14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды
.pdfМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»
Ф. Ф. ЯСКО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ
Учебно-методический комплекс для студентов технических специальностей
Новополоцк
ПГУ
2008
УДК 51(075.8) ББК 22.1я73
Я81
Рекомендовано к изданию научно-методической комиссией радиотехнического факультета в качестве учебно-методического комплекса (протокол № 3 от 25.03.08)
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
канд. физ.-мат. наук, доц., декан математического факультета УО «Витебский государственный педагогический университет им. П. М. Машерова» Н. Е. БОЛЬШАКОВ;
д-р физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики УО «Полоцкий государственный университет» Э. М. ПАЛЬЧИК;
канд. пед. наук, доц. каф. высшей математики УО «Полоцкий государственный университет» В. С. ВАКУЛЬЧИК
Яско, Ф.Ф.
Я81 Дифференциальные уравнения. Ряды : учеб.-метод. комплекс для студентов техн. спец. / Ф. Ф. Яско. – Новополоцк : ПГУ, 2008. – 324 с.
ISBN 978-985-418-762-4.
Изложены теоретические основы двух разделов курса высшей математики для студентов технических специальностей: «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»; спроектированы основные этапы практических занятий; предложено соответствующее дидактическое обеспечение: графические схемы, информа- ционные таблицы, обучающие задачи, трехуровневые тесты, вопросы к экза- мену, глоссарий. Приведены примеры решения прикладных задач.
Предназначен для студентов и преподавателей технических специально- стей высших учебных заведений.
|
УДК 51(075.8) |
|
ББК 22.1я73 |
ISBN 978-985-418-762-4 |
Яско Ф. Ф., 2008 |
|
УО «Полоцкий государственный университет», 2008 |
2
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение ................................................................................................................................................ |
5 |
|
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 9. «Дифференциальные уравнения» ............................................................. |
9 |
|
Введение ................................................................................................................................................ |
9 |
|
Дидактические цели обучения ............................................................................................................ |
9 |
|
Учебно-методическая карта модуля ................................................................................................. |
10 |
|
Графическая схема модуля ................................................................................................................ |
11 |
|
Информационная таблица «Дифференциальные уравнения» ........................................................ |
12 |
|
Краткое содержание теоретического материала ............................................................................. |
14 |
|
|
9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ............................... |
14 |
|
9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ............................................... |
17 |
|
9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши ........................................ |
19 |
|
9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными |
|
|
и разделяющимися переменными ................................................................................................ |
22 |
|
9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним ................................ |
24 |
|
9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка .............................................. |
28 |
|
9.7. Уравнение Бернулли .............................................................................................................. |
32 |
|
9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах .............................................. |
34 |
|
9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка .................................. |
37 |
|
9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений .................. |
39 |
|
9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. |
|
|
Понятие общего и частного решений .......................................................................................... |
41 |
|
9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка ............................... |
42 |
|
9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений ........... |
46 |
|
9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков .......................................... |
47 |
|
9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. |
|
|
Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений ........ |
48 |
|
9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения |
|
|
с постоянными коэффициентами ................................................................................................. |
51 |
|
9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации |
|
|
произвольных постоянных ........................................................................................................... |
55 |
|
9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения |
|
|
с постоянными коэффициентами ................................................................................................. |
58 |
|
9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных |
|
|
уравнений с постоянными коэффициентами .............................................................................. |
64 |
|
Вопросы к экзамену по модулю 9 ................................................................................................ |
70 |
Методические указания к проведению практических занятий ...................................................... |
71 |
|
Учебно-информационный блок для проведения практических занятий ...................................... |
71 |
|
Основная и дополнительная литература .......................................................................................... |
72 |
|
I. |
Основные понятия теории дифференциальных уравнений. |
|
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ............................................... |
73 |
II.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
и приводящиеся к ним ....................................................................................................................... |
77 |
|
III. |
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка |
|
и уравнение Бернулли ........................................................................................................................ |
81 |
|
IV. |
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Решение задач |
|
прикладного содержания ................................................................................................................... |
85 |
|
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Дифференциальные уравнения |
|
|
первого порядка» ................................................................................................................................ |
