Сборник задач по высшей математике

пополам. Поэтому xq

=

^

(х

^ = 5, ?/о =

4

^ 4

= 4.

Записы-

— Ъ)2

(ty — 4)

2

®

ваем уравнение гиперболы: -—

9

=

4.3.65.

Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси

Ох, проходящей через точки М\(6; —1) и М2(-8; —2л/2).

4.3.66.

Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей

координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола

проходит через точку М(4;

Найти расстояние от точки

М до правого фокуса.

4.3.67.

Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентри-

ситет равен 2.

О Уравнения асимптот гиперболы имеют вид у =

Най-

дем отношение а-, воспользовавшись формулами (3.13), (3.14)

и условием е = 2: е

с

\/а2 + Ь2 = 1 / 1+ ^^

. Отсюда

i 2

£2 - 1,

т.е. ^

=

л / ё ^ Т . Имеем: ^

= л/4^Т = л/3.

f ^ V =

'

\а/

а

а

v

Стало быть, уравнения асимптот гиперболы есть ?/ = л/Зж и

?/ = —у/Зх. Угол

между асимптотами найдем по формуле

tg <р =

fc2 - fci

>/3 Ч- л/3

= л/3, ^ = 60°.

l + fcife

1 - 3

(х-2)2

(v_l_3)2

4.3.68.

Составить уравнения асимптот гиперболы

д—

=1,

построить ее.

4.3.69.

Дан эллипс Ъх2 + 8?/2

= 40. Найти уравнение гиперболы, вер-

шины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах

данного эллипса.

У

>г

B\jFi

О

2\JA

ГX

7F

Ь1 = 5,ЪТ = у/ъ. Подставляя найденные значения аг и Ьг

2

у2

в уравнение (3.12), находим ^—

= 1 — искомое уравнение

гиперболы.

2

л.2

•

4.3.70. Дана гипербола fg

3 = 1- Найти софокусный эллипс, про-

ходящий через точку М[4; — ^ ).

Дополнительные задачи

которой перпендикулярны.

2

4.3.84.

Найти расстояние между левым фокусом F\ гиперболы ^—

2

У

- ^ = 1 и правым фокусом F2 сопряженной с ней гиперболы.

4.3.85.

Найти фокальные радиусы точки М(10;3\/б), лежащей на ги-

2

у2

перболе Jq ~~

g =

Найти расстояния от точки М до дирек-

трис.

2

4.3.86.

На гиперболе

— у2

= 1 найти точку М, ближайшую к прямой

2х+у — 2 = 0, и вычислить расстояние от точки до этой прямой.

4.3.87.

Через левый фокус гиперболы х2 — у2 = 8 проведем перпен-

дикуляр к ее оси, содержащей вершины. Найти расстояния от

фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гипер-

болой.

4.3.88.

При каких значениях а прямая у = 2х+а пересекает гиперболу

2

у2

^—

^ = 1? Касается ее?

с

4.3.89.

Составить уравнение гиперболы, зная ее эксцентриситет е —

фокусу (5; 0).

4.3.90.

Составить уравнение гиперболы, зная ее фокусы

F\{—8;2),

F2 (12;2) И расстояние между вершинами, равное 16.

2

4.3.91.

Дан эллипс fj + 5

= 1- Найти уравнение софокусной равно-

бочной геперболы.

4.3.92.

Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9х2 + 25у2 =

= 225. Найти уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет ра-

вен 2.

4.3.93.

Вывести условие, при котором прямая Ах+Ву+С = 0 касается

2

у2

гиперболы

— Ур = 1.

4.3.94.

Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей

координат и касающейся прямой х - у - 2 = 0в точке М( 4; 2).

4.3.95.

Даны точки А ( - 1 ; 0 ) и

В(2;0). Точка М(х]у) движется так,

что в треугольнике AM В угол В остается вдвое больше угла

А. Найти уравнение траектории движения точки М.

4.3.96.

Доказать, что отношение расстояний от любой точки гипербо-

лы до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина

постоянная, равная е.

4.3.97.

Эксцентриситет гиперболы равен 3, фокальный радиус ее точ-

ки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 12. Найти рас-

стояние от точки М до односторонней с этим фокусом дирек-

трисы.

4.3.98.

Доказать, что касательная к гиперболе в ее произвольной точ-

ке М составляет равные углы с фокальными радиусами этой

точки.

4.3.99.

Доказать оптическое свойство гиперболы: луч света, исходя-

щий из одного фокуса гиперболы, отразившись от нее, идет по

прямой, соединяющей точку отражения с другим фокусом.

2

2

4.3.100.

Можно ли к гиперболе ^ — ^ = 1 провести касательные лю-

бого направления? Какое ограничение наложено на угловые

коэффициенты касательных к этой гиперболе?

4.3.101.

Какие линии определяются следующими уравнениями:

1 )у

=

- 2 у ^ Т Т ;

2)

х =

-У^ +

4?

4.3.102.

Чему равен угол между асимптотами гиперболы у2 = 100 + х2 ?

4.3.103.

Чему равна площадь треугольника, образованного асимптота-

ми гиперболы х2 - у2 = 1 и прямой х = 2?

2

«.2

4.3.104.

Проходит ли

гипербола

§Q ~

2 = * ч е Р е з т о ч к и 0(2; 0),

У2 = 2 рх,

( 3 . 2 2 )

где число р > 0, равное расстоянию от фокуса F до директрисы /, называ-

ется параметром параболы. Координаты фокуса

Точка О(0; 0)

Рис. 39

Рис. 40

Уравнение директрисы I параболы имеет вид

Р.

(3.23)

~ ~ 2 '

фокальный радиус вычисляется по формуле

Р

(3.24)

г = х Н—.

2

х2 = 2ру.

(3.25)

Фокусом параболы (3.25) является точка

(3.26)

Уравнение директрисы этой параболы

(3.27)

Фокальный радиус точки М параболы

Р

(3.28)

г = У+ 2'

2) На рисунках 41 и 42 изображены графики парабол у2

= - 2 рх и

х2 = —2ру соответственно.

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43. (у - уо) = 2 р ( х — хо)

Р и с . 4 4 . (у - уо)

= —2р(х - хо)

Рис. 45. (X - х0)2 = 2 р ( у - уо)

Рис. 46. (х - х0)2 = - 2 р ( у - у0)

4.3.105.

Дана парабола х2

= 4у. Найти координаты ее фокуса, уравне-

ние директрисы, длину фокального радиуса точки М(4;4).

О

Парабола задана каноническим уравнением (3.25). Следо-

вательно, 2р = 4, р = 2. Используя формулы (3.26), (3.27),

(3.28) находим, что фокус имеет координаты (0; 1), т.е. F(0; 1);

уравнение директрисы есть у = — 1; фокальный радиус точки

М(4; 4) равен г = 4 + 1 = 5.

•

4.3.106.

Найти вершину,

фокус и

директрису параболы

у =

—2х2 +

+ 8х — 5, построить эскиз графика.

О

Преобразуем уравнение у = — 2х2 +8х — 5, выделив в правой

части полный квадрат:

у = —2^х2

+

= -2(х2-4х + 4 - 4 + ^

=

=

-2[(Х-2)2-1)=-2(Х-2)2

+

3,

т.е.

Уравнение директрисы у = 3 + ^

= 3 -I- g, т.е.

2/ = зА. График изображен на рис. 47.

•

4.3.109. Найти уравнение касательной к параболе у2

= Ах, проведенной

из точки А(—2; - 1) .

О Уравнение прямой будем искать в виде

у = кх + Ь.

(3.29)

-1 = -2 к + Ъ.

(3.30)

^ = (кЪ — 2)2

— к2Ь2

= 0 или АкЬ = 4,

Ь=у.

(3.31)

4

к

f *i = l,

ffc2 =

- l / 2 ,

\bi = 1

И \Ъ2 = - 2 .

Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи.

Их уравнения: у = х + 1 и у = - | - 2 .

•

4.3.110.

К параболе у2 = Ах проведена касательная параллельно пря-

мой 2х — у + 7 = 0. Найти уравнение этой касательной.

4.3.111.

При каких значениях к прямая у = кх — 1 пересекает параболу

у2 = - 5 х ? Касается ее?

4.3.125.

Найти уравнение линии, все точки которой одинаково удалены

от точки 0(0; 0) и от прямой х + 4 = 0.

4.3.126.

Найти уравнение прямой, которая проходит через вершину па-

раболы у = —2х2 — бх — 4 параллельно прямой 2х - у + 3 = 0.

4.3.127.

Дана парабола у2 = 12х. Найти длину ее хорды, проходящей

через точку А(8;0) и наклоненной к оси Ох под углом 60°.

4.3.128.

Составить уравнение касательной к параболе у2 = Збх, прове-

денной из точки л4(1; 10).

4.3.129.

К параболе у2 = 36х проведены из точки А( 1; 10) две касатель-

ные. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

болы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на

которой лежит отраженный луч.

4.3.133.

Дана парабола у2 = Ах. Через точку

провести такую

хорду, которая делилась бы в этой точке пополам. Составить

уравнение этой хорды.

4.3.134.

Показать, что фокус параболы и точки касания двух касатель-

ных к параболе, проведенных из любой точки директрисы, ле-

жат на одной прямой.

4.3.135.

Каково будет уравнение параболы у2 = 4х, если ее ось симме-

трии повернуть на 90°? на 180°? на -90°?

4.3.136.

Каково уравнение параболы с вершиной в точке (0;0), если

уравнение ее директрисы 2у + 7 = 0?

4.3.137.

Найти фокус и директрису кривой, заданной параметрически

1 = ? >

4.3.138.

Решить графически систему уравнений

I х2 + у = 4,

\ х + у2 = 9.