умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M(x) – многочлен степени (n –

m), многочлен N(x) степени меньше,

m. Такое представление однозначно и обычно находится с помощью

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

4.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Пример 44. Вычислить интеграл I = ∫ x2exdx .

Решение. При вычислении данного интеграла можно воспользоваться формулой интегрирования по частям, дважды ее применяя, выбирая в ка- честве u = x2 , а затем u = x.

Покажем, что эффективно работает и обобщенная формула интегри- рования по частям

′′	′	′	′′
∫uυ dx = uυ − u υ + ∫u υdx .
Полагая u = x2 , υ = ex	и	учитывая, что u′ = 2x; u′′ = 2 , а
υ¢ = υ¢¢ = ex получим, что искомый интеграл

I = x2ex - 2xex + 2∫ex = x2ex - 2xex + 2ex + C .

Откуда имеем

I = (x2 − 2x + 2)ex + C .

Замечание. Используя обобщенную формулу интегрирования по час- тям, получим (P(x) – многочлен некоторой степени n относительно x)

	P (x)			′′			′′′
∫Pn (x)eaxdx = eax				P (x)			P (x)
		n	-	n		+	n		+ ...	+ C ;
		a		a	2		a	3

P ¢

(x)

P (x)

P¢¢¢(x)

∫Pn

(x)sin bxdx = sin bx ×

+ ...

- cosbx

...

+ C ;

P (x)

P ¢

(x)

P¢(x)

P¢¢¢(x)

∫Pn (x)cosbxdx = sin bx ×

+ ...

+ cosbx ×

+ ... .

§3. Интегрирование рациональных функций

3.1. Понятие о рациональных функциях

Рациональная функция – функция вида

R(x) = P(x) ,

Q(x)

где P(x) и Q(x) – многочлены степени n и m (n и m – целые неотрица- тельные числа).

Рациональная функция называется правильной рациональной функ- цией, если n < m. Если n ³ m , то рациональную функцию можно предста- вить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции

141

непосредственного деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) «угол- ком». Многочлены M(x), N(x) можно найти из формулы

P(x) = M (x) ×Q(x) + N (x)

методом неопределенных коэффициентов.

Правильную рациональную функцию можно разложить на простей- шие дроби, т.е. представить в виде конечной суммы многочлена и про-

стейших дробей.
Корнем многочлена Pn (x) называется такое число			x0 переменной
x, при котором		Pn (x0 ) = 0 .
Если	x1 –	корень многочлена Pn (x) , то многочлен делится без ос-
татка на (x –	x1), т.е. Pn (x) = (x - x1) × Pn−1(x) , где Pn−1(x) –		многочлен сте-

пени (n – 1).

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен n-ной степени (n > 0) имеет, по крайней мере, один корень действительный или комплексный.

Всякий многочлен Pn (x) можно представить в виде

Pn (x) = a0 (x - x1 )(x - x2 )...(x - xn ) ,

где x , x	2	,..., x	n	– корни многочлена, a	0	– коэффициент многочлена при xn .
1	2		n		0

Если многочлен Pn (x) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a − ib .

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффици- енты при одинаковых степенях переменной.

Всякий многочлен с действительными коэффициентами Pn (x) мож-

но представить в виде

Pn (x) = a0 (x - x1 )k1 × (x - x2 )k2 ×... × (x - xp )k p × (x2 - p1x + q1 )S1 ´

´(x2 + p2 x + q2 )S2 ×... × (x2 + pm x + qm )Sm .

где все квадратичные трехчлены не имеют действительных корней (D < 0),

а k1 + k2 + kr + 2(S1 + S2 + ... + Sm ) = n .

142

3.2.Интегрирование простейших рациональных дробей

Кпростейшим рациональным дробям относятся дроби следующих четырех типов:

;

II.

;

x − a

(x - a)n

III.

Mx + N

IV.

Mx + N

;

x2 + px + q

(x2 + px + q)n

где A, M, N,

a, p, q –

некоторые действительные числа,

а квадратичный

трехчлен в дробях III

и IV типов не имеет действительных корней, т.е.

- q < 0

или

q -

> 0 .

Проинтегрируем простейшие дроби:

I = ∫

dx = A × ln

x - a

+ C .

x - a

II.

