14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 и прямыми: y = 0; x = a; x = b, 0 < a < b.

Решение.

y

B

181

1.2. Работа переменной силы

Пусть материальная точка движется вдоль числовой прямой Оx под действием силы F(x) (считаем F(x) непрерывной функцией от координа- ты x), причем направление действия силы F(x) совпадает с направлением движения материальной точки. Найдем работу силы F(x) при перемеще- нии материальной точки от x = a до x = b, т.е. на отрезке [ab]. Для ре- шения этой задачи поступаем следующим образом: разобьем отрезок [ab], как и в задаче о площади криволинейной трапеции, точками xi и выберем

Это предел А (при тех же условиях, что и в задаче о площади) назы- вают работой переменной силы при перемещении материальной точки из точки a в точку b.

Отвлекаясь от задачи о площади криволинейной трапеции и от задачи о работе переменной силы, попробуем перечислить математические опера- ции, используя которые мы решили эти задачи. Прежде всего, отметим, что была задана функция f(x) для площади криволинейной трапеции, либо F(x)

– для работы; данные функции рассматривались как непрерывные на [ab]. Для получения равенств типа (1) были выполнены следующие операции:

1. отрезок [ab] произвольным образом разбивается на конечное (n) число частей (отрезков [xi−1 xi ] );

2. на каждом из отрезков [xi−1 xi ] выбирается произвольная точка ci (i =1, n) и вычисляется значение функции f (ci ) F (ci )(i =1, n) в этой точке; 3. значение f (ci ) F (ci )(i = 1, n) умножается на xi длину отрезка

[xi−1 xi ];

4. все полученные произведения складываются.

Полученная в результате перечисленных действий сумма носит на- звание n-ной интегральной суммы. В наших задачах о площади криволи- нейной трапеции и о работе переменной силы на отрезке [ab] n-ная инте- гральная сумма имеет следующий вид

182

Отметим, что при заданном числе n частей (отрезков), на которые разбивали [ab], можно составить сколько угодно n-ных интегральных сумм. Это можно сделать в самом деле, т.к. во-первых, по разному разби- вали отрезок [ab] на n частей, а во-вторых на каждом из полученных от-

резков [xi−1 xi ] можно произвольным образом выбрать точку ci (i =1, n) .

Для получения точного значения площади криволинейной трапеции мы выполняли пятую операцию – находили предел n-ной интегральной суммы при n → ∞ или max xi → 0 . При решении рассмотренных задач о площади криволинейной трапеции или о работе переменной силы на от- резке [ab] важно заметить, что предел не должен зависеть от способа раз-

биения отрезка [ab] и от выбора точек ci (i =1, n) . При различном способе разбиения и выборе точек ci , вообще говоря, будут получаться прибли-

женные значения как площади, так и работы. Но в пределе эти различия должны стереться, т.е. предел не должен зависеть от способа составления интегральных сумм.

§2. Определенный интеграл

2.1.Интегральная сумма. Определение определенного интеграла

Врассмотренном выше параграфе при решении задач о площади криволинейной трапеции и о работе переменной силы на отрезке [ab] бы-

ла введена n-ная интегральная сумма: если функция y = f(x) определена и ограничена на отрезке [ab], то, разбивая [ab] на n частей произвольным

Определение. Если существует конечный предел интегральной сум- мы (1) при n → ∞ (max xi → 0) , не зависящей от способа разбиения отрез-

183

ка [ab] и выбора точек ci (i = 1, n) , то этот предел называют определен-

ным интегралом (интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [ab] и записывают

руемой на отрезке [ab] (или интегрируемой по Риману). Выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функ- цией, x – переменной интегрирования, a и b – нижним и верхним преде- лами интегрирования.

Замечание. Интегральная сумма не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции, т.е. определенный интеграл не зави- сит от выбора (обозначения) переменной интегрирования

Сгеометрической точки зрения определенный интеграл от неотри- цательной функции численно равен площади соответствующей криволи- нейной трапеции.

Сфизической точки зрения определенный интеграл – это величина работы, совершаемая переменной силой при перемещении материальной

точки из точки a в точку b или величина пути, пройденного материаль- ной точкой, скорость которой υ(t) за промежуток времени [T0 , T ].

