14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

Тогда

dx

x

Пример 42. Вычислить работу, которую необходимо затратить, что- бы выкачать жидкость из цилиндрической цистерны, радиус основания ра- вен R, а высота h (γ – плотность жидкости).

Решение. Разобьем объем цилиндра плоскостями, параллельными основа- нию, расстояние между которыми равно dx. Тогда объем полученного элемента объема – цилиндра будет равен

dV = πR2 dx ,

а численная величина массы – g × pR2dx .

Тогда элементарная работа dA, затраченная на поднятие этой массы, находящейся на глубине x будет равна

dA = x × gpR2 dx .

А величина работы

в течение периода Т в проводнике с сопротивлением R.

Решение. Количество тепла в единицу времени для постоянного тока оп- ределяется законом Джоуля – Ленца

Q = 0, 24I 2 R .

291

Для переменного тока элемент (дифференциал) количества тепла бу- дет равен

dQ = 0,24I 2 (t)Rdt .

Тогда

Путь, пройденный материальной точкой. Если точка движется по некоторой кривой и величина ее скорости известная функция v = f (t) вре-

мени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t1,t2 ] равен

t2

S = ∫ f (t)dt .

t1

Статистические моменты, моменты инерции и координаты центра масс плоской линии. Пусть плоская кривая АВ задана уравне-

ниями y = f (x), x Î[ab] , плотность которой ρ = ρ(x) , тогда

- масса кривой определяется по формуле

b

M = ∫r 1 + ( y¢)2 dx ;

a

- статические моменты относительно оси Ox и Oy:

292

- координаты центра масс кривой:

aи x = b; ρ – плотность. Тогда

-масса криволинейной трапеции

Теорема Гульдена.

1. Площадь поверхности, полученной от вращения дуги плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в одной плоскости с кривой и ее непересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой центром тяжести дуги кривой;

2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести фигуры.

293

§ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов

9.1. Постановка задачи

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

разная F(x), то определенный интеграл I можно вычислить по формуле Ньютона – Лейбница. Но в ряде случаев бывает невозможно найти перво- образную F(x) по ряду причин: либо F(x) не выражается через элемен- тарные функции, либо выражается достаточно сложно. В этих случаях оп- ределенный интеграл вычисляют приближенно. Здесь будут рассмотрены основные способы приближенного вычисления определенных интегралов, суть которых основана на одном и том же приеме: отрезок интегрирования разбивается на части, в соответствии с чем, криволинейная трапеция раз- бивается на сумму частичных криволинейных трапеций; каждая из по- следних заменяется достаточно близкой к ней фигурой, площадь которой может быть достаточно просто вычислена, тогда сумма площадей этих фи- гур выражает приближенно площадь искомой криволинейной трапеции, т.е. рассматриваемый определенный интеграл.

9.2. Формула прямоугольников

Будем считать в формуле (1), что f(x) непрерывна и для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f (x) ³ 0 и, выбирая в качестве фигуры, заменяющей частичную криволинейную трапецию прямоугольни- ком с тем же основанием и с какой-нибудь из восстановленных к нему ор- динат в качестве высоты, мы заменим определенный интеграл (1) соответ- ствующей интегральной суммой. Разбивая отрезок интегрирования на дос- таточно мелкие части, мы, таким образом, получим значение интеграла по определению с любой степенью точности.

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частичных отрезков точками xk

(рис. 1)

xk = a + b − a , k = 1, n − 1; n

294

y

A

y = f(x)

B

т.е. площадь криволинейной трапеции aABb приближенно равна площади ступенчатой фигуры, заштрихованной на рис. 1.

Формула (2) – формула прямоугольников. Отметим, что если суще-

295

котором приближенное вычисление определенного интеграла (1) будет выполнено с точностью, не превышающей заданную.

Если погрешность вычисления не задана, то при фиксированном n можно оценить ее по формуле (3).

9.3. Формула трапеций

Данный способ, который мы изложим, основан на замене каждой частичной криволинейной трапеции прямоугольной трапецией с теми же вершинами (рис. 2)

y

y = f(x)

A

B

Рис. 2

xk = xk − xk −1 .

Таким образом, искомый интеграл (1) заменим суммой вида

1∑n ( yk −1 + yk ) × Dxk .

2k =1

Приближенное равенство (4) называется формулой трапеций.

296

Оценим погрешность, получающуюся при вычислении интеграла по формуле трапеций.

Рассмотрим функции ψ(t) и ϕ(t) :

ψ(h) есть разность площадей криволинейной и прямоугольной трапеций.

Дифференцируя ϕ(t) и применяя теорему о конечном приращении, получим

где ςi (c − t, c + t) .

Так как ϕ(0) = ϕ(h) = 0 , то существует такое значение t = τ, τ (0; h) ,

что ϕ′(τ) = 0 , тогда для значения ςi , соответствующего этому τ , будем иметь

ψ(h) = − 2h2 f ′′(ςi ) 3

или из определения функции ϕ(t) :

297

Среднее арифметическое лежит между наибольшим и наименьшим

Отметим, что ошибка при вычислении интеграла по формуле трапе- ций убывает, по крайней мере, пропорционально квадрату длины наи- большего интервала разбиения.

Итак, абсолютная погрешность вычисления определенного интеграла по формуле трапеций не превосходит величины, которую можно оценить неравенством

9.4. Формула Симпсона

Данный способ приближенного вычисления определенных интегра- лов основан на замене частичных дуг графика подынтегральной функции не фордами (отрезками), а дугами парабол и, следовательно, замене час-

тичных криволинейных трапеций параболическими. Интервал [a,b] точ-

298

Так как

= b - a ( y0 + 4 y1 + y2 ) 6n

Выполняя аналогично интегрирование в равенстве (5) и просумми- ровав, получим

Это формула Симпсона или формула парабол.

Оценка погрешности, получающаяся при вычислении интеграла по формуле Симпсона, может быть получена аналогично, как и для формулы

299

трапеций с учетом некоторых особенностей. Предполагается, что сущест-

Суммируя последнее соотношение по k =1, n , получим (аналогично, как и для формулы трапеций), что оценка погрешности имеет вид

- (b - a)5 × f IV (V) , 2880n4

где ς (ab) .

Отметим, что ошибка при приближенном вычислении интеграла по формуле Симпсона убывает, по крайней мере, пропорционально четвертой степени длины наибольшего интервала разбиения отрезка [a,b].

Если же f(x) есть многочлен не выше третей степени, то f IV (x) = 0

и формула Симпсона является не приближенной, а точной.

Итак, абсолютная погрешность вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона не превосходит

D(n) £ sup f IV (x) (b − a)5 . 2880n4

300