89 |
|
V. |
Дифференциальные уравнения высших порядков, |
|
допускающие понижение порядка .................................................................................................. |
113 |
|
VI. |
Линейные однородные дифференциальные уравнения |
|
с постоянными коэффициентами .................................................................................................... |
118 |
3
VII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения |
|
|
с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных ....................... |
121 |
|
VIII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения |
|
|
с постоянными коэффициентами и специальной правой частью ................................................ |
127 |
|
IX. Решение систем дифференциальных уравнений ................................................................ |
134 |
|
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Дифференциальные уравнения |
|
|
высших порядков» ............................................................................................................................ |
138 |
|
Глоссарий .......................................................................................................................................... |
180 |
|
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 10. «Ряды» ................................................................................................... |
186 |
|
Введение ............................................................................................................................................ |
186 |
|
Дидактические цели обучения ........................................................................................................ |
186 |
|
Учебно-методическая карта модуля ............................................................................................... |
187 |
|
Графическая схема модуля .............................................................................................................. |
188 |
|
Информационная таблица «Ряды» .................................................................................................. |
189 |
|
Краткое содержание теоретического материала ........................................................................... |
191 |
|
|
10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда ..................................................................... |
191 |
|
10.2. Простейшие свойства числовых рядов ............................................................................ |
193 |
|
10.3. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд ....................................... |
194 |
|
10.4. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения ................................................. |
196 |
|
10.5. Признаки Даламбера и Коши ............................................................................................ |
199 |
|
10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница ............................................................... |
203 |
|
10.7. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды ................................ |
205 |
|
10.8. Функциональные ряды. Область сходимости ................................................................. |
207 |
|
10.9. Степенные ряды. Теорема Абеля. |
|
|
Интервал и радиус сходимости степенных рядов .................................................................... |
209 |
|
10.10. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов ........................................... |
214 |
|
10.11. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора ............... |
215 |
|
10.12. Разложение по степеням х функций ex , sin x, cos x, (1 + x)m ................................... |
216 |
|
10.13. Приложение рядов к приближенным вычислениям ..................................................... |
220 |
|
10.14. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье ............................................................................... |
224 |
|
10.15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций ................................................ |
228 |
|
10.16. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на [−ℓ, ℓ] ............................................... |
230 |
|
10.17. О разложении в ряд Фурье непериодических функций ............................................... |
232 |
Вопросы к экзамену по модулю 10 ................................................................................................. |
233 |
|
Методические указания к проведению практических занятий .................................................... |
234 |
|
Учебно-информационный блок для проведения практических занятий .................................... |
234 |
|
Основная и дополнительная литература ........................................................................................ |
235 |
|
I. |
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда ......................................................................... |
236 |
II.Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными членами.
Теоремы сравнения .......................................................................................................................... |
240 |
|
III. |
Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки Коши ................................ |
243 |
IV. |
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная |
|
и условная сходимость ..................................................................................................................... |
246 |
|
V. |
Степенные ряды. Нахождение радиуса и интервала сходимости ..................................... |
250 |
VI. |
Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения ..................................................................... |
254 |
VII. |
Контрольная работа по теме «Ряды» .................................................................................... |
260 |
VIII. |
Разложение функций в ряд Фурье, заданных на [– π, π] .................................................... |
261 |
IX. |
Разложение функций в ряд Фурье, заданных на [−ℓ, ℓ] ..................................................... |
264 |
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Ряды» .................................................................... |
268 |
|
Глоссарий .......................................................................................................................................... |
318 |
|
Используемая литература ................................................................................................................ |
322 |
4
ВВЕДЕНИЕ
Данный учебно-методический комплекс (УМК) является частью се- рии учебно-методических пособий, разрабатываемых кафедрой высшей математики УО «ПГУ» по курсу «Высшая математика» для студентов тех- нических специальностей под руководством кандидата педагогических на- ук, доцента В.С. Вакульчик. Теоретические и дидактические принципы разработки таких пособий изложены в нулевом учебном модуле [5].
