14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

Используя определение линии уровня, получим:

а)

xy = c – семейство гипербол;

б)

уравнение z = x + y задает поверхность, а линии уровня –

прямые

x + y = c , параллельные прямой x + y = 0 ;

в) поверхность, задаваемая уравнением –

параболоид вращения: ли-

нии уровня – множество концентрических окружностей x2 + y2 = c

с цен-

тром в начале координат;

г)

поверхность –

гиперболический параболоид: линии уровня – рав-

носторонние гиперболы;

д) поверхность –

конус 2-го порядка: линии уровня – равносторонние

гиперболы xy = c2 ;

е) поверхность –

параболический цилиндр, образующие которого па-

раллельны прямой x + y + 1 = 0 ; линии уровня –

параллельные прямые.

3. Найти лини (поверхности) уровня следующих функций:

а)

z = ln(x2 + y) ;

б) z = arcsin xy ;

в) z = f ( x2 + y2 ) ;

г) u = x + y + z ;

д) u = x2 + y2 + z2 ;

д) u = x2 + y2 − z2 .

Ответы: а) параболы

y = C − x2 ,

C > 0 ;

б)

гиперболы xy = C

(

C

£1) ;

в) окружности x2 + y2 = C2 ;

г)

плоскости, параллельные плоскости x + y + z = 0 ;

д)

концентрические сферы с центром в начале координат;

е) при n > 0 однополостные гиперболоиды вращения вокруг оси OZ;

при n < 0 двуполостные гиперболоиды вращения вокруг оси OZ;

оба се-

мейства поверхностей разделяет конус

x2 + y2 + z2 = 0 .

4. Выразить объем конуса V

как функцию ее

образующей x и радиуса основания y.

Решение. Объем конуса V =

1

S

× h ,

осн

3

h

x

где h –

высота конуса; h =

x2 - y2 .

1

Тогда V =

py2 ×

x2 - y2 .

3

g

Область определения полученной функции –

это

множество точек (xy) Î R2 , таких, что

x

³

y

.

Ответ: V (S,l) =

S 2

×

l 2 -

S 2

;

0 < S < p × l 2 .

3p2l

p2l2

6. Выразить объем конуса как функцию от углового осевого сечения

конуса

α и от радиуса

r

шара, вписанного в конус.

p × r

3

a 3

1 + sin

Ответ: V (a, r) =

2

.

3sin

a

cos

2 a

2

2

18.3. Предел функции нескольких переменных

1.

Вычислить

предел

и

повторные пределы функции

f (x, y) =

xy

в точке О(0,0).

x2 + y2

lim

xy

= lim

kx2

= lim

k

=

k

.

2

+ y

2

2

+ k 2 x

+ k

2

+ k

2

x®0 x

x®0 x

x®0 1

1

y®0

( y =kx)

k = 1 получим

1

; при k = 2 получим

2

).

5

2

xy

lim lim f (x, y) = lim lim

= lim 0 = 0

+ y2

x®0 y®0

x®0 y®0 x2

x®0

xy

lim lim f (x, y) = lim

= lim 0 = 0

lim

x

2

+ y

2

y®0 x®0

y®0

y®0

x®0

y -фиксир.( y ¹0)

а) f (x, y) =

x2

− y

2

в точке О(0,0);

x2

+ y

2

б) f (x, y) =

x2

+ xy + y2

в точке О(0,0).

x2

− xy + y2

Ответ: а) f (x, y)

в точке

О(0,0)

предела не имеет; повторные пре-

делы lim lim f (x, y) = 1;

lim lim f (x, y) = −1.

x→0 y→0

y

→0 x→0

б) f (x, y) в точке О(0,0) предела не имеет

lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 1.

x→0 y→0

y→0 x→0

3. Вычислить повторные пределы функции

f (x, y) =

4x + 1

в точке

2x −1

О(0,0).

Решение.

