Сборник задач по высшей математике
.pdf3.3.27. |
Найти вектор х, перпендикулярный к векторам а = (2; —3; 1) и |
|||||||
|
Ь = (1; —2; 3) и удовлетворяющий условию х • (г + 2j — 7к) = 10. |
|||||||
3.3.28. |
Векторы а, Ь и с удовлетворяют условию а + 6 + с = 0. Доказать, |
|||||||
|
что axb — Ъхс — сха. |
|
|
|
|
|||
3.3.29. |
Дано: а = (1; —4; 0), Ь = ( 6 ; 3 ; - 2 ) , с = (1;-2; 2). Найти npff(6xc). |
|||||||
3.3.30. |
Векторы а, |
6, с и |
d связаны соотношениями а х Ь = с х 5, |
|||||
|
а х с = b х d. Доказать, что векторы (а — 5) и (5 — с) колли- |
|||||||
|
неарны. |
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы и более сложные задачи |
|
|||||||
3.3.31. |
Доказать, что точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и |
|||||||
|
только тогда, когда АВ х АС = 0. |
|
|
|||||
3.3.32. |
Доказать, что векторное произведение не изменится, если к од- |
|||||||
|
ному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный дру- |
|||||||
|
гому сомножителю. |
|
|
|
|
|||
3.3.33*. |
Доказать тождество Лагранжа: |
|
|
|||||
|
ai |
bi |
+ а 1 |
С\ + |
bi |
ci |
= |
|
|
а2 |
Ь2 |
а2 |
С2 |
b2 |
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
a\ + b\+ с\ |
а\(12 + b\b2 + С1С2 |
||
|
|
|
|
а\а2 Н- b\b2 + С1С2 |
а\ + Ь\ + с\ |
|||
3.3.34. |
Найти площадь треугольника ABC с вершинами в точках |
|||||||
|
A(xi;yi;zi), |
В(х2\у2', z2), |
|
C(x3;y3;z3). |
|
|||
3.3.35. |
На векторах а = (2; —1; 7) и Ь = (1;0; —4) построен параллело- |
|||||||
|
грамм. Найти высоту, опущенную из конца вектора Ь, и пло- |
|||||||
|
щадь треугольника, образованного этой высотой и сторонами |
|||||||
|
параллелограмма. |
|
|
|
|
|
||
3.3.36. |
Доказать, что для любых векторов а, р, q, f векторы а хр, а х q, |
|||||||
|
ах г |
компланарны. |
|
|
|
|
||
3.3.37. |
Три |
ненулевых вектора |
а, |
5, и |
с связаны соотношениями |
|||
|
а = b х с, Ь = с х а, с = а х Ь. Найти длины этих векторов и |
|||||||
|
углы между ними. |
|
|
|
|
|
||
3.3.38. |
Доказать, что а х (b х с) = Ь • (а • с) — с • (а • Ь). |
|||||||
|
Указание, орт i сонаправить с вектором Ь, орт j — в плоскости |
|||||||
|
векторов Ь и с. Найти координаты обеих частей и убедиться, |
|||||||
|
что они равны. |
|
|
|
|
|
||
3.3.39. |
Вывести формулу для sin(o: — /?). |
|
|
|||||
|
Указание, рассмотреть в плоскости Оху два единичных вектора |
|||||||
|
ё\ и 62, составляющих с осями углы а и /? соответственно; найти |
|||||||
|
ё\ х ё2. |
|
|
|
|
|
|
110
3.3.40.Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь, чтобы векторы За + b и а — ЗЬ были коллинеарны?
3.3.41. При каких значениях а и /3 векторы а = m 4- 7j 4- 3& и b = г4
4/Jj + коллинеарны?
3.3.42. Дано: axc = bx с, сф 0. Можно ли отсюда заключить, что
а = Ь?
3.3.43. Чему равно векторное произведение противоположных векто-
ров?
3.3.44.Чему равно:
а) J х г;_
б) j х (j + k)\_
в ) 2г х (к - 5j)?
3.3.45. Равносильны ли равенства а = Ь и а х с = Ь х с ?
