Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

4.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3623 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Откуда, согласно формуле Ньютона-Лейбница, интеграл будет иметь вид

∫d (uv) = uv|ba ,

тогда имеем

b	\|a	b
∫	\|a	∫	vdu .
	udv = uv b −		vdu .
a		a

А это и есть формула (1) – формула интегрирования по частям в оп- ределенном интеграле.

Пример 1.

Вычислить интеграл

u = arctgx;du =

1 + x2

I = ∫ x arctgxdx =

dv = x3dx;v =

(x4 −1) + 1

arctgx|

−

∫

dx =

arctgx|

−

x2 + 1

Пример 2. Вычислить интеграл:

arctgx	1	−	1	1	x4dx	=
				∫
\|		4			1 + x2
	0			0

1	[	x3	− x + arctgx]	1	=	1	.

4	3		\|		6
				0

															π2
			1												4
1.	I = ∫ xexdx ;									2.			I = ∫ sin				4dx .
			0												0
Решение.					u = x; du = dx
			1								1		1					1		1


1. I = ∫ xexdx =							x		x	= xex			− ∫exdx = x ex						− ex		= 1.
			0	dv = xe ;v = e							0			0				0		0
											0							0		0

Заметим, что выбор u и v в данном интеграле законен, т.к. функции u = x
и v = ex	непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке [0;1].
			π2															π
			π2					x = t; x = t 2 ; dx = 2tdt										π
			4					x = t; x = t 2 ; dx = 2tdt										2
	2.		I = ∫ sin			xdx =	x = 0; t = 0; x =							2		= 2 ∫t sin tdt =
			0				x = 0; t = 0; x =						π		; t = π			0
													4		2
		u = t; du = dt										π			π					π
	=							= 2					+		2


		dv = sin tdt; v = − cost								−t cost		02			∫ costdt = 2sin t					02 = 2
										−t cost		02			∫ costdt = 2sin t					02 = 2
															0

Итак			I = 2 .

221

Пример 3. Проверить справедливость равенства:

	1						3
1.	∫arcsin xdx = p -1;					2.	∫ln(x + 3)dx = 3(ln12 -1) ;
	0	2					0
	0						0
	1	p		1			a	x2dx		2
	1	p		1			a	x2dx		2
3.	∫ xarctgxdx =		-		;	4.	∫		= a		( 2	- ln(1	+ 2)) ;
		4		2
								a2 + x2
	0						−a	a2 + x2

1 arcsin x

= p

2 - 4 ;

∫

1 + x

ln(2a - x)dx

= a;

(a >

∫

) ;

−a ln(4a2 - x2 )

2 (x + sin x)dx

∫

3) ;

1 + cos x

-2

11. ∫sinm x cos(m + 2)xdx =

;

m +

13.

∫ Pn (x) × Pm (x)dx = 0, m ¹ n ;

−1

Pn2 (x)dx =

15.

∫

−1

2n +1

	4	+ tgx)dx = p ln 2 ;
6.	∫ ln(1	+ tgx)dx = p ln 2 ;
	0	8
	0
	π
	2
	2
8.	∫ ln(sin x + sin2 x		+ ecos x )dx =1;
	− π
	2
	π
	2
10. ∫ cosm x × cos(m + 2)xdx = 0 ;
	0

	π
	2		p	(-1)n−1 ;
12.	∫ cos x cos 2nxdx =		p
12.	∫ cos x cos 2nxdx =
	0		4n
	0
	1		n!
	∫ xn × Pn (x)dx =		n!
14.					;
14.					;
	−1	(2n +1)!!

Пример 4. Доказать, что если f ′′(x) непрерывная функция на отрез-

ке [ab] , то справедлива формула

∫ xf ¢¢(x)dx = (bf ¢(b) - f (b)) - (af ¢(a) - f (a)) .

Пример 5. Доказать, что если

u(n) (x) и v(n) (x) непрерывные

функции на отрезке

[ab] , то справедлива формула

(n)

(n−1)

(n−2)

(n)

∫u × v

dx = u

× v

- v

+ ... + (-1)

∫v ×u

dx .

×u

222

§7. Несобственные интегралы

Определение несобственных интегралов

При определении интеграла Римана как предела интегральной сум- мы предполагалось, что справедливы следующие условия:

1.пределы интегрирования a и b конечные числа;

2.подынтегральная функция f (x) на отрезке [a, b] непрерывна или

имеет конечное число точек разрыва первого рода.