I = ∫

dx =

A∫(x - a)− n d (x - a) = A

+ C .

(x - a)n

(1 - n)(x - a)n −1

Замечание.

x2 + px + q =

p 2

x +

+ q =

x +

+ q -

I = ∫

= x

+ m2

+ px + q

D < 0,

- q < 0;q -

= m2 > 0

d x +

= ∫

arctg

+ C =

p 2

2 + m2

x +

+ m2

x +

+ m2

x +

2x + p

× arctg

+ C =

arctg

+ C.

q -

4q - p2

143

Ш. I = ∫

(Mx + N )

dx =

d (x2 + px + q) = (2x + p)dx

x2 + px + q

Mx + N =

(2x + p) + N −

(2x + p) + (N -

)

(2x + p)dx

= ∫

dx =

∫

x2 + px + q

d (x2 + px + q)

+ N -

∫

+ px + q

+ px + q 2

2x + p

+ N -

arctg

4q - p2

ln(x2 + px + q) +

N - Mp

)

arctg

2x + p

+ C.

4q - p2

d (x2 + px + q) = (2x + p)dx

Mx + N =

(2x + p) + N -

(Mx + N )

IV. I = ∫

dx =

(x2 + px + q)n

+ px + q =

x +

+ m2

D < 0;

- q < 0'q -

= m2

(2x + p)

+ N

−

(2x + p)dx

= ∫

dx =

∫

(x2 + px + q)n

d (x2 + px + q)

+ N −

∫

(x2

+ px + q)n

(x2

+ px + q)n

x +

M (x

+ px

1− n

+ q)

+ N −

∫

−

∫

(1 − n)

+ m2 )n

+ m2

144

Оставшийся интеграл можно вычислить с помощью рекуррентной формулы (см. п. 2.4.)

I n = ∫			dx	=	x	+	1	2n − 3
									I n − 1 .
	(x		+ a 2 ) n		2a 2 (n − 1)(x 2 + a 2 ) n − 1			2n − 2
		2					a 2

Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простейших рацио- нальных дробей.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

I = ∫			dx	= ∫			dx
	x	2	+ 2x + 5		(x	2	+ 2x + 1) + 4

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

I = ∫				dx			.
		x	2	+ 2x +	5

= ∫		d (x + 1)				=		1	arctg	x + 1	+ C .
	(x + 1)2 + 22									2
					2
I = ∫				2x + 1			dx .
		x	2	+ 2x +	5

2x + 1

d (x2 + 2x + 5) = (2x + 2)dx

((2x + 2) − 1)1

I = ∫

dx =

2x + 1 = 2(x + 1) − 1

= ∫

dx =

2 + 2x + 5

+ 2x + 5 = (x + 1)2

+ 22

+ 2x + 5

= ∫

2(x + 1)dx

− ∫

= ∫

d (x2 + 2x + 5)

∫

d (x + 1)

x2 + 2x + 5

+ 2x +

x2 +

2x + 5

+ 1)2 + 22

= ln(x2 + 2x + 5) +

arctg

x + 1

+ C.

Пример 3. Вычислить интеграл

I = ∫

(2x + 3)dx

(x2 + 2x + 5)3

Решение.

I = ∫

= ∫

Так как

(2x + 3)dx

d (x2 + 2x + 5) = (2x + 2)dx

= ∫

((2x + 2) + 1)dx

(x2 + 2x + 5)3

x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4

(2x + 2)dx

+ ∫

d (x + 1)

= ∫

d (x2 + 2x + 5)

+ ∫

(x2 + 2x + 5)3

((x + 1)2 + 4)3

(x2 + 2x

+ 5)3

(t2 + 4)3

∫

d (x2 + 2x + 5)

∫t −3dt =

t −2

− 1

− 2

2(x2 + 2x +

5)2

(x2 + 2x + 5)3

145

Второй интеграл находим, используя рекуррентную формулу In , приведенную выше при интегрировании простейших дробей IV вида.

Таким образом, имеем

= ∫

+ 4)3

4(x2 + 4)2

2 +

4)2

2(x

2 + 4)

4(x

arctg

+ C.

