Сборник задач по высшей математике

Контрольные вопросы и более сложные задачи

50

51

А\ и А2 (размеров тхтипхп соответственно) невырождены, а матрица Ег содержит элементы ац = а22 = ... = аТТ — 1, и все остальные ее элементы равны 0.

1.4.77*. Доказать, что для любой (возможно, не квадратной) матрицы

А уравнение АХ А = А имеет решение.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1. Найти значение матричного многочлена f{A):

f ( x ) = -x3 + 2x2-x + 3, А=

2.Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор.

Вариант 2

1. Найти значение матричного многочлена f(A):

f(x) = х3 - Зх2 + 2х - 2, А =

2.Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор.

52

Вариант 3

Вариант 4

1. Найти значение матричного многочлена f(A):

f(x) = х3 + Зя2 + 2х - 1, А = ^

53

Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

•

§ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ. МЕТОД ГАУССА

^Пусть задана система из т линейных уравнений с п неизвестными Х\,Х2,... ,хп:

' ацХ\ + ai2#2 + • • • + a>i п%п =

d2\Xi + Q>22%2 + • • • + 0>2пХп =

(1.1)

dm\Xi + ат2Х2 + . . . + атпХп = Ь„

где числа ац (г = 1,2, ... , m; j = 1,2, ... , п) называются коэффициентами системы, а числа Ь\,..., Ьт — свободными членами.

ответствующих неизвестных (с\ вместо х\, ... , сп вместо хп) каждое из уравнений системы обращается в тождество.

Если система (1.1) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной; система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают.

Если Ь\ = &2 = • • • = Ьт = 0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Систему (1.1) можно записать в матричной форме:

55

Теорема 2.1 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (1.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы:

г{А) = г(А\В).

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы — выяснить, определенна она или нет. При этом возможны три варианта:

1) Если г (А) < г(А\В), то система несовместна.

2)Если г(А) = г(А\В) = п (где п — число неизвестных), то система совместна и определенна.

3)Если г (А) = г (А\В) < п, то система совместна и неопределенна. Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их ре-

шений можно использовать, например, метод Гаусса:

С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу системы (А\В) к ступенчатому виду (.А'\В')\

где в г-ой строке (г = 1,2, ... , г) самый левый ненулевой элемент обозначен через ана.

Полученной расширенной матрице (А'\В') соответствует система линейных уравнений, эквивалентная системе (1.1). При этом г(А') = г(А), г(А'\В') = г(А\В), и утверждения о том, что полученная система со-

56

вместна (несовместна) и определенна (неопределенна) верны и для системы (1.1).

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то г(А'\В') > г(А'), и система несовместна; иначе (если b'r+1 = . . . = Ь'т = 0)

г = п (где п — число неизвестных), то система определенна, в противном случае (если г < п) система неопределенна.

Базисным минором матриц А' и (А^В') является, например, минор, составленный из элементов этих матриц, расположенных в первых г строках и столбцах с номерами 1, • • • ? К- Назовем базисными (или главными) г переменных х\, Xk2, Xk3, •.., Xkr, а остальные п — г переменных назовем свободными. Без ограничения общности можно предполо-

Запишем систему уравнений, соответствующую расширенной матрице (.А'\В') в следующем виде — перенесем все слагаемые со свободными переменными # r + i , . . . , хп в правую часть:

... ,tn-r. Тогда из последнего уравнения системы (1.2) переменная хг

Подставляя это значение xr в предпоследнее уравнение системы (1.2), получим выражение, однозначно задающее хТ-\ через t\,..., tn-r:

Xr—i — Xr—l(ti) ••• j tfi—r).

57

Продолжая подставлять полученные значения х г , х г - \ , . . . в уравнения системы (1.2), получим выражения, однозначно задающие x i , x 2 , - - . , x r через ti,..., tn-r. Таким образом, каждому фиксированному набору значений свободных переменных #r+i = Ь,...,хп = tn-r соответствует единственное решение системы (1.2) и системы (1.1):

\*п—г J

Общим решением системы (1.1) называется множество всех ее решений, записанных в виде формулы (1.3), выражающей произвольное решение системы в виде функций от п — г свободных переменных.

Из второго уравнения Х2 = 3; подставляя это значение в первое уравнение, получим х\ = 2.

58

Q Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

- 1

О 1 II — I

16 / III + 2 • I

Так как

г{А) = г(А\В) = 2 < 3 = п, то система совместна и неопределенна (т. е имеет бесконечно много решений).

Количество главных переменных равно г (А) = 2, количество свободных переменных равно п — г (А) =3 — 2 = 1. Выберем какой-нибудь не равный нулю минор 2-го порядка полученной матрицы А, например, минор J J . Его столбцы — 1-й и 2-й столбцы матрицы А — соответствуют переменным х\ и Х2 — это будут главные переменные, а хз — свободная переменная. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

+ Х2 - Хз = - 4 ,

Х2 - 2хз = 4.

Теперь для наглядности запишем эту систему в другом виде (слева остаются только главные переменные):

{Xi + Х2 = хз - 4, Х2 = 2хз -I- 4.

Подставляя выражение для Х2 в первое уравнение, получим xi = —хз — 8. Обозначая свободную переменную хз через t, получим общее решение системы: (—t — 8;21 + 4;t). Частное решение системы получим, например, при t = 0: (—8; 4; 0).

59