14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

функции одной переменой, непрерывной на отрезке.

Сформулируем некоторые из этих свойств.

1. Если функция

z = f (M )

непрерывна на замкнутом ограниченном

множестве

D, то она ограничена на нем и достигает в некоторых точках

M1 Î D и

M 2 Î D своих точных верхней и нижней граней.

2. Если функция

z = f (M )

непрерывна на замкнутом связном огра-

ниченном множестве D, то она принимает на нем все промежуточные зна-

чения.

3. Если функция

z = f (M )

непрерывна в точке M 0 Î D , то сущест-

вует окрестность точки M 0 , в которой данная функция ограничена.

4. Если функция непрерывна в точке

M0 , причем

f (M0 ) ¹ 0 , то су-

ществует окрестность точки M0 , в которой знак

f (M )

совпадает со зна-

ком f (M0 ) .

5. Если функции

f (M ) и

g(M ) определены на множестве D и не-

прерывны в точке

M0 , тогда:

а) f (M ) ± g(M ) непрерывна в точке

M0 ;

б)

f (M ) × g(M ) непрерывна в точке

M0 ;

в)

f (M )

непрерывна в точке M0 , при g(M 0 ) ¹ 0 .

g(M )

Пусть z = f (x, y) –

функция

двух

независимых переменных и

D( f ) – область

ее

определения.

Выбираем

произвольную

точку

M 0 (x0 , y0 ) Î D( f )

и дадим

x0 приращение

x , а

y0 оставим без измене-

ния. Тогда данная функция f(x,y)

получит приращение

Dx z = f (x0 + Dx, y0 ) - f (x0 , y0 ) ,

которое называется частным приращением функции

z = f (x, y)

по пе-

ременой x в точке

M0 (x0 , y0 ) .

Таким же образом, считая

x0 постоянной и придавая

y0 прираще-

ние y , получим частное приращение функции z = f (x, y)

по переменой

y в точке

M0 (x0 , y0 )

Dy z = f (x0 , y0 + Dy) - f (x0 , y0 ) .

Полным приращением функции

z = f (x, y)

в точке

M0 (x0 , y0 ) на-

зывается функция

Dz = Df (x0 , y0 ) = f (x0 + Dx, y0 + Dy) - f (x0 , y0 ) .

Геометрически

частные

и

полное

приращение

функции

Dx z, Dy z,

Dz – это отрезки (рис. 1).

z

x z

B1

B3

z

A1

A3

0

A0

A2

M

y

x

x

M 0

y

Рис. 1

Пример 2. Найти частные и полное приращение функции z = x + y 2

в точке M 0 (2,1) , если

x = −0,1,

y = 0,2 .

Решение. По определению частных и полного приращения функции

в точке M0 (x0 , y0 )

имеем:

x

z = f (x + x, y ) − f (x , y ) = (x +

x) + y2

− x

− y2 =

x;

x

z = −0,1;

0

0

0

0

0

0

0

0

D

y

z = f (x , y

0

+ Dy) - f (x , y

0

) = x + ( y + Dy)2 - x - y

2

=

0

0

0

0

0

0

= ( y0 + Dy)2 - y02 = ( y0 + Dy - y0 ) × ( y0 + Dy + y0 ) = Dy × (2 y0 + Dy)

Dy z = 0,2 × (2 ×1 + 0,2) = 0, 2 × 2, 2 = 0, 44

Dy z = 0, 44

нее вводятся частные и полные приращения

xw, y w,

z w и w в

точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) :

xw = f (x0 + x, y0 , z0 ) − f (x0 , y0 , z0 )

y w = f (x0 , y0 + y, z0 ) − f (x0 , y0 , z0 )

z w = f (x0 , y0 , z0 + z) − f (x0 , y0 , z0 )

w = f (x0 + x, y0 + y, z0 + z) − f (x0 , y0 , z0 ) .

Аналогично определяются частные и полное приращения функции n

независимых переменных.

Замечание 1. Определение непрерывности функции нескольких пе-

ременных можно следующим образом: функция

z = f (x, y)

непрерывна в

точке M0 (x0 , y0 ) , если

lim = f (lim M ) = f (M 0 ) , что равносильно:

M →M 0

M →M0

"e > 0

$dε > 0

"M Î D,

r(M , M0 ) < dε

f (M ) - f (M 0 )

< e.

Замечание 2. Определение

непрерывности функции нескольких пере-

ке М. Функция z = f (x, y) непрерывна в точке M

(x , y ) , если lim z = 0 .