Необходимое условие интегрируемости функции.

Теорема. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [ab], то она ограничена на этом отрезке.

Замечание. Ограниченность функции не является достаточным усло- вием ее интегрируемости. Так, функция Дирихле

не интегрируема на отрезке [0,1], хотя и ограничена.

184

Классы интегрируемых функций:

1.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ab], то она интегрируема на [ab].

2.Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегри- руема на этом отрезке.

3.Если функция f(x) ограничена на отрезке [ab] и непрерывна во всех точках отрезка [ab], кроме конечного числа точек, то эта функция интегрируема на отрезке [ab].

4.Если функция f(x) интегрируема на отрезке [ab], то она интегри-

руема на любом [a,b] Î[a,b] .

5.Если изменить значения интегрируемой функции в конечном числе точек, то интегрируемость ее не нарушится.

6. Если функция f(x) интегрируема на [ab], то и функции c × f (x), f (x)

интегрируемы на этом отрезке.

7.Если две функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [ab], то их сумма, разность и произведение также интегрируемы на этом отрезке.

2.2. Основные свойства определенного интеграла

Докажем следующие свойства определенного интеграла:

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a = b), то интеграл равен нулю:

b

∫ f (x)dx = 0 .

a

Это свойство следует из определения интеграла и его должны рас- сматривать как соглашение, т.к. его нужно рассматривать как естественное распространение понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины.

2. При перестановке пределов интегрирования определенный инте- грал меняет знак:

Это свойство должно также рассматриваться как соглашение, т.к. это естественное обобщение понятия определенного интеграла на случай, ко- гда отрезок [ab] при a < b пробегается в направлении от b к a (в этом слу-

чае в интегральной сумме все разности xi имеют отрицательный знак).

185

3. Если f(x) = 1, то

b

∫ f (x)dx = b - a .

a

значит, постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Доказательство. Действительно, интегральные суммы функций f(x) и С(x) отличаются постоянным множителем С, поэтому имеем

длины Dxi (i = 1, n) и составим интегральные суммы для всех трех интегра-

лов, при этом точки ci в каждом отрезке выбираем произвольно, но для всех интегральных сумм одни и те же. Тогда будем иметь

ти предел существует, то существует предел и для суммы слева, чем уста-

186

навливается интегрируемость функции f (x) ± g(x) . Переходя к пределу в последнем равенстве, устанавливаем данное свойство.

Замечание. Свойства 4 и 5 называют свойством линейности для оп- ределенного интеграла.

6. Аддитивность определенного интеграла. Если функция интегри- руема на отрезке [ab] и a < c < b, то

ку с при составлении интегральной суммы можно включить в число точек разбиения. Так, если c = xm , тогда интегральную сумму для функции f(x)

можно разбить на две:

В последнем равенстве каждая из написанных сумм является инте- гральной соответственно для отрезков [ab], [ac] и [cb]. Переходя к пре-

волинейных трапеций с основаниями [ac] и [cb].

Замечание. Установленное свойство 6 справедливо для любого конечно- го числа точек и при любом расположении. Так, например, если a < b < c, то

b

∫ f (x)dx ³ 0 .

a

187

y

A2

B2

A1

B1

x

Замечание. Установленное свойство 8 для определенного интеграла называют монотонностью определенного интеграла.

9. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [ab] (a < b), тогда справедливо неравенство

188

Доказательство. Так как f(x) интегрируема на [ab], то будет ин-

тегрируема и функция f (x) на [ab], а это значит, что интеграл в правой

части (1) существует. Для доказательства неравенства (1) применим свой- ство 7 к функциям:

лучим искомое неравенство.

С геометрической точки зрения свойство 10 означает следующее: ес- ли f (x) ³ 0 для любого x [ab], то площадь прямоугольника aA1 B1b

равна m(b - a) , площадь прямоугольника aA2 B2 b равна M (b - a) . А ус-

тановленное неравенство (1) означает, что площадь криволинейной трапе-

189

принимает все промежуточные значения из отрезка [mM ], в том числе и

190