14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

∂z =

∂z

×

∂u +

∂z ×

∂v =

∂z

× 2x +

∂z × y ;

¶x

¶u

¶x

¶v

¶x

¶u

¶v

∂z =

∂z

×

∂u +

∂z × ∂v = ∂z 2 y +

∂z × x .

¶y

¶u

¶y

¶v

¶y

¶y

¶v

Тогда

dz = ∂z × dx +

∂z × dy = 2

∂z

(xdx + ydy) +

∂z ( ydx + xdy) .

¶u

¶x

¶y

¶v

Второй способ. Будем непосредственно вычислять полный диффе-

ренциал, используя инвариантность его формы

dz =

∂z

du + ∂z dv = ∂z 2(xdx + ydy) + ∂z ( ydx + xdy)

¶u

¶v

¶y

¶v

Полученные выражения dz в обоих случаях совпадают.

Пример 4. Найти дифференциал функции

z = f (x + y 2 , y + x2 ) в

точке M (−1,1) .

dz(M ) =

¶f (M )

dx +

¶f (M ) dy =

¶x

¶y

¶f (0;2)

¶f (0;2)

¶f (0;2)

¶f (0;2)

=

- 2

dx

+

2

+

dy.

¶u

¶u

¶v

¶v

du(M ) = ∂f (0;2) du +

∂f (0;2) dv ,

∂u

∂v

где du и dv

дифференциалы функций u = x + y 2

и v = y + x2 в точке

M (−1,1) .

Так как

du(M )

= 1; ∂u(M ) = 2;

∂v(M ) = −2; ∂v(M ) = 1, то

∂x

∂y

∂x

∂y

dv(M ) = dx + 2dy; dv(M ) = −2dx + dy ,

∂f (0;2)

− 2

∂f (0;2)

∂f (0;2)

+

∂f (0;2)

тогда du(M ) =

∂u

∂v

dx + 2

∂u

dy .

∂v

F (x, y) = 0

(1)

Для каждого фиксированного x

уравнение (1) относительно пере-

3. Уравнение x2 + y2 + 4 = 0 не определяет никакой функции на R,

т.к.

оно не имеет действительных корней, а,

значит, нельзя рассматривать

y как функцию от x.

x2 + y2 = 1 определяет неявно функцию y = ±

4. Уравнение

1 - x2

(двузначную

при

x

<1 и однозначную при

x = ±1).

Действительно,

x2 + (± 1 - x2 )2 =1.

5. Для уравнения y5 + y - x = 0 невозможно записать решение в ви-

де

y = f (x) ,

где

f (x) – элементарная функция,

хотя сама зависимость

y = f (x) определена правилом

x → Ax = f (x)

(напомним, что f (x)

может

быть многозначной функцией).

Если в каждом множестве

Ax

выбрать по одному элементу, то полу-

чим (однозначную) функцию y = f (x) , тоже называемую неявной.

Сформулируем условия, при которых уравнение (1) определяет одну

из переменных как функцию другой.

Теорема 10 (о неявной функции). Пусть функция

F (x, y) двух пе-

ременных удовлетворяет следующим условиям:

1. F (x, y) – определена в некоторой окрестности точки M0 (x0 , y0 ) и

F (x0 , y0 ) = 0 .

F ′(x, y), F ′(x, y)

2. Частные производные

существуют и непре-

x

y

рывны в выбранной окрестности M0 (x0 , y0 ) .

3. F

′(x , y ) ¹ 0 .

y

0

0

Тогда в достаточно малой окрестности точки

x0 существует одна и

только одна однозначная непрерывная функция

y = f (x) , удовлетворяю-

щая соотношениям

y0 = f (x0 ),

F (x, f (x)) = 0 ,

(2)

причем

−F ′(x, y)

′

x

.

(3)

y (x) =

F ′(x, y)

y

Пример 2. Установить, что уравнение

y5 + 2xy + x4 − 4 = 0

задает

неявную функцию.

Решение. Пусть F (x, y) = y5 + 2xy + x4 − 4 , тогда

1) F (x, y) определена в окрестности точки

M0 (1,1)

и F (1,1) = 0 ;

2) F

′ = 2 y + 4x3

и

F ′(x, y) = 5 y4

+ 2x существуют и непрерывны в

x

y

любой окрестности точки

M0 (1,1) .

3) F

′(x , y ) = F ′

(1,1) = 7 ¹ 0 .

y

0 0

y

Следовательно, существует одна и только одна однозначная непрерыв-

ная функция y = f (x) ,

удовлетворяющая уравнению y5 + 2xy + x4 − 4 = 0 и

условию 1 = f (1) .

ляет неявную функцию y = ± 1 - x2 .

F ′

Пусть

M0 (x0 , y0 )

удовлетворяет

данному

уравнению и

(x , y ) = 2 y ¹ 0 . (F (x, y) = x2 + y2 -1 = 0) .

y

0

0

0

Тогда на основании теоремы 10 существует в некоторой окрестности

точки

x0 , единственная функция

y = f (x) ,

удовлетворяющая условиям

(2) данной теоремы, а именно

1, y

> 0

y = (sgn y ) ×

1 - x2 ,

где sgn y

=

0

0

0

-1, y0 < 0.

Отметим, что точки

(−1,0)

и

(1,0) не удовлетворяют условиям тео-

ремы, так как

F ′(-1,0) = 0

и F

′(1,0) = 0 .

y

y

А

это

значит, что невозможно однозначно

определить функцию

y = f (x) в окрестностях указанных точек.

Замечание. Формулу

(3) в теореме 10 можно получить следующим

Теорема 11 (о неявной функции). Если функция F (x, y, z)

трех пе-

ременных удовлетворяет следующим условиям:

1. F (x, y, z) определена в некоторой окрестности

точки

M 0 (x0 , y0 , z0 ) и F (x0 , y0 , z0 ) = 0 .

Пример 4.

Найти

частные

производные

неявной функции

e x 2 + y 2 - 2z + e3z = 0 .

Решение. Имеем F ′ = 2xex 2 + y 2

;

F

y

′ = 2 ye x 2 + y 2

;

F ′ = -2 + 3e3z , тогда

x

z

¶z

= -

2xe x 2 + y 2

¶z

= -

2 ye x 2 + y 2

¶x

;

¶y

.

3e3z -

2

3e3z -

2

Замечание. Если уравнение

F (x, y, z,...,u) = 0

определяет u как неко-

торую функцию от

n переменных

x, y,

z,

….

тогда частные производные

неявной функции n

переменных по всем ее аргументам определяются сле-

дующим образом

¶u

F ¢

¶u

Fy

′

¶u

F

¢

= -

x

;

= -

;

=

z

....

¶x

Fu

¢

¶y

Fu

¢

¶z

Fu

¢

Q

l2

M0

L2

l1

0

y

Касательной

плоскостью к

поверхности

Q

в

данной

точке

M 0 (x0 , y0 , z0 )

называется плоскость, которая содержит все касательные

прямые к кривым, проведенным на поверхности через точку

M 0 .

Напишем

уравнение касательной плоскости

L к поверхности

Q

z = f (x, y) в точке

M 0 (x0 , y0 , z0 ) .

Построим сечение поверхности

Q z = f (x, y) плоскостями x = x0

и

y = y0 ; получим соответственно кривые z = f (x0 , y)

и

z = f (x, y0 )

на по-

L

x = x0

;

L

y = y0

1

z = f (x, y)

2

z = f (x, y).

L в точке M 0 , как уравнение плоскости, проходящей через две пересе-

кающиеся прямые, причем полученная плоскость будет единственной.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) ,

имеет вид

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .

(3)

Касательные прямые l1 и l2 получаются сечением плоскости

(3)

плоскостями x = x0 и y = y0 . Тогда уравнения касательных прямых l1 , l2

определим системами

l1

x = x0

l2

y = y0

B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0

A(x − x0 ) + C(z − z0 ) = 0

x = x

0

y = y0

l1

− B

(4),

l2

-A

(5)

(z − z0 ) =

( y − y0 )

(z - z ) =

(x - x ).