0

0

0

x→0

y→0

Замечание 3. Функция z = f (x, y)

называется непрерывной в точке

M 0 (x0 , y0 ) по переменой x, если

lim

x z = 0 . Аналогично определяется

x→0

непрерывность по любой переменой для функции

n

независимых пере-

менных. Отметим, что имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Если функция z = f (x1, x2 ,..., xn )

определена в точке М

и некоторой ее окрестности и непрерывна в точке

М,

то она непрерывна в

этой точке на каждой переменной.

Заметим, что обратное утверждение неверно.

Пример 3. Доказать, что функция

xy

,

x2 + y2 ¹ 0

+ y2

f (x, y) = x2

x2 + y2 = 0

0,

непрерывна в точке О(0, 0) по каждой переменой x

и y, но не является

непрерывной как функция двух переменных.

x z = f ( x,0) − f (0,0) = 0 − 0 = 0 .

lim

x z → 0 , а это значит, что f(x,y) непрерывна в точке

О(0, 0) по

x→0

переменой x.

2) Найдем частное приращение по y функции f(x,y) в точке О(0,0)

y z = f (0,

y) − f (0,0) = 0 − 0 = 0 .

А lim

y z = 0 , а это значит, что f(x,y) непрерывна в точке

О(0,0) по

y →0

переменой y.

3) Докажем, что функция

z = f (x, y) не является непрерывной в

xy

точке О(0,0). Для этого найдем lim

. Если точка M(x, y) стремит-

x→0 x

2 + y 2

y→0

ся к точке О(0, 0) по прямой

y = kx , тогда получим, что

xy

kx 2

k

lim

= lim

=

.

x→0 x 2 + y 2

x→0 x

2

+ k 2 + x 2

1 + k 2

y→0

Следовательно, для различных

k получают разные предельные зна-

Замечание. При решении данной

задачи непрерывность функции

f(x,y) по переменным x и y

можно установить следующим образом: рас-

смотрим функцию f(x,y) при

y = 0 , т.е.

f (x,0) , но так как f (x,0) = 0 для

Отношения:

z

=

f (x + x, y ) − f (x , y )

y z

=

f (x , y + y) − f (x , y )

x

0

0

0 0

;

0 0

0 0

x

y

y

x

определяют

среднюю

скорость изменения

функции

z = f (x, y) в точке

M0

(x0

, y0 ) в направлении изменения независимых переменных x и y соответ-

ственно, от точки M0 (x0 , y0 ) до точки M 0 (x0 + x, y0 ) и M 0 (x0 , y0 +

y) .

Частной производной функции z = f (x, y) по переменой x в точке

M0

(x0

, y0 ) называется предел отношения частного приращения функции

x z к соответствующему отношению приращения аргумента

x , когда

∂z (M

0

) = lim

f (x0 + x, y0 ) − f (x0 , y0 )

.

∂x

x→0

x

Частная производная по переменой

y определяется аналогично, как

и для переменой x, т.е.

∂z (M

0 ) = lim

f (x0 , y0 +

y) − f (x0 , y0 )

.

∂y

y →0

y

точке М(1, 2) имеем

∂z

(M

0

) = lim

f (x0 +

x, y0 ) − f (x0 , y0 )

=

∂y

x →0

x

= lim

(1 +

x)2 + 22 − (12 + 22 )

= lim

x(2 + x) = 2.

x →0

x

x →0

x

Таким образом

∂z (M ) = 2 .

¶x

Частная производная по переменой y:

¶z

(M ) = lim

f (x0 , y0 +

y) − f (x0 , y0 )

=

¶y

y →0

Dy

1 + (2 + Dy)2 -1 - 22

Dy × (4 + Dy)

= lim

=

lim

= 4.

Dy

y →0

Dy

y →0

Таким образом

∂z

(M ) = 4 .

¶y

∂z =

x

;

∂z

=

y

.

x2 + y2

¶x

x2 + y2

¶y

Эти формулы теряют смысл в точке

(0,0). Выясним, имеет ли част-

ные производные данная функция в точке

(0, 0). По определению частной

производной по переменой

x

для точки (0, 0) имеем

zx¢(0,0) = lim

f (0 + Dx) - f (0,0)

= lim

Dx2

= lim

Dx

.

Dx

x→0

Dx

x→0

x→0

Dx

∂f

∂f

∂f

∂x

(M ),

∂y (M ),

∂z (M ) – это скорость изменения функции в точке

М в направлении оси Ox, Oy и Oz соответственно.