+ 4)2

4(x2

32(x2 + 4)

3.3. Разложение рациональной дроби на простейшие

+1 I1 =

Пусть дана рациональная дробь

				P(x)	,			(1)
					,			(1)
				Q(x)
где P(x)	и Q(x) – некоторые многочлены от x.
Если степень P(x) больше или равна степени Q(x), то разделим P(x)
на Q(x)	по правилам алгебры («уголком», используя тождественные пре-
образования) получим тождество
		P(x)	= T (x) +			F (x)	,	(2)
			= T (x) +				,	(2)
		Q(x)				Q(x)

где T(x) и F(x) – многочлены; при этом степень F(x) будет ниже степени Q(x). Таким образом, интегрирование любой дроби (1) будет сводиться к

интегрированию (2), т.е. интегрированию многочлена T(x) и дроби F (x) ,

Q(x)

у которой степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. будем ин- тегрировать только правильные дроби. Считаем, что многочлены F(x) и Q(x) взаимно просты, т.е. не имеют общих множителей, содержащих x. Это не умоляет общности задачи, так как при наличии общих множителей у многочлена в F(x) и Q(x) – их сокращают.

1. Пусть правильная несократимая дробь	F (x)	такова, что
	Q(x)

Q(x) = (x − x1)(x − x2 )(x − x3 )...(x − xn ) ,			(3)

знаменатель имеет простые действительные различные корни, тогда разложение дроби F (x) имеет вид

		Q(x)
F (x)	=	F (x)	≡	A1	+	A2	+ ... +	An	.	(4)
Q(x)	=	(x − x1)(x − x2 )...(x − xn )	≡	x − x1	+	x − x2	+ ... +	x − xn	.	(4)
Q(x)		(x − x1)(x − x2 )...(x − xn )		x − x1		x − x2		x − xn

146

Определим коэффициенты в разложении (4).

Первый способ. В правой части равенства (4) приводим к общему знаменателю и, учитывая, что знаменатели правой и левой части получен- ного тождества одинаковы, получим, что дроби будут равны, если будут одинаковы числители, т.е. получим тождество вида

F (x) ≡ A1 (x − x2 )(x − x3 )...(x − xn ) + A2 (x − x1 )(x − x3 )...(x − xn ) +

(5)

+ An (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn −1 ).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в (5) полу- чим совместимую систему n линейных уравнений с n неизвестными

A1, A2 ,..., An .

Решая полученную систему, находим

A1, A2 ,..., An

и, следовательно,

разложение (4) рациональной дроби.

Второй способ. Этот способ называют метод частных значений.

Так как (5) – тождество,

то, полагая в (5)

последовательно

x = x1,

x = x2 ,..., x = xn находим соответственно A1, A2 ,..., An , а,

следовательно, и

разложение (4).

Третий способ. Умножив обе части тождества (4) на (x − x1) , получим

F (x)(x − x )

= A +

+ ... +

(x − x ) .

Q(x)

x − x

Если Q(x) представить в виде

Q(x) = (x − x1)ϕ(x) , то получим

F (x)

≡ A1 +

+ ... +

(x − x1) .

(6)

ϕ(x)

x − x

Полагая в этом тождестве

x = x1, получим

A =

F (x1)

(7)

ϕ(x1)

Числитель правой части легко вычислить, подставляя в многочлен F(x) число x1 .

Для вычисления знаменателя заметим следующее: дифференцируя тождество

Q(x) ≡ (x − x1)ϕ(x)

147

получим

′	′	(8)
Q (x) ≡ ϕ(x) + (x − x1)ϕ (x)

и, полагая в полученном тождестве (8) x = x1, будем иметь:

Q′(x1) = ϕ(x1) .

(9)

Тогда

A =

F (x1)

(10)

Q′(x1)

Поступая аналогично с остальными корнями, получим

A =

F (x2 )

;

A =

F (x3 )

;...A =

F (xn )

(11)

′

Q (x2 )

Q (x3 )

Q (xn )

Таким образом, получено простое правило для нахождения коэффи-

циентов A1, A2 ,..., An

в разложении дроби (4)

на простейшие.

Пример 4. Написать разложение дроби

2x + 7

на простейшие

x3 + 2x2 − 3x

и найти коэффициенты.