3.3.46*. Даны два вектора а ф 0, b ф 0. Можно ли подобрать вектор х так, чтобы а = Ь х х?
3.3.47.Чему равно векторное произведение коллинеарных векторов? векторов а и (—а)?
3.3.48.Найти:
1)J х г; _
2)2г х bj\ _
3)г х (г + Л).
3.3.49.Верно ли соотношение \а х b\ ^ \а\ • |6|?
3.3.50.Существуют ли такие векторы а и 6, что ах b = b х а?
§4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
^ |
Смешанным произведением трех векторов а, б и с называет- |
|
ся число, равное скалярному произведению вектора a x b на |
|
вектор с. |
|
Обозначение: аЪс. |
|
Таким образом: |
|
abc = (а х Ь) • с |
Геометрически смешанное произведение интерпретируется как число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с как на ребрах. Смешанное произведение векторов a, b и с положительно, если данные векторы образуют правую тройку, и отрицательно — если левую.
Свойства смешанного произведения:
1.(а х Ь) • с = (Ь х с) • а = (с х а) • 5, т. е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов;
2.(а х Ь) • с = а • (b х с), т. е. смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения;
ill
3.abc = —acb = —bac = cba т.е. смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух векторовсомножителей;
4.abc = 0, если a, b и с компланарны (в частности, если любые два из перемножаемых вектора коллинеарны).
Если векторы a, b и с заданы своими координатами а = (ax;ay;az), b= (Ъх]Ьу]Ьг), с — (cx\cy\cz) то
|
|
ау |
az |
|
abc = |
|
Ьу |
bz |
(4.1) |
|
сх |
Су |
Cz |
|
|
|
|
|
|
Если abc > 0, то а, 5, с — правая тройка; abc <0 — левая.
Объем V\ параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с, и объем V2, построенной на них треугольной пирамиды, находятся по формулам
|
Уг |
= |abc|, |
(4.2) |
|
V2 |
= i|afe|. |
(4.3) |
3.4.1. |
Доказать, что четыре |
точки Ai(3;5;l), |
А2 (2;4;7), А3 (1;5;3), |
А*(4; 4; 5) лежат в одной плоскости.
О Достаточно показать, что три вектора А\А2, AiA3, А1А4, имеющие начало в одной из данных точек, лежат в одной плоскости (т.е. компланарны). Находим координаты векторов
МА2, МАъ, А^А4:
АГА2 = (2 - 3; 4 - 5; 7 - 1) = ( - 1; - 1 ; 6); А1А3 = (1 — 3; 5 — 5; 3 — 1) = (—2; 0; 2); 1 ^ 4 = (4 - 3; 4 - 5; 5 - 1) = (1; - 1 ; 4).
Проверяем условие компланарности векторов (свойство 4 смешанного произведения векторов):
|
- 1 |
- 1 |
|
|
|
АгА2 • А1А3 • А1А4 = - 2 |
0 |
= 0 - 2 + 1 2 - 0 - |
2 - 8 = 0. |
|
1 |
- 1 |
|
|
|
Итак, векторы AiA2, А1А3 и А1А4 коллинеарны, следователь- |
|||
|
но точки А\, А2, As, А4 лежат в одной плоскости. |
• |
||
3.4.2. |
Проверить компланарны ли данные векторы: |
|
||
|
а ) а = (1; 2 ^ 2 ) , Ь = (1; - 2 ; 1), с = |
(5; - 2 ; -1); |
|
|
|
б) а = j + к, b = j — к, с = г. |
|
|
|
3.4.3. |
При каком значении А векторы a = г + j + Afc, Ь = |
(0; 1;0) и |
||
|
с = (3; 0; 1) компланарны? |
|
|
|
112
3.4.4.Даны вершины пирамиды А(5; 1; —4), 2?(1;2;—1), С(3;3; —4), 5(2; 2; 2). Найти длину высоты, опущенной из вершины S на грань ABC.
О Так как объем V пирамиды есть V = gS'/i, то h =
где h = |50| — высота пирамиды, S' — площадь основания (рис. 12).