В предлагаемом УМК, графическая схема которого представлена на рис. 1, автором предпринята попытка спроектировать процесс обучения математике как систему целей, содержания, форм, методов и средств обу- чения, обеспечивающих в своем взаимодействии организацию познава- тельной деятельности с учетом дифференциации студенческой аудитории. Дидактическую основу УМК составляет дифференцированный и деятель- ностный подход к обучению математике, а также дидактические принципы научности, системности, доступности. В применении к математике мы ру- ководствуемся сформулированным А.А. Столяром исходным положением теории обучения математике: «Обучение математике есть дидактически целесообразное сочетание обучения математическим знаниям и математи- ческой деятельности». Под дифференцированным подходом к обучению математике понимается такая его организация, при которой каждый сту- дент, овладевая некоторым минимумом математических знаний и их прак- тических приложений, получает право и возможность расширять и углуб- лять свои математические знания на более высоких уровнях усвоения. От- дельное внимание необходимо обратить на наличие в УМК таких дидакти- ческих средств как графические схемы, информационные таблицы, глосса- рий, обобщенные планы, алгоритмические указания, алгоритмическое вы- деление этапов познавательной деятельности, которые позволяют органи- зовать мыслительную деятельность по переработке математической ин- формации, помогают обучающемуся в логической организации, структу- рировании, систематизации математических знаний. Поскольку УМК предназначен для студентов нематематических специальностей, то он име- ет прикладную направленность, содержит практические задачи, решение которых требует моделирования с помощью изучаемого математического аппарата. УМК содержит в себе возможности самоконтроля, а также уров- невого контроля знаний. Студенты, работающие на I уровне сложности, потенциально могут претендовать на получение на экзамене оценки «4» – «5»; работающие на II уровне – оценки «6» – «8»; работающие на III уров-
5
не – оценки «9» – «10». Информационное поле УМК позволяет студенту выбирать свою траекторию обучения в каждом модуле. Трехуровневая тестовая среда УМК создает условия для перехода студентов от заданий, требующих воспроизводящей мыслительной деятельности к заданиям, тре- бующим познавательной деятельности преобразующе-воспроизводящего или творческого характера.
Считаем необходимым еще раз привести методические рекоменда- ции работы в информационном поле модуля, изложенные в нулевом учеб- ном модуле [5].
В самом общем виде процесс познания новой информации состоит из следующих этапов: первичное восприятие → изучение основных ее элементов → углубление, обобщение, систематизация полученной инфор- мации → включение познанного нового знания в систему имеющихся представлений, знаний, мировоззрения в целом. Исходя из этих психолого- методологических соображений, предлагается следующая последователь- ность этапов работы в информационном поле модуля.
0.С помощью методической карты изучить содержание разделов лекционного материала.
1.Вход в модуль целесообразно осуществить с помощью графиче- ской схемы и информационной таблицы. Граф-схема и информационная таблица определенного раздела математики представляют собой макси- мально сжатый, компактно составленный справочный материал. Справоч- ный материал информационной таблицы раскрывает основные блоки гра- фической схемы рассматриваемого раздела.
Предложенные методические средства помогают при изучении но- вой информации увязать различные понятия, теоремы, формулы в единое целое; позволяют проследить логику построения теорий; служат эффек- тивному прохождению всех этапов восприятия, усвоения, обобщения, сис- тематизации, и в конечном итоге, логической организации новой инфор- мации. Структурированная наглядность содержания представленной ин- формации облегчает ее усвоение за счет целостности представления и вос- приятия изучаемого объекта, направляет избирательность внимания и па- мяти. Все это способствует более глубокому уровню усвоения предмета, помогает находить главное и производное в изучаемом материале, анали- зировать его, учит рационально работать с новой информацией любого со- держания.
2.Изучение теоретической части модуля следует начинать с бегло- го чтения всей информации. На втором этапе этой познавательной дея-
6
тельности рекомендуется проработать каждый раздел, отдельные фрагмен- ты при этом разумно параллельно проделать своей рукой. На третьем эта- пе, просмотрев еще раз графическую схему, отработав основные положе- ния теоретической части модуля с помощью информационной таблицы, целесообразно прочитать еще раз весь теоретический материал с целью его целостного восприятия, большей систематизации, логической организации
иобобщения.
