
|
Название вопросов, |
практи- |
методиче- |
контро- |
|
которые изучаются на лекции |
ческого |
ские |
ля зна- |
||
|
|
занятия |
пособия |
ний |
|
|
|
|
|
||
1. Первообразная. Неопределенный интеграл |
I |
2, 4, 7, 8 |
ИДЗ |
||
и его свойства. Таблица основных формул |
|||||
|
|
|
|||
2. Простейшие приемы интегрирования. Ме- |
|
|
ПДЗ, |
||
тод подведения под знак дифференциала. Заме- |
II, III |
2, 4, 7,8 |
|||
Опрос |
|||||
на переменной |
|
|
|||
|
|
|
|||
3. Интегрирование выражений, содержащих |
|
|
|
||
квадратный трехчлен в знаменателе. Интегри- |
IV, V |
2, 4, 7, 8 |
Р, ПДЗ |
||
рование по частям. Интегрирование простей- |
|||||
|
|
|
|||
ших дробей |
|
|
|
|
|
4. Интегрирование рациональных функ- |
|
|
|
||
ций. Интегрирование некоторых иррацио- |
VI |
2, 4, 7, 8 |
Р, ПДЗ |
||
нальных функций |
|
|
|
||
5. Интегрирование выражений, содержащих |
|
|
|
||
тригонометрические функции. Тригонометри- |
VII, VIII |
2, 4, 7, 8 |
Опрос |
||
ческие подстановки. Использование справоч- |
|||||
|
|
|
|||
ников и таблиц интегралов |
|
|
|
||
Принятые сокращения: |
|
|
|
||
ИДЗ – |
индивидуальное домашнее задание; |
|
|
|
|
ПДЗ – |
проверка домашнего задания; |
|
|
|
Р − разминка.
ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА МОДУЛЯ
Таблица |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
Интегрирование |
|
неопределён- |
ФУНКЦИИ ОДНОЙ |
тригонометриче- |
|
ской функции |
|||
ных интегралов |
ПЕРЕМЕННОЙ |
||
|
Метод |
|
Интегрирование |
|
|
замены |
Метод |
рациональной |
Интегрирование |
|
переменной |
функции |
|||
интегрирования |
иррациональной |
|||
|
||||
|
по частям |
|
функции |
|
Метод подведения |
Интегрирование |
|
||
под знак |
|
простейших |
|
|
дифференциала |
|
рациональных дробей |
|
8
ИНФОРМАЦИОННАЯ ТАБЛИЦА «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
F ( x) - первообразная для f ( x) , если F ¢( x) = f ( x) .
Неопределенный интеграл от f ( x) - множество всех первообразных:
∫ f ( x) dx = F ( x) + C .
С в о й ст в а н ео пр ед ел ен ны х инт егр а ло в
1.(∫ f ( x) dx)¢ = f ( x) ;
2.d (∫ f ( x) dx) = f ( x) dx ;
3.∫ dF ( x) = F ( x) + C ;
4. |
∫ f ( x) ± f |
2 |
( x) dx = ∫ |
f |
( x) dx ± ∫ f |
2 |
( x) dx ; |
|
1 |
|
1 |
|
|
||
5. |
∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx ; |
|
|
|
|
||
6. |
if ∫ f ( x) dx = F ( x) + C , u = j( x) , то ∫ f (u ) du = F (u ) + C . |
Т а бл иц а н ео пр едел енн ы х инт егр ал о в
1. |
∫0 × dx = C ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. ∫uλ du = |
uλ+1 |
, l ¹ - 1; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l +1 |
|
|
|||||||
а) |
∫ du = u + C ; |
|
|
|||||||||||||
б) |
∫u du = |
u2 |
+ C ; |
|
СТЕПЕННЫЕ |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
∫ |
du |
|
= - |
1 |
|
+ C ; |
|
|
|||||||
u2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||||
г) |
|
du |
|
= 2 |
|
+ C ; |
|
|
||||||||
∫ |
|
u |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
u |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.∫ duu = ln u + C ;
4.∫sin u du = - cos u + C ;
5.∫cos u du = sin u + C ;
6.∫ tg u du = - ln cos u + C ;
7.∫ctg u du = ln sin u + C ;
8. |
∫ |
du |
|
= ln |
|
tg |
u |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|||||
sin u |
|
|
|
|
|
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
du |
= ln |
|
p |
+ |
u |
|
|
+ C ; |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
9. |
∫ |
|
|
|
tg |
|
|
|
|||||||||||
cos u |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
∫ |
du |
|
= tg u + C ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
cos2 u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11. ∫ |
du |
|
= - ctg u + C ; |
|
|
|
|
||||||||||||
sin2 u |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
12. |
∫eu du = eu + C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13. |
∫ au du = |
au |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
14. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= arcsin |
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a2 - u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
u + |
|
u2 ± a2 |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
u2 ± a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
16. |
∫ |
|
du |
|
= |
|
arctg |
|
u |
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
u |
2 + a2 |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
du |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
u - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СОДЕРЖАЩИЕ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
17. |
∫ |
|
|
|
|
= |
|
ln |
|
|
|
|
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«u2», «а2» |
||||||||||||||||||||
u2 - a2 |
|
2a |
u + a |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
du = |
u |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
arcsin |
u |
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
∫ |
a2 - u2 |
|
|
a2 - u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
19. |
∫ |
a |
|
+ u |
|
|
|
|
|
du |
= |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
+ u |
|
|
+ |
|
|
|
|
ln u + |
|
|
a |
|
+ u |
|
|
|
|
+ C ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
du = |
u |
|
|
|
|
|
|
- |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
∫ |
u2 - a2 |
|
|
|
|
u2 - a2 |
|
|
ln |
u + |
u2 - a2 |
|
|
|
+ C ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21.∫sh u du = ch u + C ;
22.∫ch u du = sh u + C ;
23. |
∫ |
du |
|
|
= - cth u + C ; |
|
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ |
|
2 |
|
|||||||
|
|
sh |
|
u |
|
|
||
24. |
∫ |
du |
|
|
= th u + C . |
|
|
|
ch |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
u |
|
|
||||
|
|
|
|
|
О сно вн ы е м ет оды инт егр иро в ани я
I. Непосредственное интегрирование
Интегрирование выполняется с помощью таблиц, тождественных преобразований по- дынтегральных функций, свойств неопределенного интеграла.
II. Метод поднесения под знак дифференциала
Основан на свойстве 6 (инвариантности неопределенного интеграла); свойство 6:
если ∫ f (x) dx = F (x) + C , то ∫ f (u)du = F (u) + C , где u = ϕ(x) .
Функция подносится под знак дифференциала по правилу: под знаком дифференциа- ла записывается ее первообразная
f ( x) dx = dF ( x) .
III. Интегрирование заменой переменной
С помощью замены переменной x = ϕ(t) приводят интеграл к табличному или более простому ∫ f ( x) dx = ∫ f (j(t ))×j¢(t ) dt .
IV. Метод интегрирования по частям
∫u dv = uv - ∫v du .
Чаще всего применяется, когда f ( x) есть произведение разного класса функций, со-
держит логарифмы, иррациональные выражения или «аркфункции».
10