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Находим V: AS = ( - 3; 1; 6), АВ = |
( - 4; 1; 3), АС = |
( - 2; 2; 0). |
||||||||||||||
И согласно формуле (4.3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
|
_ 1 |
|
- 3 |
|
1 |
3 |
|
- 4 |
3 |
|
+ 6 |
|
- 4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
~ 6 |
|
|
2 0 |
|
- 2 |
0 |
|
|
- 2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= i | 1 8 - 6 - 3 6 | = i | - 2 4 | = 4.
Находим S' = S'AABC:
|
S' = \\ABxAC\ |
= ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
= \ I - 6t - 6j - 6fc| = ^ • 6л/3 = Зл/3. |
||||
3.4.5. |
Следовательно, h = |
3^•'л/3 = ^ |
|
|
• |
||
Найти объем |
параллелепипеда, |
построенного |
на |
векторах |
|||
|
g = (1; —2; 1), b = (3;2; 1), с = (1;0; —1). |
|
|
||||
3.4.6. |
Найти высоту |
параллелепипеда, |
построенного |
на |
векторах |
||
|
а = (2; 1; —3), Ь = г + 2j + |
с = (1; —3; 1), опущенную на грань, |
|||||
|
построенную на векторах b и с. |
|
|
|
|||
3.4.7. |
Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах |
||||||
|
а = (1;2; 3), S = (2;4; 1), с = |
(2; - 1;0) . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
113 |
8 - 2361
3.4.8. |
Вычислить (а + Ь + с)(а - Ь — с)(а — Ь + с). |
|
|
|||||||
|
О Используя свойства смешанного произведения векторов, |
|||||||||
|
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(a+b+c)(a—b—c)(a—b+c) |
= ((а+Ь+с) х (а - Ь - с)) - (а - Ь+с) |
= |
||||||
|
= (аха - ахЬ - ахс+Ьха - ЬхЬ - ЬхсН - сха - схЬ - схс)'(а - Ь+с) = |
|||||||||
|
= |
|
(0-axb-axc-axb-0-bxc-axc |
+ |
bxc-0)'(a-b+c) |
= |
||||
|
= ( - 2 а х b - 2а х с) • (а - b + с) = - 2(а х Ь + а х с) • (а - Ь + с) = |
|||||||||
|
|
|
|
= —2(aba — abb + abc + аса — acb + асс) = |
|
|||||
|
|
|
= |
- 2(0 - 0 + аЬс + 0 + abc + 0) = |
-2 • 2abc = -4abc. |
• |
||||
3.4.9. |
Вычислить произведение (а — b)(b — с)(с — а). |
|
|
|||||||
3.4.10. |
Вычислить произведение а(Ь — с)(а + Ь + 2с). |
|
|
|||||||
3.4.11. |
Какую тройку образуют векторы a, b и с: |
|
|
|||||||
|
а) |
а = |
г + j, b = |
i - j, с = |
fc; |
|
|
|
|
|
|
б) |
a = |
(1; - 4 ; 0), 5 = (6; 3; -2), с = (1; -2; 2)? |
|
|
|||||
3.4.12. |
Векторы a, b и с взаимно перпендикулярны, образуют правую |
|||||||||
|
тройку. Найти abc, зная что \а\ = 4, |Ь| = 2, |с| = 3. |
|
|
|||||||
3.4.13. |
Даны векторы а = (3; 5; —1 ) , 5 = (0; —2; 1) и с = ( - 2; 2; 3). Найти |
|||||||||
|
(а х Ь) х с. |
|
|
|
|
|
|
|||
Дополнительные задачи |
|
|
|
|
|
|
||||
3.4.14. |
Вычислить произведение Ь(с 4- а)(Ь 4- 2с), если abc = 5. |
|
||||||||
3.4.15. |
Вектор с перпендикулярен векторам а и б; (а, 6) = |
|а| = 6, |
||||||||
|
|6| = 3, \с\ = 3. Найти abc. |
|
|
|
|
|||||
3.4.16. |
Найти |
объем пирамиды с вершинами |
Ai(0;0; 1), |
А2(2\ 3;5), |
||||||
|
А3 (6;2;3), А4 (3;7;2). |
|
|
|
|
|
||||
3.4.17. |
Показать, |
что |
точки |
А(5;7;-2), |
Б(3;1; - 1), С(9;4; - 4) |
и |
||||
|
-0(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|
|||||
3.4.18. |
Даны |
вершины |
пирамиды А(—5;—4;8), |
Б(2;3; 1), |
С(4; 1; — 2), |
|||||
|
Z>(6; 3; 7). Найти длину высоты, опущенной на грань BCD. |
|
||||||||
3.4.19. |
Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках |
|||||||||
|
А(2; 1;-1), В(3;0;1), С(2; - 1;+3) . Найти координаты четвер- |
|||||||||
|
той вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат. |
|||||||||
3.4.20. |
Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\, построенный на векто- |
|||||||||
|
рах АВ = (4; 3; 0), AD = (2; 1; 2) и ААХ = ( - 3 ; - 2 ; 5). Найти: |
|
||||||||
|
а) объем параллелепипеда; |
|
|
|
|
|||||
|
б) площадь грани ABCD\ |
|
|
|
|
в) длину высоты, проведенной из вершины А\\ г) угол между ребром АВ и диагональю BD\.
3.4.21. Дана пирамида с вершинами в точках Ai(l;2;3), А2(-2;4;1), (7; 6; 3), А4(4; - 3 ; - 1) . Найти:
а) длину ребер А1А2, А1А3, А1А4; б) площадь грани А1А2А3;
в) угол между ребрами А\А4 и А1А3; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной на грань А1А2А3.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
3.4.22. Векторы а, b и с удовлетворяют условию а х 5 + б х с + с х а = 0. Доказать, что эти векторы компланарны.
3.4.23. |
Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диа- |
||
|
гоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному |
||
|
объему данного параллелепипеда. |
|
|
3.4.24. |
Найти а х (b х с) - (ё х /) х_</, если а = (1; 2; - 2), Ъ = ( - 2; 3; 1), |
||
|
с = (2; - 2 ; 2), ё = ( - 1 ; 3; 5), / = (1; 0; - 2), q = (3; - 2 ; 2). |
||
3.4.25. |
Найти объем V пирамиды |
с вершинами в точках А\(х\\у\; z\), |
|
|
A2{x2\y2\z2), A3(x3\y3',z3), А4(Х4]У4]24). При каком условии |
||
|
точки Ai, А2, A3, А4 принадлежат одной плоскости? |
||
3.4.26. |
Даны единичные векторы |
ё\, ё2, ё3. |
Зная, что (ё1,ё2) = |
|
= (ёз,ёх х ё2) = а, доказать равенство (ё\ |
х ё2) • ё3 — ^ sin 2а. |
|
3.4.27. |
Зная, что с = \\а + \2Ь найти соотношение между векторами |
||
|
a, b и с, не содержащее коэффициентов Ai и А2. |
Указание, исключить Ai можно умножением равенства векторно на а.
3.4.28. Доказать, что \abc\ ^ \а\ • |Ь| • |с|; в каком случае имеет место знак равенства?
3.4.29. Чему равно ab(c+\ia+\2b), где Ai и А2 — произвольные числа? 3.4.30. Доказать (геометрически), что при любых векторах а, 6 и с векторы а — Ь, Ь — с, с —а компланарны. Каков геометрический
смысл этого факта? 3.4.31. Чему равно aba?
3.4.32. Известно, что с = Aiа + А2Ь, Ai и А2 — числа. Чему равно аЬс? Пояснить алгебраически.
115
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1.В параллелограмме ABCD: О — точка пересечения диагоналей. Найти я, если
1)АВ = х • CD]
2)АС = х • АО]
3)ОБ - х • BD;
4)ОС = х • CD.
2. |
Разложить вектор с = (9; 4) по векторам а |
и |
Ь, если а |
= (1;2) и |
|||||
|
Ь = 2г- 3J. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти |
вектор 5, |
зная, что |
d 1 a, |
d _L |
5, |
где |
а = |
(2;3;—1), |
|
5 = (1; - 2;3) и 3- |
( 2 * - J + f c ) = |
- 6 . |
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти |
площадь |
параллелограмма, |
построенного |
на |
векторах |
|||
|
а = Зр + q и b = р - 2§, где \р\ = 4, |§| = 1, (р, 5) = |
|
|
5. Дана пирамида с вершинами Ai(7;2;4), А2(7;—1;—2), А3 (3;3;1), Л 4 ( - 4;2;1) . Найти:
а) угол между ребрами А\А2 и А1А4] б) объем пирамиды;
в) длину высоты, опущенной на грань А1А2А3.
Вариант 2
1. Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что OA + ОС = О В + OD, где О — произвольная точка пространства.
2.Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45°, с осью Оу — 60°. Его длина |f | = 6. Найти координаты точки М, зная, что третья координата отрицательная.
3.Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам а = 2i+j+k и 6 = ( 1 ; 1 ; 2 ) .
4.Найти площадь треугольника ABC, в котором А(2; 1; 0), В(—2; 4; 1), С ( - 3 ; - 8 ; 4 ) .
5.Дана пирамида с вершинами Ai(l;3;6), А2 (2;2;1), А3(—1;0;1), А4(-4; 6; - 3) . Найти:
а) косинус угла между ребрами А\А2 и А\А±\ б) объем пирамиды; в) длину высоты, опущенной на грань А\А2А3.
116
Вариант 3
1.Даны векторы а и Ь и угол между ними равный 120°. Построить вектор с— 2а — 1,56 и определить его длину, если \а\ = 3, \Ъ\ = 4.
2.Проверить, что четыре точки А(3; - 1 ; 2), В( 1; 2; - 1), С( - 1; 1; - 3 ) и /}(3; — 5; 3) служат вершинами трапеции.
3. Даны векторы а = 2г — j + |
b = i — 3j + с = Зг + 2j — Найти |
вектор x, если xa = —5, |
= —11, же = 20. |
4.В треугольнике с вершинами А(4; -14; 8), £(2; - 18; 12), С(12; - 8 ; 12) найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.
5. Дана пирамида с вершинами в точках Ai(—2;0; —4), А2(—1;7;1), А3(4; - 8 ; - 4), А4( 1; - 4 ; 6). Найти:
а) длину ребра А2Аз; б) косинус угла между ребрами А\А2 и А\ А4; в) объем пирамиды.
Вариант 4
1.В ромбе ABCD диагонали АС — а и BD — Ь. Разложить по этим двум векторам векторы АВ, ВС, CD, DA.
2.Зная одну из вершин треугольника А( 1; - 6 ; 3) и векторы, совпадю-
|
щие с двумя сторонами АВ = 3j + |
и J5C = 4г + 2j — к, найти |
|
остальные вершины и вектор С А. |
|
3. |
Найти вектор ш, зная, что ш 1 с, та = 4, ffib = 35, где а = (3; —2; 4), |
|
|
Ь = (5; 1; 6), с = (—3; 0; 2). |
|
4. |
Зная две стороны AJ5 = (—3; — 2; 6), ВС = (—2; 4; 4) треугольника |
|
|
ABC, вычислить длину высоты AD. |
|
5. |
Дана пирамида с вершинами в |
точках Ai(l;2;0), А2(3;0;—3), |
|
А3 (5;2;6), А4(8; 4; - 9) . Найти: |
|
|
а) длину ребра А2Аз\ |
|
б) угол между ребрами А\А2 и А\А±\ в) объем пирамиды.
•
Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
•
§1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Прямоугольная система координат
Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости, пространства) и их координатами — действительными числами при помощи системы координат.
^ Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Эти прямые называют осями координат. Одну из осей называют осью абсцисс и обозначают Оя, другую — осью ординат (Оу).
Единичные векторы осей Ох и Оу обозначают соответственно i и j
Если М — произвольная точка плоскости, то вектор ОМ называется
радиусом-вектором точки М.
^ Координатами точки М в системе координат Оху называются координаты радиус-вектора ОМ.
