Сборник задач по высшей математике

15 15 = 0. Запишем систему уравнений, соответствующую

ОО

Так как

г{А) = 2фЪ = г(А\В),

то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответ-

61

2.1.18.4xi + 2х2 + Зх3 + х4 = 8,

3xi + 5x2 + хз + Х4 = 15, 7xi + 4х2 + 5х3 + 2х4 = 18.

62

Х>1 — 2X2 + Х3 — Х4 + 3X5 = 2,

2.1.19. < 2xi — 4x2 4- Зхз — 2x4 + 6х5 = 5, 3xi - 6х2 + 4хз - 3x4 + 9x5 = 7.

(9xi — Зх2 + 5хз + 6x4 = 4,

6xi - 2х2 + Зх3 + 4х4 = 5, 3xi - Х2 + Зхз + 14x4 = - 8 .

2.1.21. Исследовать систему из п линейных уравнений, найти общее и

i XI + Х2 + Х4 + . . . + Хп = п — 3,

Х1+Х2 + ••• + x„_i = п — 3.

О Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

63

Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

xi = -1, Х2 = 1, хз = 1,

хп = 1.

Очевидно, эта система совместна и определенна, единственное решение (—1; 1; 1;...; 1).

Ответ, система совместна и определенна; общее решение (оно же частное решение) (—1,1,1,..., 1). •

Исследовать систему из п линейных уравнений, найти общее и одно частное решение:

64

2.1.26. Исследовать систему линейныхс уравнений в зависимости от па-

раметра А. В случае, когда система совместна, найти общее и одно частное решение:

I 2xi — ^2=8,

I 4xi — 2х2 = Л.

О Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

на. Полученной расширенной матрице системы соответствует уравнение 2xi — x<i — 8. В качестве главной переменной можно взять, например, Х2 = 2х\ — 8. Обозначая свободную переменную х\ через t, получим общее решение системы: (t; 2t — &). Частное решение системы получим, например, при t = 0: (0; —8). Ответ. При А ф 16 система несовместна; при А = 16 система совместна и неопределенна, общее решение (t\2t — 8), частное решение (0; - 8) . •

Исследовать системы линейных уравнений, зависящих от параметра А. Для совместных систем найти общее и одно частное решение:

5 - 2361

66

2.1.65. Что можно сказать о множестве решений системы линейных уравнений с матрицей А и расширенной матрицей (А\В), если

г(А) > г(А\В)?

2.1.66.Может ли частное решение системы линейных уравнений совпадать с ее общим решением?

2.1.67. Возможно ли, чтобы система линейных уравнений с матрицей

Аимела то же множество решений, что и система с матрицей

Ат , если:

а) А ф 0; б)

в) А ф Ат, система однородная; г) А ф Ат, система не однородная, совместная?

2.1.68. Может ли множество решений системы линейных уравнений состоять ровно из одного решения? из двух решений? из 17-ти решений?

2.1.69. Решить систему линейных уравнений с четырьмя параметрами а, Ь, с и d:

*-х + у + z + t = а, x-y + z + t = b, х + у — z + t = с, ^x + y + z — t = d.

2.1.70. Доказать, что система п линейных уравнений с п — 1 неизвестными совместна тогда и только тогда, когда равен нулю определитель расширенной матрицы.

2.1.71. Как выглядят решения совместной системы линейных уравнений, если все столбцы расширенной матрицы, кроме первого, пропорциональны?

2.1.72. Что можно сказать о матрице совместной системы линейных уравнений, если в любом ее решении неизвестное Xk принимает одно и то же значение?

2.1.73. Что можно сказать о матрице совместной системы линейных уравнений, если в любом ее решении неизвестное Xk принимает значение 0?

2.1.74. Решить систему из 2п линейных уравнений

-х\ - х2 - хз - ... - х2 п -2 + Х2п = а 2 п - ь

- X i - Х2 - Х з - ... - Х2п-1 = а2п-

69