В этом случае интегралы называют собственными. Если хотя бы од- но из условий указанных выше нарушено, то определение интеграла по Риману теряет смысл, а интегралы в этом случае называют несобственны- ми. Действительно, если пределы интегрирования бесконечные отрезки, то нельзя данный отрезок разбить на n частичных отрезков конечной длины, а если функция неограниченна на отрезке [a,b] , то интегральная сумма не имеет конечного предела. Поэтому, естественно возникает вопрос о рас- ширении понятия интеграла на случай бесконечного промежутка, а так же на случай когда подынтегральная функция является неограниченной.

Несобственные интегралы являются обобщением определенных ин- тегралов в случае бесконечных промежутков интегрирования и неограни- ченных функций.

7.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)

Пусть f (x) непрерывна на [a, ¥) , тогда f (x) будет непрерывна на любом конечном отрезке [a, b] , a < b и для нее существует определенный интеграл

I (b) = ∫ f (x)dx ,

который с геометрической точки зрения определяет площадь криволиней- ной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x) ³ 0 , прямыми x = a , x = b и осью абсцисс.

Если существует конечный предел

lim ∫ f (x)dx ,

b→+∞ a

223

то этот предел называют несобственным интегралом от непрерывной функ-

	+∞
ции f (x) на промежутке [a,+∞) и обозначают ∫ f (x)dx , а функцию		f (x)
	a
называют интегрируемой в несобственном смысле на промежутке [a, b) .
Итак, по определению, имеем
+∞	b
∫ f (x)dx =	lim ∫ f (x)dx	(1)
a	b→+∞ a

Если предел в равенстве (1) существует и он – конечное число, то не-

+∞

собственный интеграл ∫ f (x)dx является сходящимся (сходится).

Если предел (1) не существует, или равен бесконечности, то несобст-

+∞

венный интеграл ∫ f (x)dx расходится.

Аналогичным образом определяют несобственный интеграл с беско- нечным пределом интегрирования от непрерывной функции f (x) на про- межутке (−∞, b]

b		b
∫ f (x)dx =	lim	∫ f (x)dx .	(2)
−∞	a→−∞ a

Если предел в правой части равенства (2) существует и он конечный, то несобственный интеграл называют сходящимся, если предел не существует

или равен бесконечности, то несобственный интеграл –				расходящийся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегри-
рования от непрерывной функции			f (x) на промежутке ( −∞, +∞ ) обозна-
∞
чаемый ∫	f (x)dx . По определению имеем
−∞
∞	c	∞	c	b
∫	f (x)dx = ∫	f (x)dx + ∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx + lim ∫ f (x)dx . (3)
−∞	−∞	c	α→−∞ a	b→+∞ c

Причем данный несобственный интеграл называется сходящимся, если оба

предела в (3) существуют. Если хотя бы один из пределов (3) не существу-

∞

ет или бесконечен, то несобственный интеграл ∫ f (x)dx называется рас-

−∞

ходящимся.

Интегралы (1) – (3) называют также несобственными интегралами первого рода.

224

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл означает, что фигура ограничена кривой y = f (x) ( f (x) ³ 0) , осью ox и

промежутком −∞ < x < +∞ ( x [a; +∞) или x (+∞;a] ) имеет конечную площадь S . Если площадь соответствующей фигуры неограничена то со- ответствующий интеграл является расходящимся.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл:

+∞	dx				+∞		dx
1.1. ∫		;			1.2. ∫			;
	x ln2 x					2	+ 4x + 6
e					−∞ x
	+∞		dx		+∞
1.3. I (α) = ∫				;	1.4. ∫ x sin x dx .
			α
	1		x		0

Решение: 1.1. По определению имеем

+∞

∫

d ln x

lim

∫

+ lim

∫

lim

−

lim

−

= 1.

x ln2 x

2 x

x ln

2 x

ln x

ln b

b→+∞

ln e

Таким образом, данный интеграл сходится и его величина равна 1. 1.2. При решении данного примера учитываем, что оба предела бес-

конечны, поэтому

+∞

∫

= ∫

+ ∫

+ 4x + 6

2 + 4x +

−∞ x2

−∞ x2 + 4x + 6

0 x

= lim ∫

+ lim

∫

2)2 + 32

a→−∞ a ( x + 2)2 + 32

b→+∞ 0 ( x +

= lim

arctg

x + 2

+ lim

arctg

x + 2

b =

arctg

+ π −

arctg

+ π = π .

a→−∞ 3

b→+∞ 3

6 3

Значит, данный интеграл сходится и его величина равна π .