C

0

C

0

при одинаковых переменных в формулах (1), (2), (3)

и (4)

получим

∂f (x0 , y0 ) = − A ;

∂f (x0 , y0 ) = − B .

(6)

¶x

C

¶y

C

∂f (x0 , y0 ) × (x - x0 ) +

∂f (x0 , y0 ) ( y - y0 ) - (z - z0 ) = 0 .

(7)

¶x

¶y

Точка, в которой F ′ = F

y

′ = F ′ = 0 или хотя бы одна из этих произ-

x

z

Нормаль к поверхности Q в данной точке

M 0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

¢

¢

(x0 , y0 )

(x0 , y0 )

-1

f x

f y

Если поверхность

Q задана неявно

F (x, y, z) = 0 , то уравнение нор-

мали имеет вид

x − x0

y − y0

z − z0

=

=

.

F ¢

¢

¢(x

(x

0

, y

0

, z

0

)

F

(x

0

, y

0

, z

0

) F

0

, y

0

, z

0

)

x

y

z

Геометрический смысл полного дифференциала

Пусть z = f (x, y) –

функция двух независимых переменных, рас-

плоскости к поверхности, задаваемой уравнением

z = f (x, y) , в

точке

M 0 (x0 , y0 , z0 )

имеет вид

z - z0 = ∂f (x0 , y0 ) × (x - x0 ) +

∂f (x0 , y0 ) ( y - y0 ) .

(9)

¶x

¶y

Так как

x = x − x0 = dx ; y = y − y0 = dy , то правая часть

(9)

пред-

ставляет собой полный дифференциал

функции

z = f (x, y)

в

точке

M 0 (x0 , y0 , z0 ) , а левая часть z − z0

– приращение аппликаты касательной

плоскости в точке касания

z − z0 = df (x0 , y0 ) .

(10)

Формула (10) устанавливает геометрический смысл дифференциала:

при x = x0 , y = y0 и произвольных

x и

y значение дифференциала рав-

0

y

1) z = 4 - x2 - y 2

M0 (1, 2,2) ;

2)

x2 + 3y 2 + 2z 2 = 4

M0 (1, 2,1) .

Решение:

1)

Уравнение поверхности задано явной функцией z = f (x, y) , по-

∂f (x0 , y0 ) × (x - x0 ) + ∂f (x0 , y0 ) ( y - y0 ) - (z - z0 ) = 0 ;

¶x

¶y

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

¶f (x0 , y0 )

¶f (x0 , y0 )

-1

¶x

¶y

Находим частные производные в точке

M 0

∂z = -2x;

∂z

= -2 y ;

∂z(1, 2) = -2;

∂z(1, 2) = -4 .

¶x

¶y

¶x

¶y

x − 1

=

y − 2

=

z − 2

или

x − 1

=

y − 2

=

z − 2

.

− 2

− 4

− 1

2

4

1

F ′ = 2x;

F

′ = 6 y;

F

′ = 4z

x

y

z

F ′

(1,2,1) = 2;

F

′

(1,2,1) = 12;

F ′ = 4

x

y

z

2(x − 1) + 12( y − 2) + 4(z − 1) = 0

или x + 6 y + 2z − 15 = 0 .

А уравнение нормали

x − 1

=

y − 2

=

z − 1

или

x − 1

=

y − 2

=

z − 1

.

2

12

4

1

6

2

Частные производные высших порядков

Пусть функция

z = f (x, y) имеет непрерывные частные производ-

ные

∂z

и

∂z в точке

M (x, y) D( f ) . Эти производные являются функ-

∂x

∂y

∂z

∂z

ных первого порядка

,

, если они существуют называются частны-

∂x

∂y

∂ 2 f

′′

,

′′

;

∂2 z

2

∂x

2 , f x

2

f xx

∂x