Решение. Данная дробь правильная и знаменатель

Q(x) = x3 + 2x2 − 3x = x(x −1)(x + 3)

имеет действительные различные корни: x1 = 0, x2 = 1, x3 = −3 .

Следовательно, разложение дроби имеет вид

2x + 7

x3 + 2x2 −

x −1

x(x −1)(x + 3) x

x + 3

Производная знаменателя

′

+ 4x − 3 .

Q (x) =

′

Подставляя найденные корни

x1 = 0, x2 = 1, x3 = −3

в функции F(x) и

находим

Q (x)

A =

F (0)

= −

; B =

F (1)

F (−3)

′

Q (0)

Q (1)

Q (−3)

Тогда искомое разложение имеет вид

2x + 7

= −

x3 + 2x2 − 3x

4(x −1)

12(x + 3)

148

Пример 5. Найти разложение дроби x4 − 3x2 − 3x − 2 на простейшие x3 − x2 − 2x

и найти коэффициенты.

Решение. Данная дробь неправильная, т.к. степень числителя выше степе- ни знаменателя, поэтому нужно выделить целую часть. Разделив числитель на знаменатель (уголком или с помощью тождественных преобразований) получим

x	4 − 3x	2 − 3x − 2	= x + 1	−	x + 2
						.
	x3 − x2 − 2x
					x(x − 2)(x + 1)

Разлагаем правильную дробь на простейшие

x + 2	≡	A	+	B	+	C	,
x(x − 2)(x + 1)				x − 2		x + 1
		x

отсюда имеем

x + 2 ≡ A(x − 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 2) .

Подставляя последовательно в обе части полученного тождества

корни знаменателя x = 0, x = 2, x = –1

находим A = –1,

B =

C =

Тогда окончательно получим

x4 − 3x2 − 3x − 2

= (x + 1)

−

x3 − x2 − 2x

x 3(x −

2) 3(x + 1)

Пример 6. Найти разложение дроби

x2 − x + 2

на простейшие дро-

x4 − 5x2 + 4

би и определить коэффициенты разложения.

Решение. Корнями знаменателя правильной дроби являются числа x = –1, x = 1, x = 2, ,x = –2, следовательно x4 − 5x2 + 4 = (x −1)(x − 2)(x + 1)(x + 2) .

Поэтому разложение на простейшие дроби

x2 − x + 2

≡

(12)

(x + 1)(x −1)(x + 2)(x − 2)

x +

x −1

x +

x − 2

Приводя к общему знаменателю в правой части (12), приравнивая числи- тели (12) получим

x2 − x + 2 = A(x −1)(x + 2)(x − 2) + B(x + 1)(x + 2)(x − 2) +

+C(x + 1)(x −1)(x − 2) + D(x + 1)(x −1)(x + 2).

149

После преобразований получим

x2 − x + 2 = x3 ( A + B + C + D) + x2 (− A + B − 2C + 2D) + + x(−4 A − 4B − C − D) + (4 A − 4B + 2C − 2D).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, по- лучим совместную систему четырех уравнений с четырьмя переменными

A + B + C + D = 0

− A

+ B

− 2C + 2D = 1

−4 A − 4B − C − D = −1

+ 2C − 2D = 2

4 A − 4B

Решая данную систему, получим

A =

;

B = −

;

C = −

;

D =

Таким образом, разложение рациональной дроби на простейшие

имеет вид

x2 − x + 2

−

x4 − 5x2 +

3(x +

3(x −1)

3(x

+ 2)

3(x − 2)

2. Пусть правильная несократимая дробь

F (x)

такова, что

Q(x)

Q(x) = (x2 + p x + q )(x2

+ p x + q )....(x2 + p x + q )

(13)

знаменатель не имеет действительных корней, т.е.

для всех n дискриминан-

ты x2 + p x + q

отрицательны, тогда разложение дроби

F (x)

имеет вид

Q(x)

F (x)

Q(x) (x2

+ p1x + q1)(x2

+ p2 x + q2 )...(x2 + pn x + qn )

(14)

A1x + B1

A2 x + B2

An x + Bn

+ .... +

+ p x + q

x2 + p x + q

+ p x + q

(i =

)

в разложении (14)

Для определения коэффициентов Ai

и Bi

1, n

поступают следующим образом: приводят к общему знаменателю в правой

150

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf