Сборник задач по высшей математике

1.3.32.

Может ли ранг матрицы быть равным нулю? меньше нуля?

равным 2,5?

1.3.33.

Ранг матрицы А равен г. Что можно сказать о г{2А)1 г(—А)1

г(0 • А)?

1.3.34.

Как может измениться ранг матрицы при транспонировании?

1.3.35.

Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней

одной произвольной строки? Одного произвольного столбца?

1.3.36.

Как может измениться ранг матрицы при вычеркивании одной

строки? одного столбца?

1.3.37.

Доказать, что у матрицы ранга 1 все строки (и столбцы) про-

порциональны.

1.3.38.

Ранг матрицы А равен г\, ранг матрицы В равен г2. Что можно

сказать о г(А + В)1 г(А - В)1

1.3.39.

Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней

одной (такой же как первая) строки?

1.3.40.

Доказать, что каждая матрица ранга 1 может быть предста-

(ЪЛ

влена в виде

(ci

с2

... сп ).

\Ьп)

/ 1

п

п

п\

п

2

п

п

1.3.41.

Найти ранг матрицы

п

п

3

п

V*

п

п

п)

1 ..

.

1\

/ 0

1

1

0

1 ..

..

1

1.3.42.

Найти ранг матрицы размера п х п

1

1

0 ..

..

1

V

1

1 ..

..

о/

1.3.43*.

Доказать, что если С — квадратная

невырожденная

к

и существует произведение матриц С'•А, то г(С •А) =

1.3.44*.

Доказать, что г(АтА) = г(ААт) = г(А).

1.3.45*.

Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от припи-

сывания к ней каждой строки некоторой матрицы В (с числом

столбцов, как у матрицы А), то этот ранг не изменится от при-

писывания к матрице А всех строк матрицы В.

1.3.46*.

Доказать, что любую матрицу ранга г

можно представить в

виде суммы г матриц ранга 1, но нельзя представить в виде

суммы менее, чем г таких матриц.

1.3.47*.

Найти ранг матрицы размера п х п

/ 1 -п

1

1

...

1 \

1

— 71

1

1

1 —

71

1 - 7 1 /

Теорема 1.3. Если квадратная матрица

А — невырожденная (т. е.

det Аф 0), то

А~г

det Л

(4.1)

чала приведем ее к ступенчатому виду Ti

= (Ai|Z?), где матрица А\ —

треугольная, а затем к виду Г2 = (Е|Л- 1 ).

Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей X

записываются следующим образом

А Х = В ,

(4.2)

Х А = В ,

(4.3)

АХС = В.

(АЛ)

О 1) Найдем det А:

6

- 2 •

4

6

+ 3-

4

5

det А = 1 •

5

8

0

7

0

7

8

= - 4 8 - 2 • ( - 42) + 3 • (32 - 35) =

- 4 8 + 84 - 9 = 27 ф 0.

Так как det Аф 0, то матрица А~1

существует.

' - 4 8

24

- 3 )

3) Запишем матрицу А = (Aij)T = j 42

- 2 1

6

- 3

6

- 3 )

' - 4 8

24

-3>

16

А~1 = -

т ^ -

7 - А = ± . ( 42

- 2 1

6

det А

27

6

-3>

Сделаем проверку:

/ _ 16

8

-1 .

А =

1ти

97

1

9

29

w

9

• А~

{(1

2

3 \

1 4

5

6

17

8

о/

Найти

обратную

матрицу

методом

присоединенной

матрицы:

1.4.2.

1 0 0 \

1/3

2 / 3

2 / 3 \

0

1

0

•

1.4.3.

2 / 3

1/3

- 2 / 3 .

0

0

1>/

2 / 3

- 2 / 3

1/3 )

1.4.4.

'1

2

"

\

1.4.5.

2

-

- 3

1

3

2

3

4

5

2

2

- 1

"

4

'

5

-

7

3

0 /

1.4.6.

'3 2 Is\

2

3

1

•

1.4.7.

2

1

3,/

1.4.8.

' 5

3

1 \

1

- 3

"

•

- 5

2

2

1 /

1.4.9.

Найти матрицу, обратную к матрице А ••_

(ац

0-22 J '

ап

а\2

Vfl21

О 1) Найдем

det А =

= CLlld22 — 012^21Матрица

0>21 0>22

А~1

существует, только если det А ф 0.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матри-

цы А:

Ац = a 22j

А12 = —0,21,

А21 =

Ol2j

^22=Gii.

