Сборник задач по высшей математике

2.

Прямая у = кх + 4 удалена от начала координат на расстояние

d = УЗ. Найти значение к.

3.

Даны

последовательные

вершины параллелограмма ABCD:

А(—2; 5), В(2; 7), С(—4; - 3) . Найти координаты четвертой вершины

D и написать уравнение диагонали BD.

4.

Найти

уравнение прямой,

содержащей диаметр окружности

х2 + у2

— 6х + 4у + 8 = 0, перпендикулярный прямой х — Sy -I- 2 = 0.

d = у/(х2

- xi)2 + (г/2 - у\)2

+ (z2 - zi)2.

(1.1)

Координаты (x;y;z)

точки М, делящей в заданном отношении А

=

) 0ТПРез0К

(A(x\\y\-,z\),

B(x2;y2;z2)),

определяются по

X I + A S 2

VI +

_ zx + \Z2

1 + А '

У ~ 1 + А '

1 + А •

ются формулы для определения координат середины отрезка

Zi + z2

(л Qv

X =

XI +х2

, У =

2/1 + У2

,

= — - — .

(1.3)

5.1.1.

На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек А (2; 3; 1)

и В ( - 1 ; 5 ; - 2) .

О Точка М, лежащая на оси Оу, имеет координаты М(0; у; 0).

По условию задачи \АМ\ = \ВМ\. Найдем расстояния \АМ\ и

\ВМ\, используя формулу (1.1):

\АМ\ = у/(0 - 2)2 +

(у - З)2

+ (0 - I)2 = v V - by +

14 ;

\ВМ\ = у/(0 + I)2 + {у - 5)2 + (0 + 2)2 = >/у2 - Юу + 30 .

Получим уравнение

у/у2 - 6у + 14 = у/у2 - 102/ + 30 .

Отсюда находим, что 4у = 16, т. е. у = 4. Искомая точка есть

М(0;4;0).

•

5.1.2.

Найти координаты точки на плоскости Оху, равноудаленной

от трех точек: А{4; 0; 2),

В{-1; 2; 4), С( 1; 1; - 3) .

5.1.3.

Показать, что треугольник с вершинами в точках А(—3; 2; 4),

В(0; —2; —1), С( 1; 5;9) равнобедренный.

5.1.4.

Отрезок АВ разделен на 3 равные части. Найти координаты

точек деления, если известны точки А(—2; 4; 1) и В(2; —4; —3).

О Обозначим точки деления отрезка АВ в следующем поряд-

ке: С и D. По условию задачи \АС\ = \CD\ = \DB\. Поэтому

точка С делит отрезок АВ в отношении А = ^. Пользуясь фор-

мулами (1.2), находим координаты точки С:

- 2 + 1 - 2

2

- ( - 4 )

4

Х с = _ Г Г Г = ~ з '

1 + 1

= з '

1 + \ ' ( - 3 )

1

Имеем,

— ^. По формулам (1.3) находим координаты

точки D — середины отрезка С В :

- 1 + 2

2

| — 4

4

- 3

5

X D = ^ ~ = 3 '

^ =

2

= _ 3 '

^ =

= ~ 3 '

т.е. точка D имеет координаты (§5

~ з ) -

®

5.1.5.

Дана точка А(3; —4; 2). Найти координаты точки, симметрич-

ной данной относительно координатных плоскостей, осей коор-

динат, начала координат.

5.1.6.

Дан треугольник

с

вершинами в

точках

А(5;2;4),

В(—3;6;0),

С(3; 2; — 4). Найти длину его медианы, проведенной из вершины

А.

5.1.7.

В точках A^x^y^zi), A2(x2\y2\z2),

А3 (х3 ;2/3 ;*3 ), А4 (х4 ;2/4^4)

сосредоточены

соответственно массы mi,

т 2 ,

т 3 , 7714.

Найти

координаты центра тяжести системы этих масс.

О Как известно из курса физики центр тяжести масс mi и

7712, помещенных в точках А и В, делит отрезок АВ на части,

обратно пропорциональные массам, сосредоточенным на кон-

цах отрезка (Л =

Исходя из этого, найдем сначала центр

тяжести Mi(x'; уz')

системы двух масс mi

и т 2 , помещенных

в точках А\ и А2:

/

х1т1+х2т2

Xl +

4

—

х —

Ш 1 + Ш 2

'

1 + Ш

,

_ У1ГП1 + у2т2

, _ Zimi + z2m2

7711 + 7712

'

т1

+ т2

Центр тяжести системы трех масс mi, т2 и т3 находим ана-

логично (Л =

— — ) :

v

mi + т 2 '

п =

Х' +

mi+m2X3

= х1т1 +Х2ТП2

+ Х3ТП3

^ i f e

m i + m 2 + m 3

'

„ _

2/i mi +2/2Ш2 + узтп3

„ _ zxm\ + z2m2 + *3m3

mi + 77i2 + 7713

'

mi + m2 + m3

Находим, наконец, центр тяжести системы трех масс mi, m2 ,

m3 и m4

(Л =

га*

):

v

mi + 7712 -h m3

у

=

+ m1+m2+m3X4

=

+ Х2ТП2 + Х37713 + X4m4

1 +

m i + ^ + m 3

m i + m 2 + m 3 + m 4

У =

2/i™i + y2m2 +

узгпз + 2/4Ш4

>

1

;

1

mi + 7712 + 771 з + 7714

^

Z —

2i77ii + 22m2 +

+ ^4m4

.

mi

+ 7712 + m3 + m 4

•

5.1.8.

Показать, что

треугольник

с вершинами

в

точках

А(8;0;6),

В(2; —4; 2), С(6; —6; —2) прямоугольный.

5.1.9.

Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами

в точках А{2; 5;0), Я(11;3;8), С(5; 1; 12).

5.1.10.

Центр

тяжести

однородного стержня находится

в

точке

М( 1; —1; 5), один из его концов есть А(—2; —1; 7). Найти коор-

динаты другого конца стержня.

5.1.11.

Найти координаты точки на оси Oz, удаленной от точки

М(—2; —1;4) на 3 единицы.

5.1.12.

Даны

вершины треугольника А(1;—1;3),

В(—5;2;— 6),

С(2; 1; — 2). Найти длину биссектрисы его внутреннего угла при

вершине А.

5.1.13.

Лежат ли на одной прямой точки А(2;-3;1), £(0; —11;3) и

С(4;5; - 1)?

5.1.14.

В каких октантах могут быть расположены точки, координаты

которых удовлетворяют одному из следующих условий:

1) х - у = 0;

2) x + z = 0;

3)

ху

> 0;

4)

xyz < 0?

5.1.15.

Найти центр и радиус сферы, которая проходит через точку

А(4; —1; —1) и касается всех трех координатных плоскостей.

5.1.16.

Найти расстояние от точки А(3; —4; 5) до начала координат и

до осей координат.

5.1.17.

Даны две вершины параллелограмма ABCD: А(1;1;—1),

В(—2; 3; 0) и точка пересечения его диагоналей М(4; 0; 3). Най-

ти координаты вершин С и D.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

5.1.18.

Найти радиус сферы, проходящей через точки (0; 0; 0), (2; 0; 0),

(0;3;0), (0; 0; 6).

5.1.19.

Проверить, что три данные точки А(1;—5;3),

В( 5; — 1; 7) и

С(6; 0; 8) лежат на одной прямой.

5.1.20.

Доказать, что прямые, соединяющие середины противополож-

ных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в

ней пополам.

5.1.21.

Где расположены точки А(0; 0; z), В(х; 0; z), С(0; у; z)?

5.1.22.

Чему равно расстояние от точки А(—12; —3; 4) до оси Ох?

5.1.23.

Ребро куба равно 1. Найти длину отрезка, соединяющего сере-

дины двух скрещивающихся ребер.

5.1.24.

Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса

точки М равняться 1? 2?

Поверхность может быть задана уравнением

F ( x w z ) = 0,

(1.4)

или, например, уравнением z = J{x\y) (у = <p(x;z),

х = ф(у,г)).

Уравнение вида

(1.5)

F(x;y) = 0

нений

,

\F1{x',y,z)

= 0,

\F2 (x;y;z)

= 0

x = x(t), y = y(t),

z = z(t), t £ [a; 6].

(1.7)

5 . 1 . 26 . Найти уравнение сферы радиуса R с центром в точке 0\ (а; 6; с).

О В прямоугольной системе координат Oxyz точка 0\ —

центр сферы — имеет координаты а, 6 и с. Пусть М(х; у\ z) —

произвольная точка сферы. Тогда 0\М = Д, или (см. (1.1))

у/(х - а)'2

+ {у- б)2 + (z - с)2 =

R .

Окончательно получаем уравнение сферы

(х - а)2 +

(у - Ь)2 + (Z-C)2=R2.

•

5.1.27.

Найти координаты центра и радиус сферической поверхности,

заданной уравнением х2 + у2 + z2 - 2х -I- 6z — 6 = 0.

5.1.28.

Как расположены точки А(0; 5; 7), В(-3; 4; 0), С(0; 0; 6) относи-

тельно сферы х2 + у2 -I- z2 + 2х — 4у — 6z — 11 = 0?

5.1.29.

Какую поверхность определяет уравнение х2

Ч-у2 + 4х — 10у +

+ 28 = 0?

О Уравнение имеет вид (1.5), определяет цилиндрическую по-

вехность с образующими, параллельными оси Oz\ направляю-

щей служит кривая х2

+ у2 + 4х — 10у + 28

= 0, лежащая в

О

/

- у

V—'

5

У

Рис. 49

5.1.30. Какие геометрические образы

определяются следующими

уравнениями:

х — a cos t,

y = asmt,

t еШ.

•

f

Z =

JL +

2тгh

{

х2 + у2 + z2 - 6х = 0,

у - 2 = 0?