1−α

1.3. Если a ¹ 1, тогда имеем

∫

−

1 x

1 − α

a >1, существует конечный предел

Если

lim

∫

, т.е. ис-

xα

α −

b→+∞

ходный интеграл сходится, причем I (α) =

α −1

225

Если α < 1, то интеграл будет расходящимся т.к. lim ∫ dx = +∞ .

b→+∞ 1 xα

Если α = 1, искомый интеграл также расходится т.к.

∫ dxα = ln b → +∞ при b → +∞ .

1 x

1.4. По определению имеем

+∞		b	u = x; du = dx

∫ x sin x dx =	lim	∫ x sin x dx =		=
			dv = sin x; v = − cos x
0	b→+∞	0

			b0	b		[−b cosb + sin b].
=	lim	−x cos x	b0	+ ∫cos x dx	= lim	[−b cosb + sin b].
	b→+∞			0	b→+∞

Но этот предел не существует, значит, данный интеграл расходится.

7.2. Свойства и вычисление несобственных интегралов первого рода

						b
Будем рассматривать несобственные интегралы вида				I = ∫ f (x)dx
						a
считая, что:		определена на промежутке [a;b), где
а) функция	f(x)	определена на промежутке [a;b), где		a –		конечная
точка, b – символ	±∞ ;		[a,c]
б) функция	f(x)	интегрируема по Риману на отрезке	[a,c]			при лю-
бом c [ab) .
1. Линейность несобственного интеграла I рода.
Если сходятся несобственные интегралы от функций			f(x)		и g(x) на
промежутке [a;b), то при любых m и n R на промежутке					[a;b) спра-

ведливо равенство

b	b	b
∫(mf (x) ± ng(x))dx =m∫ f (x)dx ± n∫ g(x)dx .
a	a	a
2. Формула Ньютона-Лейбница.			[a; +∞) и интегри-
Если функция	f(x) определена на промежутке		[a; +∞) и интегри-
руема в каждой его конечной части [a,c] , и для		f(x)	при этом существует

226

первообразная функция

F(x)

на всем промежутке

[a; +∞) , тогда несобст-

венный интеграл

+∞

∫ f ( f (x)dx

(1)

существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел

lim F (c) = F (+∞)

c→+∞

и тогда

+∞

f (x)dx = F (+∞) − F (a) = F (x)

a+∞ .

∫

(2)

Аналогично

+∞

−∞a ,

−∞+∞

∫ f (x)dx = F (x)

∫

f(x)dx = F (x)

−∞

-∞

Под

F (−∞)

понимают

lim F (c) .

c→−∞

Формула

(2) называют формулой Ньютона-Лейбница для несобст-

венного интеграла (1).

Пример 2. Вычислить интегралы:

+∞

arctgxdx

+∞ e−ax sin bxdx ,

∫

+ x2

∫

+∞

I3 = ∫ e−ax cosbxdx

(a > 0) ,

I4 = ∫

+ x4

0 1

+∞

I5 = ∫

sin

dx ,

I6 = ∫ sin xdx .

Решение.

Так

как

F (x) =

(arctgx)2

–

первообразная

для функции

+∞

arctgx

+∞ arctgx

π2

f (x) =

, тогда I1 = ∫

dx =

(arctgx)2

− 0 =

+ x2

1 + x 2

Для интеграла

первообразная функция

F (x) = −

a sin bx + b cosbx

e−ax ,

(a > 0) ,

a2 + b2

и F (0) = −

, и F (+∞) = 0 , то получим интеграл

a2 + b2

227

+∞

I2 = ∫

e−ax sin bxdx =

a2 + b2

3. Аналогичным образом для интеграла

I3 имеем

+∞

−ax

−ax bsin bx - a cosbx

I3 = ∫

cosbxdx = e

a2 + b2

+∞

4. I4 = ∫

0 1 + x4

+∞

1 x2

+ x

+ arctg(x

2 + 1) - arctg(x 2 -

× 2.