Если ОМ = (х\у), то координаты точки М записывают так: М(х\у)\ при этом число х называется — абсциссой точки М, а число у — ординатой точки М. Координаты точки полностью определяют ее положение на плоскости: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.
Расстояние между двумя точками Mi(x\',y\) и М2(х2;у2) на плос-
кости вычисляется по формуле |
|
|
|
|
||
|
d = |
> / ( * 2 - * 1 ) 2 + (У2-У1)2 . |
(1.1) |
|||
Координаты (я; у) |
точки М, |
делящей в заданном отношении А |
|
от- |
||
резок АВ, где A(xi;yi) |
и В(х2',У2) |
(А = |
находятся по формулам |
|||
|
_ |
Х\ + \Х2 |
|
_ У1 + \У2 |
( |
, |
х ~ |
1 + А ' У ~ |
1 + А ' |
[ |
} |
В частности, при А = 1 (точка М делит отрезок АВ пополам), получаются формулы координат середины отрезка
x = x1 + zlf ^ у ^ т |
( 1 3 ) |
118
Площадь ^треугольника с вершинами А(х\,у\), В(х2',У2), С(хз]уз) вычисляется по формуле
|
S = -\(х2 - хг)(у3 |
~ 2/1) - (хз ~ х1)(у2 - yi)\ |
(1.4) |
|
или, что то же самое: 5 = |
где А = Х2 - xi |
2/2 - у\ |
|
|
|
|
хз - xi |
узyi |
|
4.1.1. |
Найти точку, симметричную точке |
|
|
|
|
А(—2; 4) относительно |
биссектри- |
|
|
|
сы первого координатного угла. |
|
|
|
|
О Проведем через точку А пря- |
|
|
|
|
мую 1\, перпендикулярную бис- |
|
|
|
|
сектрисе I первого координатного |
|
|
|
|
угла (рис. 13). Пусть 1\ Г\1 = С. На |
|
|
|
|
прямой 1\ отложим отрезок CAi, |
|
|
|
|
равный отрезку АС. Прямоуголь- |
|
|
|
|
ные треугольники АСО и А\СО |
|
|
|
|
равны между собой (по двум кате- |
Рис - 13 |
|
|
|
там). Отсюда следует, что \ОА\ = |
|
|
|
|
= |OAi|. Треугольники ADO и ОЕА\ также равны между со- |
|||
|
бой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что \AD\ = |
|||
|
= \ОЕ\ = 4, \OD\ = \EAi \ = 2, т.е. точка Ai имеет координаты |
|||
|
я = 4, у = - 2 , т.е. Ах(4;-2). |
|
|
|
|
Отметим, что имеет место общее утверждение: точка Ai, |
|||
|
симметричная точке А(а] Ь) относительно биссектрисы первого |
|||
|
и третьего координатных углов, имеет координаты (Ь;а), т.е. |
|||
|
А х(Ь;а). |
|
|
• |
4.1.2. |
Дана точка А(3; — 2). Найти координаты точек, симметричных |
|||
|
точке А относительно оси Ох, оси Оу, начала координат. |
|
||
4.1.3. |
Найти координаты точки А\, симметричной точке А(2;4) отно- |
|||
|
сительно биссектрисы: |
|
|
|
1)второго и четвертого координатных углов;
2)первого и третьего координатных углов.
4.1.4. |
В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3), |
|
||||||||
|
С(6; —5) найти длину биссектрисы ВЫ. |
|
||||||||
|
О По свойству биссектрисы внутреннего |
|
||||||||
|
угла треугольника |
|
см |
|
|
ВС |
|
(рис. 14). |
|
|
|
|
МА |
|
|
ВА |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1.1), |
дли- |
|
||
|
|
|
я формулу |
|
|
|||||
|
ны сторон ВС и |
В А треугольника |
ABC: |
|
||||||
|
\ВС\ = у/(6 - б)2 |
+ ( - 5 - З)2 = |
8, \ВА\ = |
|
||||||
|
= у/(2 - б)2 + (3 - З)2 = 4. |
Следовательно, |
Рис. 14 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119