14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

(1− y)

2 x + y

1− y

1− y

1

1

z

2

1

1

2

0

0

0

0

0

z − y

0

z

0

1

x

2

2

2 1− 2 x

1

1− 2 x

= ∫ dx

∫ dz ∫ f (x, y, z)dy + ∫ dz ∫

f (x, y, z)dy =

0

0

0

x

z − 2 x

2

1

1− 2 x

1− 2 x

1

2

2 z

= ∫dz

∫ dx ∫ f (x, y, z)dy + ∫ dx ∫

f (x, y, z)dy ;

0

2 z

0

0

z − 2 x

б)

1

1

2 x2 3 y2

1

3 y2

1

2+3 y2

1

=

∫dx∫dy ∫

f (x, y, z)dz = ∫dy

∫

dz∫ f (x, y, z)dx + ∫ dz ∫

f (x, y, z)dx

0

0

0

0

0

0

3 y2

z −3 y2

2

3

1

1

2

1

3

= ∫dz ∫ dy∫ f (x, y, z)dx + ∫dz ∫ dy ∫

f (x, y, z)dx +

0

0

0

0

3

2

z −3 y2

z

3

3

1

5

2

1

+∫dz ∫ dy ∫

f (x, y, z)dx + ∫dz ∫

dy ∫

f (x, y, z)dx;

2

3

3

3

2

2

Объем пространственного тела V

с помощью тройного интеграла

находится по формуле V = ∫∫∫dxdydz

– в декартовых координатах

V

2

4 cos ϕ

V = ∫∫ xdxdy = ∫∫r cos j × rdrdj = ∫ dj

∫ r 2 cos jdr = 8p .

D

D

− π

0

2

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью

(x2 + y2 + z2 )2 = a2 z .

Решение. Так как

x и y

входят в уравнение только в квадратах, то тело

приходим

к уравнению

поверхности

в

сферических координатах

r = a 3

.

cos θ

Так как первый

октант

характеризуется

неравенствами

0 ≤ ϕ ≤ π , 0

≤ θ ≤ π , и, учитывая, что якобиан

I = r2 sin θ ,

будем иметь

2

2

π

π

a 3

2

2

cos θ

1

V = 4 ∫ dϕ∫ d θ

∫ r2 sin θdr =

πa3 .

0

0

0

3

2.2. M yz

= ∫∫∫ x × r(x, y, z)dxdydz, M zx = ∫∫∫ yr(x, y, z)dxdydz ,

V

V

M xy = ∫∫∫ zr(x, y, z)dxdydz

–

статистические

моменты тела

относительно

V

координатных плоскостей Oyz, Ozx, Oxy;

2.3. x0

=

M yz

; y0 =

M

zx

;

z0 =

M xy

– координаты центра тяжести тела;

m

m

m

2.4. I yz

= ∫∫∫ x2r(x, y, z)dxdydz, I zx

= ∫∫∫ y2r(x, y, z)dxdydz,

V

Ixy = ∫∫∫ z2r(x, y, z)dxdydz

– моменты инерции тела относительно коорди-

натных плоскостей Oyz, Ozx, Oxy;

2.5. Ix

= Izx

+ Ixy , I y = I xy

+ I yz ,

I z = I yz

+ I zx –

моменты инерции те-

ла относительно осей координат Ox, Oy, Oz;

2.6.

I0 = I yz + Izx + I xy

= ∫∫∫(x2 + y2 + z2 )r(x, y, z)dxdydz

–

моменты

V

инерции тела относительно начала координат;

2.7.

V (x0 , y0 , z0 ) = g∫∫∫r(x, y, z)

1

dxdydz

–

ньютоновский

потенциал

V

r

поля тяготения тела V в точке

(x0 , y0 , z0 ) ; где

γ – гравитационная посто-

янная, r –

расстояние между точками M(x,y,z)

и M 0 (x0 , y0 , z0 ) ;

2.8.

= (Fx , Fy , Fz ) –

сила притяжения материальной точки M 0 (x0 , y0 , z0 )

F

телом V массы

m0 , где Fx = gm0

dV

= g × m0 ∫∫∫r(x, y, z)

x − x0

dxdydz ;

dx0

V

r3

Fy

= g × m0

dV

= g × m0 ∫∫∫r(x, y, z)

y - y0

dxdydz;

dy0

V

r3

Fz

= g × m0

dV

= g × m0 ∫∫∫r(x, y, z)

z - z0

dxdydz.

dz0

V

r3