- x 2 +1

2 2

+∞

I5 = ∫

sin

dx = cos

=1.

+∞

I6 = ∫ sin xdx = -cos x

Но так как

lim

cos x

не существует, то данный интеграл

не

x→+∞

существует, т.е. расходится.

Интегрирование по частям.

[a; +¥)

Пусть функции

u(x),

v(x) определены на промежутке

имеют непрерывные производные на отрезке

[ac] , для любого

c Î(a;+¥) .

Если существует конечный предел

lim (u(c) × v(c)) = u(+¥) × v(+¥)

и инте-

c→+∞

+∞

грал

∫ vu¢dx сходится, то интеграл

∫ uv¢dx

сходится и справедлива фор-

+∞

мула интегрирования по частям

∫ uv¢dx = uv

a+∞ - ∫ vu¢dx .

+∞

Пример 3. Вычислить интеграл I = ∫ xe− xdx .

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим

+∞	+∞	x × (-e− x )dx = - xe− x	+∞ +	+∞	+∞	+∞
I = ∫	xe− xdx = ∫			∫	e− xdx = ∫ e− xdx = -e− x
0	0		0	0	0	0

=1.

228

		+∞
Пример 4. Вычислить интеграл I = ∫ x sin xdx .
+∞	0
+∞		0+∞ + sin x	0+∞ .
Решение. I = ∫ x sin xdx = −x cos x


0
Так как предел	sin x при x → +∞ не существует, то данный инте-
грал расходится.
4. Замена переменной.				[a; +∞), а функция
Если функция	f(x) непрерывна на промежутке			[a; +∞), а функция
x = ϕ(t) непрерывно дифференцируема на промежутке				[α,β] строго воз-

растает и удовлетворяет условию ϕ(α) = a , а lim ϕ(t) = +∞ , то справедли-

t →β

ва формула замены переменной

+∞

′

(3)

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt ,

если хотя бы один из интегралов в формуле (3) сходится.

+∞

Пример 5. Вычислить интеграл

I = ∫

(1 + x2 )

−

Решение. Полагая x = tgt,t 0;

, тогда 1 + x2 =

; (1 + x2 ) 2 = cos3 t ,

cos

+∞

а, следовательно I = ∫

= ∫ costdt = 1.

(1 + x2 )

+∞

1 + x2

Пример 6. Вычислить интеграл

I = ∫

dx .

1 + x4

Решение.

+∞

1 + x2

+∞ (1 +

)dx

∞

I = ∫

dx =

∫

x −

= t

= ∫

arctg

1 + x4

0 (x −

+ 2

−∞ t2 + 2

+∞

Пример 7. Вычислить интеграл

I = ∫

+ x4

0 1

+∞

−∞

= π . 2

229

Решение.

+∞

I = ∫

x =

= − ∫

= ∫

∫

1 + x4

+∞ t 2 (1 +

)

1 + t4

1 + x4

+∞

t 4

+∞

Таким образом, имеем

I0 = ∫

∫

+ x4

1 + x4

0 1

+∞ x2

+ 1

В примере 2 установим, что I1 = ∫

I =

+∞

1 + x2

dx =

Тогда искомый интеграл равен

∫

1 + x4

Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.

Несобственный интеграл I = ∫ f (x)dx

называется:

а)

абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

= ∫

f (x)

dx .

В этом случае говорят, что функция

f(x)

абсолютно интегрируема на про-

межутке [ab) .

б) условно сходящимся, если интеграл

I сходится, а

расходится.

В этом случае функция f(x)

условно интегрируема на промежутке [ab) .

Имеют место следующие теоремы:

Теорема 1. Если несобственный интеграл

сходится,

то интеграл

I также сходится и справедливо неравенство

∫ f (x)dx

≤ ∫

f (x)

dx .

Теорема 2. Если функция g(x)

абсолютно

интегрируема на проме-

[a,b), т.е. несобственный интеграл

жутке

I = ∫ g(x)dx

сходится, то не-

собственные интегралы:

I1 = ∫ f (x)dx

I2 = ∫( f (x) + g(x))dx

либо оба абсолютно сходятся, либо условно сходятся, либо расходятся.

230

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3623 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf