Сборник задач по высшей математике

3.1.53.

Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с. При каком значе-

нии Л векторы ХА + Ь + с, А + АЬ + с, а -I- 6 + Ас компланарны?

3.1.54.

Разложить вектор £ = а + б + с по трем некомпланарным век-

торам га = а + Ь — 2с, п = а — Ь, р = 26 4- Зс.

3.1.55.

В треугольнике ЛВС прямая AM является биссектрисой угла

ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти AM, если

АВ = Ъ,АС = с, \Ь\ = 2, |с| = 1.

3.1.56.

Найти вектор я, направленный по биссектрисе угла между век-

торами а = 7i — 4j — 4fc и b = —2i — j + 2fc, если

= 5\/б.

Указание, х = А • (6 +а°) .

3.1.57.

Какому условию удовлетворяют векторы а и 6, если:

1) |а + Б| > |а — 5|;

2) ja + S| < |S-S|;

3 ) \а + b\ = \а\ + |6|;

4) |а + 5| = |а|-|5|?

3.1.58.

Изменится ли сумма компланарных векторов, если все слагае-

мые векторы будут повернуты в одном и том же направлении

на один и тот же угол?

3.1.59.

Дать геометрическое построение разложения вектора а на два

компланарных с ним слагаемых, если известны: а) длина и на-

правление одного слагаемого; б) направление обоих слагаемых;

в) направление одного и длина другого слагаемого. (Иссле-

довать, когда разложение возможно, сколько имеет решений,

если ни одно из слагаемых не параллельно а.)

3.1.60.

В разложении вектора с = Ai -а+А2 -Ь по двум неколлинеарным

векторам а и Ь могут ли оба коэффициента Ai и А2

или один из

них равняться нулю?

3.1.61.

Могут ли векторы а = (—2; 1; —2), Ь = ( - 2 ; - 4 ; 4), с = (4; 3; —2)

быть сторонами .треугольника?

3.1.62.

Коллинеарны ли векторы А и 6, если коллинеарны векторы А+Ъ

и а —Ь?

3.1.63.

Может ли вектор составлять с координатными осями углы 30°,

120°,

60°?

3.1.64.

Следует ли из равенства АВ = DC равенство AD = ВС?

3.1.65.

Может ли угол между векторами равняться: 0°; 45°; 180°; 270°?

3.1.66.

Как следует направить векторы а и 6, чтобы длина вектора

а + Ь была наибольшей? наименьшей?

3.1.67.

Каково взаимное расположение точек А, В, С, если:

1) векторы АС и АВ коллинеарны;

2) АС = СВ-

3) АС = -±СА?

3.1.68.

Какому условию должны удовлетворять векторы а, Ь и с про-

странства, чтобы из них можно было образовать треугольник?

а-Ь= \a\-\b\- cos

(2.1)

Рис. 8

Формулу (2.1) можно записать в виде

a-b=\a\- nps b

или

а • b = |6| • пр^ а.

(2.2)

Свойства

скалярного произведения:

1. a b = b

а (перестановочность);

2.

а • (5 + с) = а • b + а • с (распределительность);

3.

(Аа)

b = А (а • 5) (сочетательность по отношению к скалярному

множителю);

4.

а2 = |а|2

(скалярный квадрат вектора а равен квадрату его моду-

5.

а • b

=

0

a JL b

(ИЛИ а

= 0, или b = 0).

В частности:

Ь = ( Ь * А ; Ь Д т о

_

+ azbz.

(2.<з)

а • b = axbx + ayby

3.2.1.

Векторы а и b образуют угол (р =

Зная, что \а\

= 10 и

|5| = 2, вычислить (а + 26) • (За — Ь).

О Согласно свойствам скалярного произведения

(А + 25) • (За - 5) = За2 -f ЪАЬ - 2 F =

= 3|а|2 + 5|а| • |5| cos fab) - 2\b\2 =

= 3 • 100 + 5 • 10 • 2cos

- 2 • 4 = 300 - 50 - 8 = 242. •

о

3.2.2.

Дано: \а\

= 2,

|6|

= 1, у? = (а, 6) =

Найти модуль вектора'

с — 2а — 36.

_

3.2.3.

Дано: \а\ = 3,

|6| = 4,

= (а, 6) = 120°. Найти модуль вектора

3.2.4.

с = За + 26.

Выразить

длины

медиан произвольного треугольника через

длины его сторон.

О

Рассмотрим

треугольник

ABC. Пусть AD — одна из ме-

диан треугольника (рис. 9). Вве-

дем

в

рассмотрение

векторы

АВ = с, АС = b к AD = т.

Тогда

т

= 1(6 + с). Возведем

обе части равенства в квадрат:

_

1/L2

+ 26-с+с

), т.е

Рис. 9

т =

|(6

далее |ш| = \ \ / Щ 2 + 2|с|2 - |а|2.

3.2.5.

Проверить, могут ли векторы а = 7i + 6j — 6fc, 6 = 6г -f 2j + 9fc

быть ребрами куба. Найти третье ребро куба.

О Векторы а и 6 можно принять за ребра куба, если они ор-

тогональны и имеют равные длины. Проверим это: а • 6 = 7 • 6 +

+ 6 - 2 - 6 - 9 = 42+12 - 54 = 0, значит a JL 6; \а\ = л/49 + 36 + 36 =

= 11, |6| = V36 + 4 + 81 = 11, значит \а\ = |6|.

Найдем третье ребро с =

(х; у; z) куба. Так как a JL с, то

а • с = 0 , т. е. 7х + 6у - 62; = 0 ;

так как 6 JL

с, то 6 • с = 0 , т. е.

6х + 2у + 9z = 0; из равенств

\с\ = \а\ =

|6| = 11 вытекает,

Z2 — 2. Тогда xi = 6, Х2 = —6 и 2/1 = —9, у2

— 9. Таким образом,

с = ±(6г-9] -2к).

•

ного на векторах a =

2i+jnb =

—j + 2 к.

3.2.7.

Найти вектор х, зная,

что х La,

а= (1; 0; 1), х JL 6, Ь= (0; 2; —1),

проекция вектора х на вектор с = (1; 2; 2) равна 1.

а) внутренний угол при вершине С;

б ) п р ^ С Я .

_

А

18

С В - С

3 1 + 1 - 3 + ( - 4 ) • ( - 3 )

,

COS 0? = — = = - =

= — — -

- = ,

У

\CB\-\CA\

V26-V19

V494

ip = arccos

18

V494 '

б) Согласно формуле (2.2)

п п

г я

С В С А

18

т.е. (6 + А(с — Ь)) • (с — b)j= 0. Получаем Ь-(с-Ь) + А - ( с - bf = О,

откуда находим А = —

- ^. Найденное значение А подста-

вляем в выражение для вектора h:

я = 6 + М Ь - с )

-

#

\с-Ь\

3.2.13.

Единичные

векторы ё\,

ё2, ёз

удовлетворяют условию

ё>\ + ё2 + ёз = 0. Найти ё\ • ё2 +J2 • ёз -Ьёз • ё\.

3.2.14.

Дано: \а\ — 3, |5| = 2, |с| = 5, (а, 5) = (5,с) = векторы а, Ь и

с — компланарны. Найти модуль вектора d = а + b — с.

3.2.15.

Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к оси Oz и удо-

влетворяет условиям х - а = 9, х • Ь = —4, где а =

(3; —1;5),

Ь = ( 1 ; 2 ; - 3 ) .

Дополнительные задачи

3.2.16.

Показать,

что

четырехугольник

с

вершинами

А(—5;3;4),

В ( - 1 ; - 7 ; 5), С(6; - 5 ; - 3 ) и J9(2; 5; - 4 ) есть квадрат.

3.2.17.

Доказать, что вектор d = с • (Ь • а) - а • (Ь • с) перпендикулярен

вектору Ь.

3.2.18.

Найти вектор 6, коллинеарный вектору а = г -h 2j — Зк и удо-

влетворяющий условию b • а = 28.

3.2.19.

Дано: а = 4г - ] - 2fc, b = (2; 1; 2). Найти:

а)

а • Ь;

б)

(<ГЬ);

в) пра 6;

Г)

пр^ а.

3.2.20.

Какую работу производит сила F = (2; —1; - 4), когда точка ее

приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки

А{1- - 2 ; 3) в точку Б(5; - 6; 1).

F i = i —j + k и F2 =

3.2.21.

Найти работу

равнодействующей

сил

= 2i + j + 3fc при перемещении ее точки приложения из начала

координат в точку М(2; — 1; — 1).

3.2.22.

При каком значении А векторы b = Xi — bj + 3fc и с = i + 2j - Xк

взаимно перпендикулярны?

3.2.23.

В треугольнике ABC вершины имеют координаты А(\ \ 1; — 1),

В(2; 3; 1), С(3;2;1). Найти:

а) длины сторон;

б) внутренние углы;

в) острый угол между медианой BD и стороной АС.

3.2.24.

Найти углы между осями координат и радиус-вектором точки

М( - 2;3;1) .

3 . 2 . 2 5 .

Д о к а з а т ь , что д л и н ы векторов а и Ь равны, е с л и векторы а+ Ь

и a —b перпендикулярны .

3.2.26.

Найти проекцию вектора а = (\/2; - 3; —5) на ось, составляю-

щую с координатными осями Ох и Oz углы а = 45° и 7 = 60°,

а с осью Оу — острый угол /?.

3.2.27.

Даны точки А(3; 4; —2) и В(2; 5; —2). Найти проекцию вектора

АВ на ось, составляющую с осями Ох и Оу углы а = 60° и

/? = 120°, а с осью Oz — тупой угол 7.

3.2.28.

Векторы АВ -2а- 66, ВС = а + 76, СА = - За - b образуют

треугольник ABC; векторы а и b — взаимно перпендикулярные

орты. Найти углы треугольника ABC.

3.2.29.

Зная, что а + b + с = 0, |а| = 3, \b\ = 1, \с\ — 4, вычислить

a-b + b- c + c-а.

3.2.30.

Найти угол между биссектрисами углов Оху и Oyz.

3.2.31.

Какой угол образуют единичные векторы а и Ь, если известно,

что векторы m = a+2b и п = 5а—46 взаимно перпендикулярны.

3.2.32.

Векторы а, 6, с имеют равные длины и попарно образуют рав-

ные углы. Найти

координаты вектора с, если а = ( 1 ; 1 ; 0 ) ,

Ь = (0; 1; - 1) .

3.2.33.

Доказать, что точки А(-3; - 7 ; - 5), В(0; - 1; - 2 ) и С(2; 3; 0) ле-

жат на одной прямой, причем точка В расположена между точ-

ками А и С.

3.2.34.

Даны радиус-векторы трех последовательных вершин парал-

лелограмма ABCD:

г А = 2г + 2 j + fe, f^ = г + 3j + 5fc, re =

= 7i + 9j + life. Определить радиус-вектор четвертой верши-

ны D.

3.2.35.

К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1,

2, 3 и направленные по диагонали граней куба, проходящим

через эту вершину. Найти величину равнодействующей этих

трех сил.

3.2.40.

Используя единичные векторы ё\,

ёз, доказать, что для вся-

кого треугольника ABC справедливо неравенство

3

cos А + cos В + cos С ^ z-.

3.2.41.

Следует ли из равенства а- ё = Ь-ё, где ё — единичный вектор,

равенство векторов а и 6?

- 2

_ - 2

3.2.42.

Каков

геометрический

смысл равенства

(а + 6)

+ ( а — 6)

=

= 2 (а2

+ Ь2)?

3.2.43.

Доказать, что — a b ^ a

b^.ab; в каких случаях здесь имеет

место знак равенства?

3.2.44.

Пусть a, b и с — ненулевые векторы. При каком их взаимном

расположении справедливо равенство: (а • Ь) • с = а • (Ь • с)?

3.2.45.

Можно ли говорить о скалярном произведении трех векторов?

О скалярном кубе вектора?

3.2.46.

Изменится ли скалярное произведение двух векторов, если к

одному из них добавить вектор, перпендикулярный к другому

сомножителю?

3.2.47.

Коллинеарны ли векторы с\ = 2а+46 и С2 = 36—а, построенные

по векторам а = (1; - 2; 3), b = (3; 0; - 1)?

3.2.48.

Равносильны ли следующие два равенства:

а) а = b и аа = ab;

б)

а = Ьиа с = Ь

с]

в ) а = 6 и а + с = 6 + с?

3.2.49.

Какова длина отрезка MJV, если MN2 = 16?

3.2.50.

Какой угол образует вектор а = (cos a; sin а) с вектором г?

3.2.51.

Как расположены

прямые АВ

и АС,

если

(АВ + АС)2

=

=

(АВ

- АС)2?

|с| = \а\ • |Ь| • sin (р, (р= (а,Ь);

(3.1)

Если векторы а и b заданы своими координатами а

= {ax\ay\az),

b =

(bx;by]bz),

то

г

j

к

ау

az

а>х az

a>x

ay

axb

— ах

ау

az или

axb = ^

5

5

2)

by

bz

bx bz

bx

by

bx

by

bz

S = \axb\.

(3.3)

Векторное произведение может быть выражено формулой

а х b = 5 • е,

(3.4)

Следовательно,

|(2а + 36) х (а - 46)| = | - ll(s х 6)| = 11 • |а х 6| = 11 • 6 = 66. •

3.3.2.

Найти координаты вектора а х (2а -I- 6),

если а =

(3; —1; —2),

Ь = ( 1 ; 2 ; - 1 ) .

3.3.3.

Даны векторы а = % + 2j — 3к,

6 = —2i + j + к.

Найти: с =

= (а — 6) х (26);

3.3.4.

Дано: |а| = 1, |6|=2, (а,6) = |тг. Найти: |ах6|; |(а+26) х (-а+36)|.

3<3i5>

Найти площадь треугольника с вершинами А(1;2;0),Б(3;2;1),

С(-2;1;2).

О Площадь 5 треугольника ЛВС

равна половине площади

параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС. т.е.

S = т}\АВ х АС\. Имеем: АВ — (2;0; 1), АС = ( - 3; —1; 2). Тогда

(см. (3.2))

АВ х АС

1

5

2

1

5

2

0

0

- 1

2

- 3

2

- 3

- 1

т.е. АВ х АС = (1; - 7 ; - 2) . Следовательно, S = i \ / l + 49 + 4,

S=2^6.

•

3.3.6.

Найти площадь треугольника, построенного на векторах а =

= г - 2J + Ък и 6 = 5j - 7к.

3.3.7.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

а = ( 8 ; 4 ; 1 ) и Ь = ( 2 ; - 2 ; 1 ) .

3.3.8.

Векторы а и 6 образуют угол 45°. Найти площадь треугольни-

ка, построенного на векторах а — 26 и За + 26, если |а| = |6| = 5.

3.3.9.

Сила F = (2;—4;5) приложена к точке 0(0;2;1). Определить

момент этой силы относительно точки А(—1; 2; 3).

О Момент силы F относительно точки

А есть вектор М =

= OA х F. Находим координаты вектора OA и искомого вектора

М: OA = (—1; 0; 2),

*

3

М = OA х F = - 1

о

2

- 4

0

-J

+ к

- 1

0

= 8г + 9j + 4 fc,

- 4

2

- 4

а )

2г(] х к) + 3j(i х к) + 4 к (г х J);

б)

(а + Ь + с) х с + (а + Ь + с) х Ь + (Ь - с) х а;

енного на векторах а = к — j, b = i + j + к.

3.3.25.

Вычислить синус угла, образованного векторами а = (2; - 2 ; 1)

и Ъ= (2;3;6).

3.3.26.

Даны вершины треугольника А(1; —1; 2), Б(5; —6; 2), С(1; 3; —1).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону

АС.