Сборник задач по высшей математике

3) Однополостный гиперболоид с полуосями а, Ь, с и осыаОг (рис. 58)

а2 оl 2 с2

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h являют-

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h

4) Двуполостпый гиперболоид с полуосями а,Ь, с и осью Oz (рис. 59)

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h, \h\ > с являются эллипсами

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами.

5) Параболоид эллиптический с параметрами а, Ь, р и вершиной в начале координат (рис. 60)

я2 у2

ао

210

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h (h > О при р > 0, h < 0 при р < 0) есть эллипсы

4 +^ = 2Ph.

a b

Сечения параболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами.

6) Параболоид гиперболический с параметрами а, 6, р и вершиной в начале координат (рис. 61)

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h представляют собой гиперболы

211

Если а = 6, то конус круглый или круговой. Пересечение конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами

а2 Ь2 ~ с2

(при h = 0 эллипс вырождается в точку).

Сечения конуса вертикальными плоскостями х = h и у = h являются гиперболами

К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, направляющие которых — линии второго порядка. Мы ограничимся перечислением цилиндров, направляющие которых расположены в плоскости Оху, а образующие — прямые, параллельные оси Oz.

8)Цилиндры:

(1)Эллиптический (рис. 63)

2 2

a2 + Ь2

Если а = Ь = Д, то цилиндр — круговой х2 + у2 = R.

(2) Гиперболический (рис. 64)

2 _ Г2 _

а2 6г 2

212

натных плоскостей х = 0, у = 0, z = 0. Другими словами, приведенные формулы представляют параллельный сдвиг поверхности на вектор

ОМ = (хо,Уо, zo).

Метод параллельных сечений

Если задано уравнение той или иной поверхности, то возникает задача исследования ее формы и расположения относительно координатных осей. Для решения этой задачи обычно применяют метод параллельных сечений: поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными плоскостям координат. Форма и размер полученных сечений позволяют выяснить геометрическую форму самой поверхности.

Пересечение поверхности с плоскостью

Линию в пространстве Е3 можно определить как пересечение двух поверхностей. Таким образом уравнение линии можно записать в виде

Для исследования этой линии удобно воспользоваться цилиндром, проектирующем ее на ту или иную координатную плоскость. Если, например, проектируем линию на плоскость Оху, то исключим z из системы и получим уравнение tp(x, у) = 0. Оно изображает направляющую проектрующего цилиндра на плоскость Оху. В зависимости от того, будет ли <р(х,р) = 0 эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых — изучаемая линия сохранит соответствующее название.

5.5.1. Составить уравнение сферы с центром в точке Мо(—5;3;2) и касающейся плоскости 2х — 2у + z — 4 = 0.

213

О Для составления уравнения сферы нужен ее радиус. В данном случае Д — расстояние от Mq ДО плоскости:

д ^ |(—5) -2 — 2 - 3 + 2 — 4| ^

га2 + Ь2 + с2 = Д2, (2 - а)2 + Ь2 + с2 = Д2,

(1 — а)2 + (1 — Ь)2 + с2 = Д2,

k (1 — а)2 + Ь2 + (1 + с)2 = Д2.

После возведения в квадрат, приведения подобных слагаемых

214

5.5.5. Составить уравнение сферы если:

1) точки А(3; —2; 6) и В(5; 2; —2) являются концами одного из

еедиаметров;

2)имеет центр в точке Мо (5;0;3) и проходит через точку Л(4;1; - 1);

- у + 3z + 23 = 0;

5)она симметрична сфере (х — I)2 + (у - З)2 + (z + 4)2 = 46 относительно плоскости Зх + у - 2z = 0;

6)она проходит через точки А( 1, —6, - 2), J3(4; - 3 ; 2),

каем поверхность плоскостями z = h параллельными координатной плоскости Оху.

215

=T " L

При \h\ < 2 эти уравнения не имеют изображения (мни-

мые эллипсы) при h = ±2 они изображают точки (0; 0; 2) и

(0; 0; —2), а при \h\2 >2 получаются эллипсы т

•J R -

Сувеличением |Л| увеличиваются и полуоси эллипсов 4с и

3с, т. е. эллипсы расширяются (рис. 66). Поверхность симметрична относительно плоскости Оху.

Рис. 66

Z Z

2) Перепишем уравнение поверхности в виде yg — if =

=- 1 и пересечем ее вертикальными плоскостями у = I.

При каждом I € (—оо; +оо) соответствующие уравнения описывают гиперболы. В частности, при I = 0 получаем гиперболу,

3) Сечения поверхности плоскостями х = г также гипербо-

Но из пп. 1) и 2) уже можно сделать вывод о строении поверхности: она состоит из эллипсов, «нанизанных» на гиперболу

2 2

Yg - ^ = -1 (/ = 0). Поскольку два сечения, параллельных Oxz и Oyz — гиперболы, а одно — параллельное Оху —-

216

эллипс, то поверхность называется гиперболоидом эллиптическим; для уточнения — двуполостный, ибо состоит из двух отдельных частей (над и под плоскостью Оху). •

5.5.11. Установить тип заданных поверхностей и построить их.

8)х2 = Ъу- 1;

9)2х2 - 4х + у2 - 6у - z2 = 0;

10)2х2 - 7у2 4- llz2 = 0;

11)х 4 2 = у2 - Зу + 3z2 + 6z;

12)х2 = yz.

5.5.12. Определить линию пересечения поверхностей

{х - 4)2 + {у - 7)2 + (z + I)2 = 36 и Зх + у - z - 9 = 0.

О Первая поверхность — это сфера, вторая — плоскость. Они пересекаются или по окружности, или в одной точке, или вовсе не пересекаются.

Найдем расстояние d от центра сферы М0(4; 7; —1) до плоскости Зх + у — z — 9 = 0.

Поскольку d < R (R = 6 — радиус сферы), то плоскость пересекает сферу по окружности.

Центр 0 ( х 1 ;yi;z\) этой окружности расположен на перпендикуляре МоО, опущенном из центра сферы Мо на заданную плоскость (рис. 67).

Уравнение перпендикуляра МоО в параметрической форме имеет вид

х = 4 + 31, 7 / = 7 + *, z = -1-у.

Подставим эти равенства в уравнение плоскости и находим t. 3(4 + 3t) 4- (7 4-1) - ( - 1 - t) - 9 = 0, t = -1.

Подставим t = — 1 в параметрические уравнения перпендикуляра МоО. Находим: х = 1, у = 6, z = 0, т. е. 0(1; 6; 0) — центр окружности пересечения сферы и плоскости.

217

Из АОМ0 А (рис. 67) находим г2 = Я2 -**2 , г2 = 3 6 - 1 1 = 25, г = 5.

Рис. 67

Таким образом получено, что кривая

Г (х — 4)2 + (у — 7)2 + (z + I)2 = 36,

представляет собой окружность радиуса 5 с центром в точке

218

219