3) Запишем присоединенную матрицу:

А

=

(Ац)Т=( °22

"ai2V

V

l3)

V"a21

а11

J

Итак, для матрицы 2-го порядка присоединенная матрица на-

ходится очень просто — элементы главной диагонали меняют-

ся местами, а элементы побочной диагонали умножаются на

(-1):

_

(о>11

{а>22

А=ГП

CL22J

\-0>21

All ) '

\0>21

4) Найдем обратную матрицу

А~1 =

1

г

=

1

( &22

-«12^

det A

'А

dlld22 —

^12^21 \ ~ а 2 1

0>11 J '

Найти

обратную матрицу,

используя результаты задачи 1.4-9:

1.4.10.

(!з>

1.4.11.

1.4.12.

(Х

' ) •

1.4.13.

1.4.14.

\У

Найти

(методом элементарных преобразований)

матрицу, об-

ратную к данной:

1

1

1

о 0>

- 3

1

1

- 2

0 1 / 1 1 1 : 2

I -

II -

III

1

0

0

5

- 1

0

1

0

- 3

1

= Г2 .

0

0

1

- 1

0

5

- 1

- 3 / 2 '

Итак, А'1 =

| -3

1

1

О

Сделаем проверку:

л

1

1

А ' 1 • А =

1

2

- 1

\2

2

4

/ 5

- 1

- 3 / 2

А • А-1 = I -3 1 1

\ - 1

0

1/2

Найти обратную матрицу

методом элементарных преобразований:

/ 1 0

0 .

. 0

2 - п 1

1 .

..

1 \

0

1 0 .

. 0

1

- 1

0 .

..

0

0

0 1 .

. 0

1

0

- 1 .

..

0

= Г2

= (ElA-1 )

^0 0 0 .

. 1

1

0

0 .

..

/2 - п

1

1

1 \

Итак, А-1

_

1

- 1

О

О

1

О

- 1

О

1

О

О

. . .

- 1 /

det А =

- 1

2

= - 1 # 0 .

2

- 3

О Запишем данное

матричное уравнение

в

виде

АХ С = В.

Его решением является матрица X = А~1ВС~1

(если матрицы

А~1 и С - 1 существуют).

1) Найдем определители матриц А и С:

1

О

= 2 / 0 , det С =

- 1

-

2

=

1 / 0 .

det А = 1

2

2

3

лил

0

det А

2 V

- 1

-

1/2 1/2

V V "

3) Найдем матрицу

2

- 1

- (? =о(л л)-с?;)•

Решить

матричные уравнения:

—

("о1 ! ) • * - ( - •

! ) •

1.4.32.

2^

\ 0 2) Л \ 0

1/2 J - \—2 4;

1.4.33.

X

1.4.34.

1.4.37.

1.4.38.

1.4.39.

1.4.40.

1.4.41.

1.4.42.

1.4.43.

1.4.44.

( 1

2

- 2

4

\

1.4.45.

2

6

1

0

3

0

1

2

\ - 1

4

5

- 4 /

/ 1

0

0

0 .

.

0

0\

а

1

0

0 .

.

0

0

1.4.46.

0

а

1

0 .

.

0

0

(размер п х п).

0

0

а

1 .

.

0

0

\о

0

0

0 .

.

а

У

\

/1

о

а"

ап

О

1

а

<г

i " - 1

1.4.47.

О О

1

а

„п-2

(размер (п + 1) х (п + 1)).

\о о

О

О

•

1 /

/1

2

3

4

п — 1

п

\

0

1

2

п - 2

п - 1

1.4.48.

0

0

1

п — 3

п - 2

0

0

0

0

1

2

\о

о

о

о

0

1 /

(0

1

1

Л

1

0

1

1

1.4.49.

1

1

о

1

(размер п х п).

\1

1

1

... о /

Решить

матричное

уравнение:

1.4.50. х ' ( з

4) "(о

о)-

1.4.52.

Ч4*А)-с.О-

1.4.51.

(

1.4.53.

(

О-©-4-К з>

1.4.54.

(

—5

6

1.4.56.

X

V)О 2 0•'•(= -0 '2

О

1.4.55.

О

2

5

• 6

з)-

'1

0

0\

/ 0

0

1>

кО

0

3 /

\3

О

0;