Сборник задач по высшей математике

К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко

Сборник

задач по высшей

математике

Допущено Министерством образования РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по направлениям и специальностям в области техники и технологии

7-е издание

МОСКВА

АЙРИС ПРЕСС

2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый вашему вниманию сборник задач охватывает традиционный курс высшей математики в объеме первого курса технического вуза. Книга подготовлена преподавателями нескольких московских вузов, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со студентами. Опираясь на этот опыт, а также учитывая достоинства и недостатки существующих пособий, авторы попытались создать в каком-то смысле универсальный задачник, пригодный как для самообразования, так и для активной работы с преподавателем на практических занятиях. Этим объясняется специфическая структура книги.

Каждый раздел сборника начинается с необходимого теоретического минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем идет блок задач на эту тему, рассредоточенный следующим образом. Сначала подробно разбираются 1-3 типовые задачи, после чего предлагается для самостоятельного решения (дома или на семинаре) 6- 10 аналогичных задач. Далее снова разбираются 1-3 стандартные задачи на определенную узкую тему, после которых опять идут аналогичные задачи для закрепления приобретенного навыка. И так далее. Именно так происходит обучение на практических занятиях в вузах, поэтому мы надеемся, что такое распределение задач будет особенно удобно преподавателям, ведущим семинары по высшей математике.

В конце каждого раздела находится, составляющий наиболее существенную его часть, весьма обширный массив задач для самостоятельной (без преподавателя) работы студентов. Предполагается, что именно из этой части раздела преподаватель будет черпать задачи для домашних заданий студентам.

Мы уделили особое внимание стандартным задачам, достаточного количества которых так не хватает как преподавателям, так и студентам для успешного хода учебного процесса. Тем не менее в сборнике довольно много более сложных заданий и устных вопросов для продвинутых студентов; все они выделены в особый пункт, завершающий почти каждый раздел книги. Среди устных заданий — ив этом одна из особенностей книги — немало качественных вопросов, обычно предлагаемых на экзаменах по высшей математике. Эта часть задачника будет полезна студентам для подготовки к экзаменам и преподавателям для пополнения своего запаса подобных заданий.

Наконец еще одна особенность этой книги — наличие контрольных работ в конце каждой главы. Опять-таки их могут использовать как студенты при подготовке к зачетам или контрольным, так и преподаватели при проведении последних.

К подавляющему большинству задач сборника — а их в книге около

5

Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Матрицей А размера тхп называется прямоугольная таблица из га строк и п столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений а^ (называемых элементами матрицы),

г - 1 , 2 , . . . , г а , j = 1 , 2 , . . . , п .

Матрица А с элементами а^ обозначается также (а^).

пх п. Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т. е. с индексами г ф j) равны нулю. Единичной (обозначается Е) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Примеры матриц: а) квадратная; б) диагональная; в) единичная;

г) нулевая: а)

-ОЧ ; б ) ( о У; 2 ) ; в )

§1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Свойства операции сложения матриц. Для любых матриц А, В и С одного размера выполняются равенства:

1)А + В = В + А (коммутативность); 2) (А +В)+ С = А +{В + С) = А + В + С (ассоциативность).

^ Произведением матрицы А = (а^) на число Л называется матрица В = (Ь^) того же размера, что и матрица А, причем

Ь^ = \o>ij, V i j .

7

Свойства операции умножения матрицы на число:

1)Л • (/л • А) = (Л • /х) • А (ассоциативность);

2)Л • (А + В) = А • А + А • В (дистрибутивность относительно сложения матриц);

3)(А + ц) • А = А • А + // • А (дистрибутивность относительно сложения чисел).

^Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера называется выражение вида а • А -f /? • В, где а и /? — произвольные числа.

^Произведением А • В матриц А и В (размеров га х тг и тг х г соответственно) называется матрица С размера га х г, такая, что

п

Cij = Gil * bij + а*2 • foj Н Ь CLik •bkj-\ h fltn • bnj = aik ' bkj •

Л=1

Таким образом, каждый элемент с^, находящийся в г-й строке и j-м столбце матрицы С, равен сумме произведений соответствующих элементов г-й строки матрицы А и j-ro столбца матрицы В. (Говоря популярным языком, чтобы найти элемент с^-, нужно «приложить» г-ю строку матрицы А к j-му столбцу матрицы J3, перемножить соответствующие элементы и полученные произведения сложить). Произведение А • В существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц:

1)(А • В) • С = А • (В • С) = А • В • С (ассоциативность);

2)(А + В) • С = А • С + В • С (дистрибутивность);

3)А • (В + С) = А • С + В • С (дистрибутивность);

4)вообще говоря, А • В ф В • А — отсутствует коммутативность.

^Коммутирующими (или перестановочными) называются матрицы А и J3, для которых АВ = В А.

п раз

чением матричного многочлена f(A) при заданной матрице А является матрица.

^Транспонированной к матрице А = (а^) называется матрица

АТ = (afj) такая, что ajj = а^, V (т.е. все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы А).

Элемент строки матрицы назовем крайним, если он отличен от нуля, а все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю. Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки

8