4x + 1

4 +

y

x

Имеем lim lim f (x, y) = lim

lim

= lim lim

= 2 .

y

x→0 y→0

x→0

y→0 2x −1

x→0

y→0

2 − x

Таким же образом устанавливаем, что

lim lim

4x + 1

= −1.

y→0 x→0 2x −1

4. Найти пределы функции

f (x, y) в точке:

а) f (x, y) =

x2 y

в точке О(0,0);

б)

f (x, y) =

x

в точке О(0,0).

x

4 + y

x + y

Ответ: пределы не существуют.

5. Найти предел функции

f (x, y) =

x4

+ y

2

при

x → ∞ и y → ∞ .

x2

+ y

4

Решение. Пусть

x = t, y = t4 . Тогда

при

t → ∞ имеем

x → ∞ и

y → ∞ , а следовательно, lim f (t,t4 ) = lim

t4 + t

8

= lim

t 2

+ t6

= 0 .

+ t16

t →∞

t →∞ t4

t →∞ 1 + t14

Если же x = t2 , y = t , тогда

lim

f (t2 ,t) = lim

t8

+ t

2

= lim

t6 + 1

= ∞ .

+ t4

2t 2

t →∞

t →∞ t 4

t →∞

6. Вычислить пределы:

а) lim

1 + x2 y

2 −1

;

x2 + y2

x→0

y→0

Ответ: а), б), в)

– 0.

7. Вычислить предел функции

f (x, y) и повторные пределы:

а)

f (x) = log x (x + y) в точке M(1:0);

б)

f (x) =

sin x + sin y

в точке M(0;0).

x + y

Ответ: а) предел не существует

)

lim

lim f (x, y)

= ∞ ;

lim lim

f (x, y) = 1;

x→1 y→0

y→0

(x→1

б)

lim f (x, y) = lim ( lim f (x, y)) = lim (lim f (x, y)) = 1.

x→0

x→0 y→0

y→0 x→0

y→0

18.4. Непрерывность функции нескольких переменных

1. Исследовать на непрерывность функцию

x2

- y2

, (x, y) ¹ (0,0)

+ y2

f (x, y) = x

2

(x, y) = (0,0)

0,

Решение. Для всех точек

(x, y) Î R2 , кроме точки (0,0) функция

f (x, y)

непрерывна – как частное непрерывных функций (многочленов),

на непрерывность данной функции в точке

(x, y) = (0,0)

необходимо ис-

следовать существование предела

lim f (x, y) . Если предположить, что

( x, y)→(0,0)

этот предел существует, то будем иметь

lim f (x,0) = lim f (0, y) .

x→0

y→0

Но последнее равенство для данной функции не выполняется, так как

x

2

- y2

lim f (x,0) = lim

=1, а

lim f (0, y) = lim

= -1.

x→0

x→0 x

2

y→0

y→0 y2

Таким образом,

lim f (x, y)

не существует. Значит точка (0,0) – точ-

( x, y)→(0,0)

ка разрыва функции

f (x, y) .

2. Исследовать на непрерывность функцию

f (x, y)

отдельно по пе-

ременным x и

y и по совокупности переменных

x и

y

в точках О(0,0),

1,

xy = 0

М(0,1), В(1,0),

если

f (x, y) = cos(x - y) - cos(x + y)

¹ 0.

,

xy

2xy

Решение. Данную функцию

f (x, y)

представим в виде (используя

формулу разности косинусов)

1,

xy = 0

f (x, y) = sin x ×sin y

xy ¹ 0.

,

x × y

1) Так как lim f (x, y) = lim

sin x

×

sin y

=1 = f (0,0) , то f (x, y) не-

x→0

x→0

x

y

y→0

y→0

имеем, что

f (0, y) = 1 для всех

y, и, следовательно, эта функция непре-

рывна в точке

y = 1. А это означает,

что f (x, y) непрерывна в точке

M (0,1) по переменой y.

sin x

×sin1, x ¹ 0

x

Рассмотрим функцию

f (x,1) =

x = 0

1,

Так

как

lim f (x,1) = lim

sin x

×sin1 = sin1 ¹ 1 = f (0,1) , то функция

y→0

y→0

x

сти переменных

x и y, так как в противном случае в силу теоремы

4 она

была бы непрерывной по переменой x.

3) Рассуждая аналогично пункту 2 относительно точки

В(1,0)

уста-

навливаем, что

f (x, y) непрерывна в точке В по переменой

x, и не явля-

а)

f (x, y) =

2x

;

б)

f (x, y) = ln(9 - x2 - y2 ) ;

x2

+ y

2

в) f (x, y) =

3

;

г)

f (x, y) = sin

y

;

x2

+ y2 - z2

x

д)

f (x, y) =

sin x × cos y

;

е)

f (x, y) = tg(x2 + y2 + z2 ) .

xy

Ответы: а) О(0,0);

б) точки окружности

x2 + y2 = 92 ; в) точки ко-

нической поверхности

x2 + y2 = z2 ;

г) все точки прямой

x = 0 ; д) все точ-

ки прямых x = 0 и y = 0 ; е) все точки сфер x2 + y2 = z2 = p + pk,

k = 0,1, 2...

2

4. Исследовать функции на непрерывность по переменным x

и

y, и

по совокупности переменных x и y:

x2 y

2

, x4 + y4 ¹ 0

а)

f (x, y) =

4 + y4

и М(1,2);

x

в точках О(0,0)

x4 + y4 = 0

0,

x2 y2

, x4 + y4 ¹ 0

−4

−5

б)

4

+ y

4

О(0,0)

и

M (10

,10

) ;

f (x, y) = x

в точках

0, x4 + y4 = 0

0, x - y = 0

в)

f (x, y) =

- cos y

cos x

- y

¹ 0

, x

x

- y

p

p

, M 2 (p, p) .

в точках О(0,0), M1

;

4

4

Ответы: а) в точке

О(0,0)

f (x, y) непрерывная по

x, непрерывная

по y и разрывная по совокупности переменных x и y;

б) в точках О и М

xy

, при x ¹ 0, y ¹ 0

2

+ y2

f (x, y) = x

0,

при x = 0, y = 0

6. Доказать,

что если z = f (x, y) –

непрерывная функция, то множе-

ство точек М, где

f (x, y) ≤ C , где

C –

заданное число, – замкнуто; если

f (x, y) < C , то множество точек М –

открыто.

7. Для функций u(x, y)

найти частные производные в окрестности

точки О(0,0) и их непрерывность в точке О(0,0), если:

1) u = x2 + y2 ;

2) u = x4 + y4 ;

3) u = 3

;

xy

4) u = 3 x2 y2 ;

5) u = 4 x4 + y4 ;

6) u = 3 x3 + y3 ;

7) u = 3 x4 + y4 .

Ответы:

1)

частные производные

u(x, y)

существуют в окрестности точки

О(0,0), за исключением самой точки О(0,0);

2) частные производные функции

u(x, y)

существуют в окрестности

точки О(0,0) и непрерывны в этой точке;

3) частная производная

∂u

существует в окрестности О(0,0), за ис-

∂x

∂u

ключением точек

(0, y)

y ¹ 0 ; частная производная

∂y

существует в ок-

рестности точки О(0,0), за исключением точек

(x,0)

x ¹ 0 ; частные про-

изводные разрывны в точке О(0,0);

4)

∂u

существует в окрестности точки

О(0,0), за исключением то-

∂x

чек (0, y) y ¹ 0 ;

∂u

существует в окрестности точки

О(0,0)О, за исклю-

∂y

чением точек

(x,0)

x ¹ 0 ; частные производные разрывны в точке О(0,0);

5)

∂u

и

∂u

существуют в окрестности точки О(0,0), кроме самой точки;

∂x

∂y

6)

∂u

и

∂u

существуют в окрестности точки О(0,0), за исключени-

∂x

∂y

ем точек прямой

y = -x

(x ¹ 0) , они разрывны в точке О(0,0);

7)

∂u

и

∂u

существуют в окрестности точки О(0,0) и непрерывны

∂x

∂y

порядка от функции f (x, y) = arctg

x

в точке

M0 (1;2) .

y

Решение. Найдем частные производные и полный дифференциал

функции в произвольной точке

M (x, y)

∂f (x, y) =

1

×

1

=

y

¶x

x

2

y

x2 + y2