3.Практическая часть модуля представляет собой методически спроектированные практические занятия. Отметим, что они содержат как методические рекомендации преподавателям, так и методические реко- мендации студентам. В этой связи, обратим внимание на наличие обучаю- щих задач, решение вариантов аудиторных и внеаудиторных контрольных работ. Все это дополняет задачи и примеры, приведенные в теоретической части модуля, и создает предпосылки для овладения соответствующим ма- тематическим аппаратом, по крайней мере, на уровне воспроизводящей познавательной деятельности, позволяет освоить обучающемуся практиче- скую часть информации модуля либо самостоятельно, либо под руково- дством преподавателя.
4.На выходе из модуля следует еще раз провести обобщение, сис- тематизацию полученных знаний путем повторного изучения графической схемы, информационной таблицы, глоссария и выводов. Кроме того, прак- тическая часть содержит в себе возможности для проведения контроля и самоконтроля результатов обучения: тесты трех уровней сложности с от- ветами. Поэтому на выходе из модуля рекомендуется, как минимум, вы- полнить тест первого уровня сложности. Тесты первого уровня сложности рекомендуется выполнить и непосредственно при подготовке к экзамену, зачету либо коллоквиуму.
Желаем успехов!
7
8
Учебно-методический комплекс «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ»
|
|
|
|
|
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ОБУЧЕНИЯ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Дидакти- |
|
|
Модуль- |
|
|
Уров- |
||||||||
|
|
ческие |
|
|
|
ное по- |
|
|
невый |
||||||
|
средства |
|
|
строение |
|
|
кон- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
курса |
|
|
троль |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Обобщен- |
|
||||||||
схемы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ные планы |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ин- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
форма- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
цион- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Обучающие |
|
|
|
||||||||
|
|
ные |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
задачи |
|
|
|
|
||||||
|
|
табли- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
цы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Диф- фе- ренци рован- ный под- ход
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обучение математиче- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ским знаниям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДИДАКТИЧЕСКАЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ц |
|
|
Обучение математической |
||||||||||||
|
|
|
|
ОСНОВА |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деятельности, формирова- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
ние математических на- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выков и умений |
|
|
|
Дея- |
|
|
|
Ди- |
|
|
При- |
|
Л |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
тель- |
|
|
дакти- |
|
|
клад- |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Организация и управление |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ност- |
|
|
ческие |
|
|
ная |
|
И |
|
|
самостоятельной познава- |
||||||||
|
|
|
|
прин- |
|
направ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
ный |
|
|
|
|
|
|
|
|
тельной деятельности |
||||||||||
|
|
под- |
|
|
ципы |
|
|
лен- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ход |
|
|
|
|
|
|
|
ность |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формирование познава- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельной самостоятельности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
С |
|
Ц |
|
|
Д |
|
|
Раз- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а |
|
|
и |
|
е |
|
|
о |
|
|
ви- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
у |
|
|
с |
|
л |
|
|
с |
|
|
ваю |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
т |
|
|
щей |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ч |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
с |
|
|
у |
|
|
дея- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
н |
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
о |
|
|
м |
|
т |
|
|
п |
|
|
тель |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
н |
|
|
н |
|
|
нос- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
с |
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
т |
|
|
о |
|
о |
|
|
о |
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
с |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
и |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
т |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
и |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 9 « ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
Введение
В данном учебном модуле рассматриваются дифференциальные уравнения первого, второго и высшего порядка, методы их решения, а также системы дифференциальных уравнений и методы решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К каждо- му виду дифференциальных уравнений приводятся прикладные задачи (как правило, одна задача геометрическая, вторая – техническая). Форму- лируются и решаются задача Коши и краевая задача. Приведены тесты трех уровней сложности с ответами.
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
|
Студент должен знать |
Студент должен уметь |
− основные правила решения приклад- |
− строить модели прикладных задач с при- |
|
ных задач с получением дифференци- |
менением дифференциальных уравнений; |
|
альных уравнений; |
− решать дифференциальные уравнения с |
|
− |
основные определения, связанные с |
разделенными и разделяющимися пере- |
понятием дифференциальных уравне- |
менными и приводящиеся к ним; |
|
ний 1-го порядка; |
− решать однородные дифференциальные |
|
− |
формулировку задачи Коши; |
уравнения 1-го порядка и приводящиеся |
− |
дифференциальные уравнения 1-го |
к ним; |
порядка, допускающие интегрирование; |
− решать линейные дифференциальные |
|
− основные понятия, связанные с диф- |
уравнения 1-го порядка и уравнения Бер- |
|
ференциальными уравнениями высших |
нулли; |
|
порядков, задачу Коши; |
− решать дифференциальные уравнения в |
|
− |
линейные однородные дифференци- |
полных дифференциалах; |
альные уравнения высших порядков, |
− решать дифференциальные уравнения |
|
свойства их решений, определитель |
высших порядков, допускающие пониже- |
|
Вронского, условия линейной незави- |
ние порядка; |
|
симости решений, структуру общего |
− решать линейные однородные диффе- |
|
решения; |
ренциальные уравнения высших порядков |
|
− структуру общего решения линей- |
с постоянными коэффициентами; |
|
ных неоднородных дифференциальных |
− находить частное решение линейного |
|
уравнений высших порядков, метод ва- |
неоднородного уравнения методом вариа- |
|
риации произвольных постоянных на- |
ции произвольных постоянных; |
|
хождения частного решения; |
− решать линейные неоднородные диффе- |
|
− |
системы дифференциальных уравне- |
ренциальные уравнения высших порядков |
ний, формулировку задачи Коши; |
с постоянными коэффициентами со специ- |
|
− методы решения систем дифферен- |
альной правой частью; |
|
циальных уравнений с постоянными |
− решать системы дифференциальных |
|
коэффициентами |
уравнений |
9
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ
|
Номер |
Методи- |
Формы |
|
Название вопросов, которые изучаются на лекции |
практи- |
ческие |
контро- |
|
|
ческого |
пособия |
ля |
|
|
занятия |
|
знаний |
|
1. Физические задачи, приводящие к диф- |
|
|
|
|
ференциальным уравнениям. Основные по- |
|
6, 5, 7, |
ПЛ, |
|
нятия теории дифференциальных уравнений. |
I |
|||
8 |
ВДЗ |
|||
Задача Коши. Дифференциальные уравнения |
|
|||
|
|
|
||
с разделяющимися переменными |
|
|
|
|
2. Дифференциальные уравнения 1-го по- |
|
|
|
|
рядка: однородные и приводящиеся к одно- |
II |
3, 8, 9, |
ПДЗ, |
|
родным |
||||
6 |
ВДЗ |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
3. Линейные уравнения, уравнения Бернул- |
|
|
ПЛ, |
|
ли, уравнения в полных дифференциалах. |
|
3, 8, 9, |
||
III, IV |
ПДЗ, |
|||
Модели прикладных задач с применением |
6,10 |
|||
|
тест |
|||
дифференциальных уравнений |
|
|
||
|
|
|
||
4. Дифференциальные уравнения высших |
|
|
|
|
порядков. Задача Коши. Понятие общего и |
V |
5, 8, 9 |
ПЛ, |
|
частного решений. Уравнения, допускающие |
ВДЗ |
|||
|
|
|||
понижение порядка |
|
|
|
|
5. Линейные дифференциальные уравнения |
|
|
|
|
высших порядков. Линейные однородные |
|
|
|
|
дифференциальные уравнения, свойства их |
|
|
|
|
решений. Определитель Вронского. Условия |
VI |
5, 6, 8, |
ПДЗ, |
|
линейной зависимости и независимости ре- |
9 |
ВДЗ |
||
|
||||
шений. Линейные однородные дифференци- |
|
|
|
|
альные уравнения с постоянными коэффи- |
|
|
|
|
циентами |
|
|
|
|
6. Линейные неоднородные дифференци- |
|
|
ПЛ, |
|
альные уравнения с постоянными коэффи- |
VII, |
5, 6, 8, |
||
ПДЗ, |
||||
циентами. Метод Лагранжа вариации произ- |
VIII |
9 |
||
ВДЗ |
||||
вольных постоянных |
|
|
||
|
|
|
||
7. Системы дифференциальных уравнений. |
|
5, 6, 8, |
|
|
Решение систем дифференциальных уравне- |
IX |
тест |
||
9, 10 |
||||
ний с постоянными коэффициентами |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
Перечень тем практических занятий приведен в практической части модуля.
10