Геометрический смысл частных производных функции двух неза-

висимых переменных.

Пусть задана функция

z = f (x, y) . Выясним геометрический смысл

частной

∂z

функции

z = f (x, y) . График функции z = f (x, y) – это не-

∂x

которая поверхность Q в

R3 . Пусть точка P (x , y ) D( f ) , на этой по-

0

0

0

ной функции плоскостью

y = y0 – получим кривую z = f (x , y0 ) (рис. 1).

z

B

M 0

А

y = y0

у

x

α

P0

Рис. 29

Это кривая AM 0 B , которая есть график функции одной переменной

z = f (x , y0 ) в плоскости

y = y0 .Тогда по геометрическому смыслу произ-

водной функции одной переменой значение частной производной

∂z

∂x

функции z = f (x, y) в точке P0 (x0 , y0 )

равно численно тангенсу угла α ,

веденной в

точке

M 0 (x0 , y0 , z0 ) к линии

пересечения поверхности

z = f (x, y0 )

и плоскости y = y0 . (рис. 1). Аналогичная геометрическая

интерпретация частной производной функции

z = f (x, y) по y (рис. 2).

x

M 0

Понятие «дифференцируемость функции»

y = f(x) одной переменой

было определено следующим образом: функция

y = f (x) называется диф-

ференцируемой в точке x0 , если приращение функции в точке

x0

можно

представить в виде

Df (x0 ) = f (x0 + Dx) - f (x0 ) = A(x0 ) × Dx + a(Dx) × Dx ,

где

α( x) → 0

при x → 0 .

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функ-

ции

y = f (x) в точке x0 является существование производной в точке x0

f ¢(x ) = lim

f (x0 ) = A(x ) .

0

Dx

0

x→0

Введем понятие дифференцируемости для функции двух перемен-

ных z = f (x, y) .

Функция

z = f (x, y) называется дифференцируемой

в

точке

Dz = f (x0 + Dx, y0 + Dy) - f (x0 , y0 ) =

= A(x0 , y0 )Dx + B(x0 , y0 )Dy + a × Dx + b × Dy ,

(1)

Решение. Полное приращение функции в любой точке

M (x, y) R2

имеет вид

Dz = f (x + Dx, y + Dy) - f (x, y) = (x + Dx)2 ( y + Dy) - x2 y =

= (x2 + 2xDx + (Dx)2 )( y + Dy) - x2 y = x2 y + 2x × yDx + y(Dx)2 + x2Dy +

+2xDx × Dy + Dy × (Dx)2 - x2 y = 2xy × Dx + x2 Dy +

+( y + Dy) × (Dx) × Dx + 2x × Dx × Dy = A(x, y) × Dx + B(x, y) × Dy + a × Dx + b × Dy,

где A(x, y) = 2xy;

B = x2; a = ( y + Dy) × Dx; b = 2x × Dx .

Отметим, что А и

В в фиксированной точке M0 (x0 , y0 ) – постоян-

ные числа, а

α и

b ® 0

при Dx и Dy ® 0 .

Это значит,

что данная функция дифференцируема в любой точке

M Î R2 .

В равенстве

(1) выражение A × Dx + B × Dy – линейное относительно

Dx и Dy

называют главной частью полного приращения функции,

а

выражение

a × Dx + b × Dy

– является бесконечно малой при

Dx ® 0

и

Dy ® 0 .

Доказательство. Так как функция

z = f (x, y) дифференцируема в

точке M0 (x0 , y0 ) , то полное приращение

z в этой точке имеет вид

Dz = A × Dx + B × D + a × Dx + b × Dy,

(2)

где А и В –

некоторые числа, не зависящие от Dx и

Dy ;

α и b

® 0 при Dx и Dy ® 0 .

lim Dz = lim ( A × Dx + B × Dy + a × Dx + b × Dy) = 0

x→0

x→0

y→0

y→0

Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке

M0 (x0 , y0 ) , то она

имеет частные производные, причем ∂f (M 0 ) = A,

∂f

(M 0 ) = B .

∂x

∂y

Доказательство. Так как функция

z = f (x, y)

дифференцируема в

точке M0 (x0 , y0 ) , то ее полное приращение представимо в виде

Dz = a(x0 , y0 )Dx + B(x0 , y0 )Dy + a × Dx + b× Dy .

(1)

Полагая в формуле (1)

y = 0 , получим Dx z = A × Dx + a × Dx .

Разделим последнее равенство на

x и, переходя к пределу в полу-

ченном равенстве при x → 0 ,

получим